-
Ας δούμε τώρα εάν μπορούμε να διαιρέσουμε μεγαλύτερους αριθμούς.
-
Και για να ξεκινήσουμε, όταν θέλουμε να διαιρέσουμε μεγαλύτερους αριθμούς,
-
χρειάζεται να ξέρουμε τουλάχιστον τους πίνακες της προπαίδειας
-
από τον πίνακα του ένα μέχρι, τουλάχιστον, και τον πίνακα του δέκα.
-
Μέχρι το 10 x 10 που, όπως ξέρετε, κάνει 100.
-
Και μετά, ξεκινώντας από το 1 x 1, πηγαίνοντας στο 2 x 3,
-
μέχρι το 10 x 10.
-
Και, τουλάχιστον όταν εγώ πήγαινα στο σχολείο,
-
μαθαίναμε μέχρι το 12 x 12.
-
Αλλά αρκεί να ξέρετε μέχρι το 10 x 10.
-
Από εκεί ξεκινάμε.
-
Γιατί αυτό χρειάζεται για να κάνουμε προβλήματα πολλαπλασιασμού
-
ή προβλήματα διαίρεσης όπως αυτό.
-
Ας πούμε ότι έχω το 25 και θέλω να το διαιρέσω με το 5.
-
Θα μπορούσα να σχεδιάσω 25 πράγματα
-
και μετά να τα χωρίσω σε ομάδες των πέντε, ή να τα χωρίσω σε πέντε ομάδες
-
και να δω πόσα στοιχεία υπάρχουν σε κάθε ομάδα.
-
Αλλά ο γρήγορος τρόπος να το κάνουμε αυτό είναι να σκεφτούμε
-
"5 επί ποιον αριθμό μας κάνει 25";
-
5 επί ερωτηματικό ίσον 25.
-
Αν λοιπόν ξέρετε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού
-
και ιδίως τους πίνακες του 5
-
ξέρετε ότι 5 x 5 μας κάνει 25.
-
Άρα θα μπορούσατε αμέσως να πείτε,
-
χάρη στη γνώση σας του πολλαπλασιασμού,
-
ότι το 5 χωρά στο 25 πέντε φορές.
-
Και θα γράφατε το 5 εδώ.
-
Όχι πάνω από το 2,
-
γιατί πρέπει να προσέχετε σε ποια θέση γράφετε τους αριθμούς.
-
Πρέπει να γράψετε το 5 στη θέση των μονάδων.
-
Χωρά πέντε μονάδες, ή με άλλα λόγια ακριβώς πέντε φορές.
-
Και το ίδιο.
-
Αν έλεγα ότι το 7 χωρά στο 49.
-
Πόσες φορές χωρά;
-
Θα σκεφτόσασταν "είναι σαν να λέμε 7 φορές επί ποιον αριθμό",
-
και θα μπορούσατε μάλιστα αντί για ερωτηματικό, να βάζατε ένα κενό εκεί,
-
το 7 επί ποιον αριθμό ισούται με το 49;
-
Αν ξέρετε, λοιπόν, τους πίνακες του πολλαπλασιασμού
-
ξέρετε ότι 7 x 7 = 49.
-
Όλα τα παραδείγματα που είδαμε μέχρι τώρα είναι ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του.
-
Ας κάνουμε ένα άλλο παράδειγμα.
-
Πόσες φορές χωρά το 9 στο 54;
-
Κι εδώ χρειάζεται να ξέρετε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού για να το βρείτε.
-
9 επί ποιον αριθμό ισούται με 54;
-
Καμιά φορά, ακόμα κι αν δεν το θυμάστε απ' έξω,
-
μπορείτε να πείτε "9 x 5 = 45".
-
Και 9 x 6 θα είναι 9 παραπάνω από αυτό, άρα θα είναι 54.
-
Έτσι, το 9 χωρά στο 54 έξι φορές.
-
Έτσι λοιπόν, για να ξεκινήσουμε
-
χρειάζεται να μάθετε απ' έξω τους πίνακες της προπαίδειας από το 1 x 1
-
μέχρι το 10 x 10
-
για να μπορείτε να λύνετε τουλάχιστον κάποια από αυτά τα βασικά προβλήματα σχετικά γρήγορα.
-
Αφού το είπαμε λοιπόν αυτό, ας δοκιμάσουμε κάποια προβλήματα
-
που μπορεί να μην ταιριάζουν καθαρά στους πίνακες της προπαίδειας.
