நாம் ஒவ்வொரு நாளும் புதிது புதிதாக கற்றுக் கொள்ள
தொடர்ந்து கணக்குகளைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.
முடிவில்லாத கணக்குத் தொடர்களைக்
கற்று வருகிறோம்.
அவையெல்லாம் பாடக் கணக்குகளாக இருந்ததால்
மிக விரைவாக செய்து முடிக்க முடிந்தது நம்மால்.
நமது பாடத் திட்டம்
அந்த விதமாகத் தான் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.
மேலும் புரிதலுக்கு ஏற்ற கணக்குகளை
பன்மைத் தொடராகப் பார்க்கப் போகிறோம்.
நாம் இதுவரைப் பார்த்த கணக்குகளுக்கும் கூடுதலான
தலைப்பில் பார்க்கலாம்.
கணக்குத் தொடர் என்பதற்கு மாறாக
பன்மைத் தொடரில் மாற்றுவது அவசியமா...?
தொடர் என்பது தொடர்கள் என்று இருந்தால் நல்லது.
ஒன்றை அடைவதற்கு
ஒரு அம்சத்தை எடுத்துக் கொள்கிற போது
1/2 +1/4 +1/8 +1/16 என்று அதன் நுட்பமான கூறுகளை நோக்கிச் செல்ல வேண்டும்.
அதுதான் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு யானையை வரைவதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
அப்போது ஒன்றின் வாலை இன்னொரு யானை பற்றிக் கொள்வது போல் வரைய வேண்டும்.
முதலில் ஒரு சாதாரண யானை அடுத்து ஒரு இளம் யானை
குட்டியானை, அடுத்து நாயின் அளவிலான யானை, அப்புறம் பூனையளவு யானை
இப்படி தொடர்ந்து சென்று திருவாளர் கொம்பனையும் அதற்கு மேலும் வரைந்து கொண்டு போகலாம்.
ஒவ்வொன்றிலும் அதன் நுட்பமான பகுதியைத் தொட வேண்டும்.
அப்போது ஒரு கோட்டில் எண்ணற்ற யானைகளை நம்மால் வரைய முடியும்.
நிறைய யானைகளை ஒரு நோட்டுப் புத்தகத்தின் ஒரு பக்கத்திற்குள்ளேயே வரைந்து விடலாம்.
அப்படியானால்.....? இங்கே ஒரு கேள்வி எழுகிறது.
ஒட்டகப் படம் போட்டால் என்ன செய்வது...?
ஒட்டகம் யானையைக் காட்டிலும் சிறியதாக இருந்தாலும்
புத்தகத்தின் மூன்றாம் பக்கத்தையும் கடந்து அல்லவா போகும்.
ஒட்டகத்தை முறையாக வரையத் துவங்கினால்
இறுதிப் பக்கத்தில் எத்தனை பெரியதாக இருக்கும்?
இந்தக் கேள்விக்கான பதிலைக் கணக்கிட்டுத் தான் பார்க்க வேண்டும்.
நிச்சயமாக ஒரு பக்கத்தில் அடங்காத ஒட்டகமாகத் தான் இருக்கும்.
எனவே கணக்கிடவே வேண்டியதில்லை.
மீண்டும் ஒட்டகத்திற்கு வருவோம்.
இங்கே ஒரு பகுப்பை எடுத்துக் கொள்கிறோம்.
முதலில் ஒரு வட்டத்திற்குள்ளிருந்து ஆரம்பிப்பிப்போம்.
இந்த வட்டத்திற்குள்
முடிந்தவரை பெரிய வட்டங்களாகப் போடலாம்.
மீதமிருக்கும் வெளியிலும் வட்டங்களாக வரைந்து கொண்டே போகவேண்டும்.
இதனை அப்போலோனியன் கேஸ்கட் என்பார்கள்.
மறுபடியும் இன்னொரு வட்டத்தை எடுத்து
இதிலும்வட்டங்கள் வரைகிறோம்.
பெரிய வட்டங்களுக்கு இடையில் சின்னச் சின்ன வட்டங்கள்.
இருக்கிற இடைவெளியில் சின்னஞ்சிறியதாக வரைகிறோம்.
வட்டத்தின் வளையத்தினுள் சிறு வட்டங்கள்.
கச்சிதமாகப் பொருந்தும்படி வரைகிறோம்.
ஆனாலும் பார்ப்பதற்கு அழகாக இருக்கிறது.
இதுவொரு அற்புதமான விளையாட்டு.
