Return to Video

Doodling in Math Class: Infinity Elephants

  • 0:00 - 0:02
    நாம் ஒவ்வொரு நாளும் புதிது புதிதாக கற்றுக் கொள்ள
  • 0:02 - 0:04
    தொடர்ந்து கணக்குகளைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.
  • 0:04 - 0:05
    முடிவில்லாத கணக்குத் தொடர்களைக்
  • 0:05 - 0:07
    கற்று வருகிறோம்.
  • 0:07 - 0:08
    அவையெல்லாம் பாடக் கணக்குகளாக இருந்ததால்
  • 0:08 - 0:10
    மிக விரைவாக செய்து முடிக்க முடிந்தது நம்மால்.
  • 0:10 - 0:12
    நமது பாடத் திட்டம்
  • 0:12 - 0:15
    அந்த விதமாகத் தான் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.
  • 0:15 - 0:18
    மேலும் புரிதலுக்கு ஏற்ற கணக்குகளை
  • 0:18 - 0:19
    பன்மைத் தொடராகப் பார்க்கப் போகிறோம்.
  • 0:19 - 0:21
    நாம் இதுவரைப் பார்த்த கணக்குகளுக்கும் கூடுதலான
  • 0:21 - 0:22
    தலைப்பில் பார்க்கலாம்.
  • 0:22 - 0:25
    கணக்குத் தொடர் என்பதற்கு மாறாக
  • 0:25 - 0:27
    பன்மைத் தொடரில் மாற்றுவது அவசியமா...?
  • 0:27 - 0:29
    தொடர் என்பது தொடர்கள் என்று இருந்தால் நல்லது.
  • 0:29 - 0:32
    ஒன்றை அடைவதற்கு
  • 0:32 - 0:33
    ஒரு அம்சத்தை எடுத்துக் கொள்கிற போது
  • 0:33 - 0:37
    1/2 +1/4 +1/8 +1/16 என்று அதன் நுட்பமான கூறுகளை நோக்கிச் செல்ல வேண்டும்.
  • 0:37 - 0:39
    அதுதான் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு யானையை வரைவதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
  • 0:39 - 0:41
    அப்போது ஒன்றின் வாலை இன்னொரு யானை பற்றிக் கொள்வது போல் வரைய வேண்டும்.
  • 0:41 - 0:42
    முதலில் ஒரு சாதாரண யானை அடுத்து ஒரு இளம் யானை
  • 0:42 - 0:45
    குட்டியானை, அடுத்து நாயின் அளவிலான யானை, அப்புறம் பூனையளவு யானை
  • 0:45 - 0:47
    இப்படி தொடர்ந்து சென்று திருவாளர் கொம்பனையும் அதற்கு மேலும் வரைந்து கொண்டு போகலாம்.
  • 0:47 - 0:49
    ஒவ்வொன்றிலும் அதன் நுட்பமான பகுதியைத் தொட வேண்டும்.
  • 0:49 - 0:50
    அப்போது ஒரு கோட்டில் எண்ணற்ற யானைகளை நம்மால் வரைய முடியும்.
  • 0:50 - 0:51
    நிறைய யானைகளை ஒரு நோட்டுப் புத்தகத்தின் ஒரு பக்கத்திற்குள்ளேயே வரைந்து விடலாம்.
  • 0:51 - 0:54
    அப்படியானால்.....? இங்கே ஒரு கேள்வி எழுகிறது.
  • 0:54 - 0:55
    ஒட்டகப் படம் போட்டால் என்ன செய்வது...?
  • 0:55 - 0:56
    ஒட்டகம் யானையைக் காட்டிலும் சிறியதாக இருந்தாலும்
  • 0:56 - 0:58
    புத்தகத்தின் மூன்றாம் பக்கத்தையும் கடந்து அல்லவா போகும்.
  • 0:58 - 1:00
    ஒட்டகத்தை முறையாக வரையத் துவங்கினால்
  • 1:00 - 1:02
    இறுதிப் பக்கத்தில் எத்தனை பெரியதாக இருக்கும்?
  • 1:02 - 1:04
    இந்தக் கேள்விக்கான பதிலைக் கணக்கிட்டுத் தான் பார்க்க வேண்டும்.
  • 1:04 - 1:05
    நிச்சயமாக ஒரு பக்கத்தில் அடங்காத ஒட்டகமாகத் தான் இருக்கும்.
  • 1:05 - 1:07
    எனவே கணக்கிடவே வேண்டியதில்லை.
  • 1:07 - 1:08
    மீண்டும் ஒட்டகத்திற்கு வருவோம்.
  • 1:08 - 1:09
    இங்கே ஒரு பகுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம்.
  • 1:09 - 1:11
    முதலில் ஒரு வட்டத்திற்குள்ளிருந்து ஆரம்பிப்பிப்போம்.
