I fisici,
i controllori del traffico aereo
e gli sviluppatori di videogiochi
hanno tutti almeno una cosa in comune:
i vettori.
Cosa sono esattamente, e perché sono importanti?
Per rispondere, dobbiamo prima capire le grandezze scalari.
Gli scalari sono delle quantità con un valore.
Misurano la quantità di qualcosa.
La distanza tra te e una panchina
e il volume e la temperatura della bevanda nella tua tazza
sono misurati da scalari.
Anche le grandezze vettoriali hanno un valore,
a cui si aggiunge un altro elemento: la direzione.
Per andare verso la panchina,
devi sapere quanto è lontana e in quale direzione,
non solo la distanza, ma lo spostamento.
Ciò che rende i vettori speciali e utili in qualsiasi campo
è che non variano in base alla prospettiva
ma sono invarianti rispetto al sistema di riferimento.
Cosa significa?
Supponiamo che tu stia spostando una tenda con un amico.
Siete uno di fronte all'altro e quindi rivolti verso direzioni opposte.
Il tuo amico si sposta di due passi verso destra e tre in avanti
mentre tu di due passi verso sinistra e tre indietro.
Ma, anche se sembra che vi stiate muovendo diversamente,
alla fine percorrete la stessa distanza nella stessa direzione,
seguendo lo stesso vettore.
A prescindere dalla direzione in cui siete rivolti
o dal sistema di riferimento usato per lo spazio,
il vettore non cambia.
Usiamo il noto piano cartesiano di coordinate
con gli assi x e y.
Queste due direzioni vengono definite "coordinate base"
perché vengono usate per descrivere qualsiasi cosa rappresentiamo.
Supponiamo che la tenda parta dall'origine e arrivi al punto B.
La freccia rettilinea che connette i due punti
è il vettore che va dall'origine a B.
Quando il tuo amico pensa al movimento che deve fare,
esso può essere trascritto matematicamente come 2x + 3y,
o così, con una matrice.
Visto che tu sei rivolto verso il lato opposto,
la tua base è rivolta verso direzioni opposte,
che possiamo chiamare x' primo e y',
e il tuo movimento può essere descritto così,
o con questa matrice.
Se osserviamo le due matrici, ovviamente non sono identiche,
ma una matrice da sola non descrive completamente un vettore.
Ogni matrice ha bisogno di una base per essere contestualizzata,
e quando le associamo correttamente
vediamo che, in realtà, descrivono lo stesso vettore.
Possiamo pensare agli elementi della matrice come se fossero lettere:
proprio come una sequenza di lettere diventa una parola
solo nel contesto di una lingua precisa,
una matrice ha senso come vettore quando associata a una base.
Proprio come parole diverse in due lingue possono trasmettere la stessa idea,
rappresentazioni differenti in due basi possono riferirsi allo stesso vettore.
Il vettore è la parte fondamentale della comunicazione,
a prescindere dal linguaggio usato per rappresentarlo.
Anche gli scalari condividono questa proprietà di invarianza.
Di fatto, qualsiasi grandezza possieda questa proprietà viene definita tensore.
Tipi diversi di tensori contengono quantità diverse di informazioni.
Quindi c'è qualcosa con più informazioni di un vettore?
Certamente.
Supponiamo che tu stia sviluppando un videogioco
e che tu voglia rendere realistico il movimento dell'acqua.
Anche se le forze sono esercitate nella stessa direzione
con lo stesso valore,
potresti vedere onde o mulinelli a seconda della loro orientazione.
Quando la forza, un vettore, è combinata con un altro vettore orientato,
abbiamo una quantità fisica chiamata sforzo,
che è un esempio di tensore di ordine 2.
I tensori, oltre che per i videogiochi, sono usati per qualsiasi tipo di scopo,
tra cui simulazioni scientifiche,
progettazione di auto
e visione dell’attività cerebrale.
Scalari, vettori e tensori ci forniscono un modo relativamente semplice
di capire idee complesse e interazioni,
e ciò li rende un ottimo esempio dell'eleganza, della bellezza
e della fondamentale utilità della matematica.