படி ஒன்று - ஒரு காகிதத்தை எடுக்கிறோம்.
எதாவது ஒன்றை வரைகிறோம்.
படி இரண்டு
நாம் வரைந்த பாகத்தில் முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம் ஒன்று வரைகிறோம்.
படி மூன்று
முடிந்த அளவிற்குப் பெரிய வட்டம்
கிடைக்கிற இடத்தில் வரைகிறோம்.
படி நான்கு
படி மூன்றைப் பார்க்கிறோம்.
முதல் வட்டம் போட்ட பிறகு நிறைய வெளி மீதமிருக்கிறது.
அதனால் இப்போது வட்டம் போட வேண்டும் என்பதில்லை.
இந்தப் பகுப்பில் வேறு வடிவங்களை வரையலாம்.
இதனை முக்கோணங்களால் நிரப்பலாம்.
நட்சத்திரம் போன்ற எதையாவது வரைந்து அழகுபடுத்தலாம்.
இந்த இடத்தில் யானை, பாம்பு போன்ற எதை வேண்டுமானாலும் வரையலாம்.
அல்லது நம்முடைய நெருங்கிய நண்பரின் உருவத்தைக் கூட வரையலாம்.
இங்கே ஆப்ரகாம் லிங்கன் உருவத்தை வரைந்தால்
அற்புதமாக இருக்கும்.
வட்டங்கள் தவிர்த்து பிற வடிவங்கள் எதை வரையப் போகிறோம்?
சம பக்க முக்கோணங்கள் வரையலாம்.
அந்த முக்கோணத்தினுள் முக்கோணங்களை வரைந்து நிரப்பலாம்.
நாம் சில இடங்களில் முக்கோணம் வரைந்தால் மீதமுள்ள வெளி
தானாகவே முக்கோணங்களாக மாறி விடும்.
அதன் மூலமாக நமக்கு சியர்பிங்கியின் முக்கோணம் கிடைத்து விடும்.
அப்தேபடியே நாம் ஆபிரகாம் லிங்கன் உருவத்தையும் வரைந்து விடலாம்.
ஆனால் இந்தக் கட்டத்திற்குள் முக்கோணம் வரைந்தால் அழகாகப் பொருந்தும்.
ஆனால் இதுவொரு விசேசமான கட்டம் என்பதால்
முக்கோணத்தால் பிரச்சனை இருக்கிறது.
எல்லா நேரங்களிலும் கச்சிதமாகப் பொருந்தும் என்று கூற முடியாது.
உதாரணமாக இந்த உப்பின வடிவத்தில்
சம்பக்க முக்கோணம் பொருந்தாது. தனியாகத் தொங்கிக் கொண்டிருக்கும்.
நிச்சயமாக
விளையாட்டிற்கு ஒத்துவராது. அப்படியே நின்று போகும்.
ஆனால் வளைவு விளையாட்டிற்கு அழகாகப் பொருந்தும்.
அலங்கார வேலைப்பாடு செய்தால்
அதற்கு நிறைய சாத்தியப்பாடுகள் கிடைக்கும்.
சம பக்க முக்கோணம் கிடைக்கவில்லை என்றால் என்ன செய்வது..?
பல கோண வடிவங்கள் வரையலாம்.
விளையாட்டு மிக வேகமாக முடிந்து விடுகிறது. எனவே நன்றாக இல்லை.
வளைவாக இருப்பதில் சிக்கலான உருவங்களையே வரைய முடி'யும்.
வரையவும் கடினமாக இருக்கும்.
இதில் பெரிய முக்கோணத்தை எப்படிப் பார்ப்பது?
விளங்கிக் கொள்ள முடியாத ஒரு உருவத்தை நாம் வரைகிற பொழுது
எந்த முக்கோணம் கூடுதலான இடத்தை எடுக்கும்.
இது சற்று சுவாரஸ்யமான கேள்விதான்.
ஏனென்றால் இதற்குச் சரியான விடை உண்டு.
ஆனால் நாம் கணினியில் மென் பொருள் உருவாக்கி விட்டால்
அதன் எளிய விதிகளைப் பின்பற்றி
தானாகவே மற்றொரு உருவத்தை தேர்வு செய்து வடிவத்தினுள் நிரப்பிக் கொள்ளும்.
அதற்கு நாம் சில கணினிப்படுத்தல் வடிவியலைக் கற்றுக் கொள்வது அவசியம்.