  • 1:11 - 1:11
    இந்த வட்டத்திற்குள்
  • 1:11 - 1:13
    முடிந்தவரை பெரிய வட்டங்களாகப் போடலாம்.
  • 1:13 - 1:14
    மீதமிருக்கும் வெளியிலும் வட்டங்களாக வரைந்து கொண்டே போகவேண்டும்.
  • 1:14 - 1:17
    இதனை அப்போலோனியன் கேஸ்கட் என்பார்கள்.
  • 1:17 - 1:19
    மறுபடியும் இன்னொரு வட்டத்தை எடுத்து
  • 1:19 - 1:20
    இதிலும்வட்டங்கள் வரைகிறோம்.
  • 1:20 - 1:22
    பெரிய வட்டங்களுக்கு இடையில் சின்னச் சின்ன வட்டங்கள்.
  • 1:22 - 1:23
    இருக்கிற இடைவெளியில் சின்னஞ்சிறியதாக வரைகிறோம்.
  • 1:23 - 1:25
    வட்டத்தின் வளையத்தினுள் சிறு வட்டங்கள்.
  • 1:25 - 1:26
    கச்சிதமாகப் பொருந்தும்படி வரைகிறோம்.
  • 1:26 - 1:27
    ஆனாலும் பார்ப்பதற்கு அழகாக இருக்கிறது.
  • 1:27 - 1:29
    இதுவொரு அற்புதமான விளையாட்டு.
  • 1:29 - 1:30
    படி ஒன்று - ஒரு காகிதத்தை எடுக்கிறோம்.
  • 1:30 - 1:31
    எதாவது ஒன்றை வரைகிறோம்.
  • 1:31 - 1:32
    படி இரண்டு
  • 1:32 - 1:34
    நாம் வரைந்த பாகத்தில் முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம் ஒன்று வரைகிறோம்.
  • 1:34 - 1:35
    படி மூன்று
  • 1:35 - 1:37
    முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம்
  • 1:37 - 1:38
    கிடைக்கிற இடத்தில் வரைகிறோம்.
  • 1:38 - 1:39
    படி நான்கு
  • 1:39 - 1:40
    படி மூன்றைப் பார்க்கிறோம்.
  • 1:40 - 1:42
    முதல் வட்டம் போட்ட பிறகு நிறைய வெளி மீதமிருக்கிறது.
  • 1:42 - 1:44
    அதனால் இப்போது வட்டம் போட வேண்டும் என்பதில்லை.
  • 1:44 - 1:46
    இந்தப் பகுப்பில் வேறு வடிவங்களை வரையலாம்.
  • 1:46 - 1:47
    இதனை முக்கோணங்களால் நிரப்பலாம்.
  • 1:47 - 1:49
    நட்சத்திரம் போன்ற எதையாவது வரைந்து அழகுபடுத்தலாம்.
  • 1:49 - 1:51
    இந்த இடத்தில் யானை, பாம்பு போன்ற எதை வேண்டுமானாலும் வரையலாம்.
  • 1:51 - 1:53
    அல்லது நம்முடைய நெருங்கிய நண்பரின் உருவத்தைக் கூட வரையலாம்.
  • 1:53 - 1:54
    இங்கே ஆப்ரகாம் லிங்கன் உருவத்தை வரைந்தால்
  • 1:54 - 1:55
    அற்புதமாக இருக்கும்.
  • 1:55 - 1:57
    வட்டங்கள் தவிர்த்து பிற வடிவங்கள் எதை வரையப் போகிறோம்?
  • 1:57 - 1:59
    சம பக்க முக்கோணங்கள் வரையலாம்.
  • 1:59 - 2:01
    அந்த முக்கோணத்தினுள் முக்கோணங்களை வரைந்து நிரப்பலாம்.
  • 2:01 - 2:03
    நாம் சில இடங்களில் முக்கோணம் வரைந்தால் மீதமுள்ள வெளி
  • 2:03 - 2:05
    தானாகவே முக்கோணங்களாக மாறி விடும்.
  • 2:05 - 2:08
    அதன் மூலமாக நமக்கு சியர்பிங்கியின் முக்கோணம் கிடைத்து விடும்.
  • 2:08 - 2:10
    அப்தேபடியே நாம் ஆபிரகாம் லிங்கன் உருவத்தையும் வரைந்து விடலாம்.
  • 2:10 - 2:12
    ஆனால் இந்தக் கட்டத்திற்குள் முக்கோணம் வரைந்தால் அழகாகப் பொருந்தும்.
  • 2:12 - 2:14
    ஆனால் இதுவொரு விசேசமான கட்டம் என்பதால்
  • 2:14 - 2:15
    முக்கோணத்தால் பிரச்சனை இருக்கிறது.