-
Ας πούμε ότι θέλω να διαιρέσω
-
το 43 με το 3.
-
Βλέπουμε ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από το 3 x 10 ή το 3 x 12.
-
Βασικά, κοιτάξτε.
-
Ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα.
-
Ας κάνουμε το 23 διά 3.
-
Αν ξέρετε τους πίνακες του 3
-
θα δείτε ότι δεν υπάρχει αριθμός που "3 επί αυτόν" να μας δίνει 23.
-
Θα το κάνω τώρα.
-
3 x 1 = 3
-
3 x 2 = 6
-
Ας τα γράψω όλα εδώ.
-
3 x 3 = 9, 12, 15, 18, 21, 24, έτσι;
-
Δεν υπάρχει το 23 στα πολλαπλάσια του 3.
-
Άρα, πώς θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα διαίρεσης;
-
Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να σκεφτούμε: "ποιο είναι το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του 3 που χωρά στο 23";
-
Είναι το 21!
-
Και πόσες φορές χωρά το 3 στο 21;
-
Ξέρετε ότι 3 x 7 = 21.
-
Άρα, λέμε ότι το 3 χωρά στο 23 εφτά φορές.
-
Αλλά δεν χωρά ακριβώς
-
γιατί 7 x 3 = 21.
-
Άρα μας μένει ένα υπόλοιπο.
-
Έτσι, αν από το 23 αφαιρέσουμε 21, μας μένει ένα υπόλοιπο 2.
-
Άρα μπορούμε να γράψουμε ότι το 23 διά 3 μας κάνει 7
-
και έχουμε και ένα υπόλοιπο 2.
-
Άρα, δεν χρειάζεται να χωρά ακριβώς.
-
Στο μέλλον μάλιστα θα μάθουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς και τα κλάσματα.
-
Αλλά για τώρα, μπορούμε να πούμε ότι χωρά εφτά φορές...
-
αλλά έτσι φτάνουμε μόνο μέχρι το 21
-
και μας μένουν και 2 υπόλοιπο.
-
Έτσι μπορείτε να δουλέψετε τα προβλήματα της διαίρεσης...
-
όπου δεν έχουμε ακριβώς ένα πολλαπλάσιο του αριθμού
-
με τον οποίο διαιρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό.
-
Ας κάνουμε όμως λίγη εξάσκηση με ακόμα μεγαλύτερους αριθμούς.
-
Και νομίζω ότι θα δείτε ένα μοτίβο εδώ.
-
Ας δούμε πόσες φορές χωρά το 4...
-
θα διαλέξω ένα μεγάλο αριθμό -- στο 344.
-
Αμέσως όταν το δείτε αυτό...
-
θα πείτε "Σαλ ξέρω μέχρι το 4 επί 10 ή το 4 επί 12"
-
4 x 12 = 48.
-
Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μεγαλύτερος.
-
Βγαίνει έξω από τα όρια
-
των όσων ξέρω στους πίνακες του 4".
-
Αυτό που θα σας δείξω τώρα είναι ένας τρόπος να λύνετε αυτά τα προβλήματα...
-
γνωρίζοντας μόνο τους πίνακες του 4.
-
Αυτό που κάνετε είναι να πείτε
-
"Πόσες φορές χωρά το 4 σε αυτό εδώ το 3;"
-
Και στην ουσία λέτε
-
"πόσες εκατοντάδες φορές χωρά το 4 σε αυτό εδώ το 3;"
-
Και το λέμε αυτό γιατί εδώ έχουμε 300, έτσι;
-
Ο αριθμός μας είναι το 344.
-
Όμως το 4 δεν χωρά στο 3 εκατοντάδες φορές.
-
Ίσως ο καλύτερος τρόπος να το σκεφτείτε είναι να πείτε ότι το 4 χωρά στο 3 μηδέν φορές.
-
Άρα μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο.
-
Πόσες φορές χωρά το 4 στο 34.
-
Άρα τώρα συγκεντρωνόμαστε στο 34.
-
Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 4 στο 34;
-
Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της προπαίδειας του 4.
-
Για να δούμε, 4 x 8 = 32,
-
4 x 9 = 36.
-
Άρα το 4 χωρά στο 34 όχι 9 φορές, είναι πάρα πολύ, έτσι;
-
Το 36 είναι μεγαλύτερο από το 34.
-
Άρα το 4 χωρά στο 34 οκτώ φορές.