அப்படிக் கற்றுக் கொண்டால் முக்கோணம், சதுரம், யானை போன்ற
வடிவங்களுக்கு அப்பாலும் செல்ல முடியும்.
ஆனால் வட்டம் தான் மிகப் பொருத்தமானது. ஏனென்றால்
ஆனால் அதுதான் கனக் கச்சிதமாக இருக்கிறது.
சரி நமது விளையாட்டை இன்னொரு விதமாக மாற்றுவோம்.
ஒரு வட்டத்தை மூன்று புள்ளிகள் வழியாக எப்படிப் புரிந்து கொள்வது என்று பார்ப்போம்.
முதலில் மூன்று புள்ளிகளை வைப்போம்.
அதன் பிறகு அந்தப் புள்ளிகளுக்குச் சொந்தமான வட்டத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.
இந்தத் தூண்டுதல் தான் நம்மை வட்ட விளையாட்டிற்கு அழைத்துச் செல்கிறது.
நாம் இந்த புள்ளிகளை வைத்த உடனே
அவை எண்ணில்லாத வட்டங்களாக மாறும் என்பது
நமக்குத் தெரியும்.
ஒவ்வொரு முடிவுறாத வட்டங்களும்
புதிய புதிய முனைகளை உருவாக்குகின்றன.
அந்த முனைகள் மீண்டும்
சின்னஞ்சிறு வட்டங்களாக மாறப்போகின்றன.
ஆகவே நம்பமுடியாத எண்ணிக்கையில் வட்டங்கள் பெருகப் போகின்றன.
அவை எத்தனை அடர்த்தியாய் இருக்கும் என்பதை அப்போது பார்க்கலாம்.
வியப்பூட்டும் முடிவின்மைகளைக் கொண்டிருந்தாலும்
எண்ண முடிகிற வகையிலான வட்டங்களையும் நாம் அதில் பார்க்கலாம்.
நாம் கற்பனை செய்திராத முடிவில்லா வட்டங்களைப் பார்க்கலாம்.
இதில் இன்னொரு சிறப்பம்சம் இருக்கிறது.
இந்தப் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை ’ஒரு தன்னிச்சை நீளம்’ என்று வைத்துக் கொண்டால்
இந்த நீளம் கூட்டல் புள்ளி, புள்ளி, புள்ளி
என்று தொடர்களாக நீண்டு அது ஒன்றை அடையும்.
அடுத்து இது இன்னொரு தொடராக ஆரம்பித்து ஒன்றை அடையும்.
இது இன்னொன்று, அடுத்து இது மற்றொன்று என
அதிக நீளத்திற்கு தெளிவான வெளிப்புற வடிவத்தைப் பெற்று
தொடராக அமையும்.
ஆனால் நாம் தொடரில் எளிய வகையை விரும்பினால்
ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டமும்
அதற்கு முன்பாக உள்ளதற்கு குறிப்பிட்ட சதவீதத்தில்
நமக்கு நேர்கோடு கிடைக்கும். நேர் கோடு எவ்வளவு சாய்வாக இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரிந்தால்
அது பொருத்தமுள்ளதாக இருக்கும்.
இது எந்தக் கணக்கிடலும் தேவைப்படாமல்
ஒட்டகக் கணக்கை விளையாட்டாக தீர்க்க முடிந்தது என்பதால்
மிகவும் அற்புதம்.
ஒட்டகத்திற்குப் பதிலாக நம்மிடம் வட்டம் இருப்பதால்
கோணம் வரைவதன் மூலமாக சரியான முடிவில்லாத் தொடரை நாம் உருவாக்க முடிந்தது.
பக்கத்தின் முடிவு வரைக்கும் ஒட்டகத்தின் இடத்தில்
வட்டங்களை நிரப்ப முடிந்தது.
வேறுபல வடிவங்களையும் கொண்டு நிரப்பினோம்.
முழுத் தொலைவிற்கும் கொண்டு சென்றோம்.
எண்கள் ஏதும் தேவைப்படவில்லை.
இந்த விளையாட்டுக் கணக்கின் இறுதியில்
எண்ணற்ற அளவிற்கு தகவல்களைப் பரிமாறிக் கொண்டோம்.
அடுத்த ஐந்து நொடிகளில் கூட நிரப்ப முடியலாம்.
அடுத்து இத்தகைய விளையாட்டைச் செய்கிற போது
இதைக் காட்டிலும் இரண்டு மடங்கு வேகத்தில் கூடச் செய்ய முடியலாம்.
(and the next... high pitched garble)