Grup teorisi 101: Rubik küpünü bir piyano gibi nasıl çalabilirsiniz - Michael Staff

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Matematik, parçacık fiziğinden mühendisliğe ve ekonomiye kadar, evrenin işleyişini açıklıyor. Hatta matematik müzikle bile yakından bağlantılı ve ikisinin ortak paydasının, Rubik küpü bulmacası ile de bir alakası var. Michael Staff bizlere grup teorisinin, bir Rubik küpünü bir piyano gibi çalmayı nasıl öğreteceğini açıklıyor.

Dersi veren Michael Staff, animasyonu yapan Shixie.

Bir Rubik küpünü nasıl çalabilirsiniz?

Çalmak derken,
bir piyano gibi çalmak.

Bu soru ilk başta mantıklı gelmiyor,

fakat grup teorisi adlı bir
soyut matematik alanı cevabını biliyor,

eğer sabrederseniz.

Matematikte grup, elemanlar
koleksiyonu anlamına gelmektedir.

Bu elementler bir dizi tam sayı,

Rubik küpünün bir yüzü

veya herhangi bir şey olabilir,

yeter ki dört özel kuralı veya
aksiyomu takip etsinler.

Birinci aksiyom:

Tüm grup işlemleri yalnızca
grup elemanlarıyla kısıtlı olmalıdır.

Yani karede veya
yaptığınız herhangi bir işlemde,

onu ne yöne çevirirseniz çevirin,

sonuç, grubun bir elemanı çıkacaktır.

İkinci aksiyom:

Tek bir grup işlemi yaparken
parantezi nereye koyarsak koyalım,

aynı sonucu alırız.

Yani, kareyi iki kez ve
sonra bir kez sağa çevirirsek,

bu önce bir, sonra iki kez ile aynıdır

veya bir artı iki,
iki artı bir ile aynıdır.

Üçüncü aksiyom:

Her işlem için, grubun birim
adını verdiği bir eleman vardır.

Onu gruptaki diğer bir
elemana uyguladığımızda,

yine o elemanı elde ederiz.

Yani hem kareyi çevirmek
hem de tam sayı eklemek için

buradaki birim elemanı sıfır,

pek heyecanlı değil.

Dördüncü aksiyom:

Her grup elemanı, gruptaki
tersi adı verilen bir elemana sahiptir.

İkisi, grubun ekleme işlemini
kullanarak bir araya geldiğinde,

birim elemanı ile, sıfırla sonuçlanır,

böylece birbirlerini
sıfırladıkları düşünülebilir.

Peki, iyi hoş ama,
tüm bunların amacı ne?

Pekâlâ, bu basit
kuralların ötesine geçtiğimizde

bazı ilginç özellikler ortaya çıkıyor.

Örneğin kareyi, tam
teşekküllü bir Rubik küpüne çevirelim.

Bu hâlâ tüm
aksiyomlara uyan bir grup,

ancak şimdi daha fazla eleman

ve işlem var.

Her yüzün her sırasını
ve sütununu çevirebiliyoruz.

Her pozisyona permütasyon adı veriliyor

ve grupta ne kadar çok eleman varsa,
permütasyon olasılığı da o kadar artıyor.

Rubik küpünde 43
kentilyondan fazla permütasyon vardır,

yani onu rastgele çözmeye
çalışmak işe yaramayacaktır.

Ancak grup teorisini
kullanarak küpü analiz edebilir

ve bizi sonuca götüren bir
permütasyon dizisi belirleyebiliriz.

Ayrıca, aslında bunu çözen
çoğu kişinin yaptığı şey de bu,

dönüşleri belirleyen bir
grup teorisi gösterimi kullansalar bile.

Bu yalnızca bulmaca çözmeye yaramıyor.

Grup teorisinin aynı
zamanda müzikte de önemli bir yeri var.

Bir akordu görselleştirmenin
bir yolu, on iki notanın tümünü yazmak

ve içine bir kare yerleştirmektir.

Herhangi bir notayla başlayabiliriz,
fakat C üstte olduğu için onu kullanalım.

Ortaya çıkan akorda,
küçültülmüş yedinci akort adı veriliyor.

Şimdi bu akort, elementleri
bu dört nota olan bir grup.

Ona uygulayabileceğimiz işlem,
en alttaki notayı en üste almak.

Müzikte buna enversiyon deniyor

ve önceki eklemeye eşdeğer.

Her enversiyon, akort sesini değiştiriyor,

fakat hiçbir zaman bir C küçültülmüş
yedincisi olmayı bırakmıyor.

Yani, birinci aksiyoma uyuyor.

Besteciler enversiyonları bir akort
dizisini değiştirmek

ve çatlakları, garip sesleri
engellemek için kullanıyorlar.

Bir müzik portesinde
enversiyon böyle görünüyor.

Bunu ayrıca kare üzerine
yayabilir ve bunu elde edebiliriz.

Yani, sanki çözülen küpün her
yüzü ahenkli bir akortmuş gibi,

tüm Rubik küpünüzü
notalarla kaplayacak olsaydınız,

çözümü, yavaş yavaş
uyumsuzluktan ahenge doğru

giden bir akort dizisi
olarak ifade edebilirdiniz ve

eğer hoşunuza giderse,
Rubik küpünü çalabilirsiniz.