  • 2:15 - 2:16
    எல்லா நேரங்களிலும் கச்சிதமாகப் பொருந்தும் என்று கூற முடியாது.
  • 2:16 - 2:18
    உதாரணமாக இந்த உப்பின வடிவத்தில்
  • 2:18 - 2:20
    சம்பக்க முக்கோணம் பொருந்தாது. தனியாகத் தொங்கிக் கொண்டிருக்கும்.
  • 2:20 - 2:21
    நிச்சயமாக
  • 2:21 - 2:23
    விளையாட்டிற்கு ஒத்துவராது. அப்படியே நின்று போகும்.
  • 2:23 - 2:25
    ஆனால் வளைவு விளையாட்டிற்கு அழகாகப் பொருந்தும்.
  • 2:25 - 2:28
    அலங்கார வேலைப்பாடு செய்தால்
  • 2:28 - 2:29
    அதற்கு நிறைய சாத்தியப்பாடுகள் கிடைக்கும்.
  • 2:29 - 2:31
    சம பக்க முக்கோணம் கிடைக்கவில்லை என்றால் என்ன செய்வது..?
  • 2:31 - 2:32
    பல கோண வடிவங்கள் வரையலாம்.
  • 2:32 - 2:34
    விளையாட்டு மிக வேகமாக முடிந்து விடுகிறது. எனவே நன்றாக இல்லை.
  • 2:34 - 2:35
    வளைவாக இருப்பதில் சிக்கலான உருவங்களையே வரைய முடி'யும்.
  • 2:35 - 2:37
    வரையவும் கடினமாக இருக்கும்.
  • 2:37 - 2:39
    இதில் பெரிய முக்கோணத்தை எப்படிப் பார்ப்பது?
  • 2:39 - 2:41
    விளங்கிக் கொள்ள முடியாத ஒரு உருவத்தை நாம் வரைகிற பொழுது
  • 2:41 - 2:43
    எந்த முக்கோணம் கூடுதலான இடத்தை எடுக்கும்.
  • 2:43 - 2:45
    இது சற்று சுவாரஸ்யமான கேள்விதான்.
  • 2:45 - 2:46
    ஏனென்றால் இதற்குச் சரியான விடை உண்டு.
  • 2:46 - 2:47
    ஆனால் நாம் கணினியில் மென் பொருள் உருவாக்கி விட்டால்
  • 2:47 - 2:49
    அதன் எளிய விதிகளைப் பின்பற்றி
  • 2:49 - 2:51
    தானாகவே மற்றொரு உருவத்தை தேர்வு செய்து வடிவத்தினுள் நிரப்பிக் கொள்ளும்.
  • 2:51 - 2:54
    அதற்கு நாம் சில கணினிப்படுத்தல் வடிவியலைக் கற்றுக் கொள்வது அவசியம்.
  • 2:54 - 2:55
    அப்படிக் கற்றுக் கொண்டால் முக்கோணம், சதுரம், யானை போன்ற
  • 2:55 - 2:57
    வடிவங்களுக்கு அப்பாலும் செல்ல முடியும்.
  • 2:57 - 2:58
    ஆனால் வட்டம் தான் மிகப் பொருத்தமானது. ஏனென்றால்
  • 2:58 - 3:01
    ஆனால் அதுதான் கனக் கச்சிதமாக இருக்கிறது.
  • 3:01 - 3:03
    சரி நமது விளையாட்டை இன்னொரு விதமாக மாற்றுவோம்.
  • 3:03 - 3:05
    ஒரு வட்டத்தை மூன்று புள்ளிகள் வழியாக எப்படிப் புரிந்து கொள்வது என்று பார்ப்போம்.
  • 3:05 - 3:07
    முதலில் மூன்று புள்ளிகளை வைப்போம்.
  • 3:07 - 3:08
    அதன் பிறகு அந்தப் புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமான வட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.
  • 3:08 - 3:11
    இந்தத் தூண்டுதல் தான் நம்மை வட்ட விளையாட்டிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.
  • 3:11 - 3:13
    நாம் இந்த புள்ளிகளை வைத்த உடனே
  • 3:13 - 3:14
    அவை எண்ணில்லாத வட்டங்களாக மாறும் என்பது
  • 3:14 - 3:16
    நமக்குத் தெரியும்.
  • 3:16 - 3:18
    ஒவ்வொரு முடிவுறாத வட்டங்களும்
  • 3:18 - 3:20
    புதிய புதிய முனைகளை உருவாக்குகின்றன.
  • 3:20 - 3:22
    அந்த முனைகள் மீண்டும்
  • 3:22 - 3:24
    சின்னஞ்சிறு வட்டங்களாக மாறப்போகின்றன.