-
Θα υπάρχει ένα μικρό υπόλοιπο.
-
Το 4 χωρά στο 34 οκτώ φορές.
-
Ας υπολογίσουμε λοιπόν ποιο είναι το υπόλοιπο.
-
Αυτό που στην πραγματικότητα λέμε εδώ
-
είναι "πόσες δεκάδες φορές χωρά το 4 στο 340;"
-
Λέμε λοιπόν ότι το 4 χωρά στο 340 ογδόντα φορές.
-
Κι αυτό γιατί, αν παρατηρήσετε, γράψαμε αυτό το 8 στη θέση των δεκάδων.
-
Αλλά για να λύσουμε γρήγορα το πρόβλημα
-
λέμε απλώς ότι το 4 χωρά στο 34 οχτώ φορές
-
αλλά βεβαιωθείτε ότι γράψατε το 8 στη θέση των δεκάδων εδώ πέρα.
-
8 επί 4.
-
Ξέρουμε ήδη πόσο κάνει αυτό.
-
8 x 4 = 32.
-
Και μετά βρίσκουμε το υπόλοιπο.
-
34 μείον 32.
-
4 μείον 2 ίσον 2.
-
Και μετά αυτά τα τριάρια ακυρώνουν το ένα το άλλο.
-
Άρα μας μένουν 2.
-
Παρατηρήστε όμως ότι βρισκόμαστε στη στήλη των δεκάδων, έτσι;
-
Αυτή εδώ η στήλη, είναι η στήλη των δεκάδων.
-
Άρα αυτό που είπαμε στην πραγματικότητα είναι ότι το 4 χωρά στο 340 ογδόντα φορές.
-
80 επί 4 ίσον 320, έτσι;
-
Κι αυτό γιατί έγραψα το 3 στη θέση των εκατοντάδων.
-
Και μετά...
-
ας το καθαρίσω λίγο.
-
Δεν ήθελα να κάνω αυτή τη γραμμή να φαίνεται έτσι
-
όταν χώριζα τις στήλες, να μοιάζει με 1.
-
Έχουμε όμως ένα υπόλοιπο 2.
-
Αλλά έγραψα το 2 στη θέση των δεκάδων.
-
Άρα στην πραγματικότητα, έχουμε ένα υπόλοιπο 20.
-
Αλλά, ας κατεβάσω αυτό το 4.
-
Το κάνω αυτό γιατί δε θέλω να διαιρέσω το 340
-
αλλά το 344.
-
Άρα, κατεβάζουμε το 4.
-
Ας αλλάξω χρώματα.
-
Έτσι, ένας άλλος τρόπος να το σκεφτείτε αυτό είναι ο εξής:
-
Είπαμε ότι το 4 χωρά στο 344 ογδόντα φορές, έτσι;
-
Γράψαμε το 8 στη θέση των δεκάδων.
-
Και μετά, 80 x 4 = 320.
-
Το υπόλοιπο τώρα είναι 24.
-
Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 4 στο 24;
-
Το ξέρουμε αυτό.
-
4 x 6 = 24.
-
Άρα το 4 χωρά στο 24 έξι φορές...
-
και το βάζουμε αυτό στη θέση των μονάδων.
-
6 x 4 = 24.
-
Και μετά αφαιρούμε.
-
24 μείον 24.
-
Ούτως ή άλλως αφαιρούμε σ' αυτό το στάδιο.
-
Εδώ παίρνουμε μηδέν.
-
Άρα, δεν υπάρχει υπόλοιπο.
-
Έτσι, το 4 χωρά στο 344 ακριβώς 86 φορές
-
Άρα, αν παίρναμε 344 αντικείμενα και τα χωρίζαμε σε ομάδες των τεσσάρων
-
θα παίρναμε 86 ομάδες.
-
Ή αλλιώς, αν τα χωρίζαμε σε ομάδες των 86
-
θα παίρναμε 4 ομάδες.
-
Ας κάνουμε λίγα ακόμη προβλήματα.
-
Νομίζω ότι αρχίζετε να το καταλαβαίνετε.
-
Ας κάνουμε ένα απλό.
-
Πόσες φορές χωρά το 7 στο 91.
-
Κι εδώ αυτό είναι πέρα από το 7 x 12,
-
που μας κάνει 84, το οποίο ξέρετε από τους πίνακες του πολλαπλασιασμού.
-
Άρα, χρησιμοποιούμε το ίδιο σύστημα με το τελευταίο πρόβλημα.