  • 3:24 - 3:27
    ஆகவே நம்பமுடியாத எண்ணிக்கையில் வட்டங்கள் பெருகப் போகின்றன.
  • 3:27 - 3:30
    அவை எத்தனை அடர்த்தியாய் இருக்கும் என்பதை அப்போது பார்க்கலாம்.
  • 3:30 - 3:32
    வியப்பூட்டும் முடிவின்மைகளைக் கொண்டிருந்தாலும்
  • 3:32 - 3:35
    எண்ண முடிகிற வகையிலான வட்டங்களையும் நாம் அதில் பார்க்கலாம்.
  • 3:35 - 3:39
    நாம் கற்பனை செய்திராத முடிவில்லா வட்டங்களைப் பார்க்கலாம்.
  • 3:39 - 3:41
    இதில் இன்னொரு சிறப்பம்சம் இருக்கிறது.
  • 3:41 - 3:43
    இந்தப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை ’ஒரு தன்னிச்சை நீளம்’ என்று வைத்துக் கொண்டால்
  • 3:43 - 3:45
    இந்த நீளம் கூட்டல் புள்ளி, புள்ளி, புள்ளி
  • 3:45 - 3:48
    என்று தொடர்களாக நீண்டு அது ஒன்றை அடையும்.
  • 3:48 - 3:52
    அடுத்து இது இன்னொரு தொடராக ஆரம்பித்து ஒன்றை அடையும்.
  • 3:52 - 3:53
    இது இன்னொன்று, அடுத்து இது மற்றொன்று என
  • 3:53 - 3:56
    அதிக நீளத்திற்கு தெளிவான வெளிப்புற வடிவத்தைப் பெற்று
  • 3:56 - 3:57
    தொடராக அமையும்.
  • 3:57 - 3:59
    ஆனால் நாம் தொடரில் எளிய வகையை விரும்பினால்
  • 3:59 - 4:00
    ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டமும்
  • 4:00 - 4:02
    அதற்கு முன்பாக உள்ளதற்கு குறிப்பிட்ட சதவீதத்தில்
  • 4:02 - 4:04
    நமக்கு நேர்கோடு கிடைக்கும். நேர் கோடு எவ்வளவு சாய்வாக இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரிந்தால்
  • 4:04 - 4:07
    அது பொருத்தமுள்ளதாக இருக்கும்.
  • 4:07 - 4:08
    இது எந்தக் கணக்கிடலும் தேவைப்படாமல்
  • 4:08 - 4:11
    ஒட்டகக் கணக்கை விளையாட்டாக தீர்க்க முடிந்தது என்பதால்
  • 4:11 - 4:13
    மிகவும் அற்புதம்.
  • 4:13 - 4:15
    ஒட்டகத்திற்குப் பதிலாக நம்மிடம் வட்டம் இருப்பதால்
  • 4:15 - 4:17
    கோணம் வரைவதன் மூலமாக சரியான முடிவில்லாத் தொடரை நாம் உருவாக்க முடிந்தது.
  • 4:17 - 4:20
    பக்கத்தின் முடிவு வரைக்கும் ஒட்டகத்தின் இடத்தில்
  • 4:20 - 4:22
    வட்டங்களை நிரப்ப முடிந்தது.
  • 4:22 - 4:24
    வேறுபல வடிவங்களையும் கொண்டு நிரப்பினோம்.
  • 4:24 - 4:25
    முழுத் தொலைவிற்கும் கொண்டு சென்றோம்.
  • 4:25 - 4:27
    எண்கள் ஏதும் தேவைப்படவில்லை.
  • 4:27 - 4:29
    இந்த விளையாட்டுக் கணக்கின் இறுதியில்
  • 4:29 - 4:31
    எண்ணற்ற அளவிற்கு தகவல்களைப் பரிமாறிக் கொண்டோம்.
  • 4:31 - 4:33
    அடுத்த ஐந்து நொடிகளில் கூட நிரப்ப முடியலாம்.
  • 4:33 - 4:34
    அடுத்து இத்தகைய விளையாட்டைச் செய்கிற போது
  • 4:34 - 4:35
    இதைக் காட்டிலும் இரண்டு மடங்கு வேகத்தில் கூடச் செய்ய முடியலாம்.
  • 4:35 - 4:36
    (and the next... high pitched garble)
Title:
Doodling in Math Class: Infinity Elephants
Description:

More videos/info: http://vihart.com/doodling

Doodling Snakes + Graphs: http://www.youtube.com/watch?v=heKK95DAKms
Doodling Stars: http://www.youtube.com/watch?v=CfJzrmS9UfY
Doodling Binary Trees: http://www.youtube.com/watch?v=e4MSN6IImpI

http://vihart.com
more » « less
Video Language:
English
Duration:
04:36

English subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.