-
Πόσες φορές χωρά το 7 στο 9;
-
Το 7 στο 9 χωρά μία φορά.
-
1 x 7 = 7.
-
Και έχουμε 9 - 7 = 2.
-
Και μετά κατεβάζουμε το 1.
-
Έχουμε 21.
-
Θυμηθείτε, μπορεί να φαίνεται σαν μαγικό,
-
αλλά αυτό που είπαμε στην πραγματικότητα είναι ότι το 7 χωρά στο 90 δέκα φορές,
-
10 γιατί γράψαμε το 1 στη θέση των δεκάδων,
-
10 x 7 = 70.
-
Σωστά; Θα μπορούσατε σχεδόν να βάλετε ένα μηδενικό εδώ αν θέλατε,
-
και 91 - 70 = 21.
-
Άρα το 7 χωρά στο 91 δέκα φορές και μας μένει υπόλοιπο 21.
-
Και μετά λέμε: το 7 χωρά στο 21... ε, το ξέρετε αυτό.
-
7 x 3 = 21.
-
Άρα το 7 χωρά στο 21 τρεις φορές.
-
3 x 7 = 21.
-
Αφαιρούμε το ένα από το άλλο.
-
Μηδέν υπόλοιπο.
-
Έτσι, 91 διά 7 ίσον 13.
-
Ας κάνουμε άλλο ένα.
-
Και δε θα κάνω διάλειμμα να εξηγήσω τις θέσεις και όλα αυτά.
-
Νομίζω ότι το καταλαβαίνετε αυτό.
-
Θέλω τουλάχιστον να καταλάβετε πολύ καλά τη διαδικασία σε αυτό το βίντεο.
-
Ας δούμε λοιπόν το 7 - συνέχεια χρησιμοποιώ το 7.
-
Ας χρησιμοποιήσουμε έναν άλλο αριθμό.
-
Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 8 στο 608;
-
Ξεκινάμε λοιπόν: πόσες φορές χωρά το 8 στο 6;
-
Μηδέν φορές.
-
Άρα πάω παρακάτω.
-
Πόσες φορές χωρά το 8 στο 60;
-
Ας γράψω το 8.
-
Θα σχεδιάσω μια γραμμή εδώ για να μην μπερδευτούμε.
-
Θα κατέβω λίγο κάτω.
-
Χρειάζομαι λίγο χώρο πάνω από τον αριθμό.
-
Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 8 στο 60;
-
Ξέρουμε ότι 8 x 7 = 56.
-
Και ότι 8 x 8 = 64.
-
Άρα το 8 χωρά -- το 64 είναι πολύ μεγάλο.
-
Άρα δε μας κάνει.
-
Άρα το 8 χωρά στο 60 εφτά φορές.
-
Και θα έχουμε και κάποιο υπόλοιπο.
-
Άρα, το 8 χωρά στο 60 εφτά φορές.
-
Εφόσον κάνουμε το 60
-
βάζουμε το 7 πάνω από τη θέση των μονάδων στο 60
-
που είναι η θέση των δεκάδων για ολόκληρο τον αριθμό.
-
7 επί 8 όπως ξέρουμε κάνει 56.
-
60 μείον 56.
-
Μας κάνει 4.
-
Μπορούμε να το κάνουμε και με το μυαλό μας αυτό.
-
Ή αν θέλουμε μπορούμε να δανειστούμε.
-
Αυτό είναι 10.
-
Αυτό είναι 5.
-
10 - 6 = 4.
-
Μετά κατεβάζουμε αυτό το 8.
-
Πόσες φορές χωρά το 8 στο 48;
-
Ε, πόσο μας κάνει 8 x 6;
-
8 x 6 μας κάνει ακριβώς 48.
-
Άρα το 8 χωρά στο 48 έξι φορές.
-
6 x 8 = 48
-
Και αφαιρούμε.
-
Αφαιρέσαμε κι εδώ ομοίως.
-
48 - 48 = 0.
-
Άρα, κι εδώ, το υπόλοιπο είναι 0.
-
Ελπίζω, λοιπόν, ότι καταλάβατε πώς λύνουμε αυτά τα μεγαλύτερα προβλήματα διαίρεσης.
-
Το μόνο που χρειάζεται για να τα λύνετε αυτά
-
είναι οι πίνακες της προπαίδειας
-
μέχρι το 10 x 10 ή το 12 x 12.