Return to Video

Основы теории групп: Как играть в кубик Рубика словно на пианино — Майкл Стафф

  • 0:07 - 0:09
    Как играть в кубик Рубика?
  • 0:09 - 0:13
    Как не просто играть с ним,
    а играть, как на пианино?
  • 0:13 - 0:16
    На первый взгляд,
    вопрос кажется бессмысленным.
  • 0:16 - 0:20
    Но теория групп, раздел общей алгебры,
    предлагает ответ.
  • 0:20 - 0:22
    Уж потерпите чуточку.
  • 0:22 - 0:27
    В математике группа —
    это определённый набор элементов.
  • 0:27 - 0:29
    Например, набор целых чисел:
  • 0:29 - 0:30
    грань кубика Рубика
  • 0:30 - 0:32
    или любые другие элементы,
  • 0:32 - 0:36
    соответствующие четырём чётким правилам,
    или аксиомам.
  • 0:37 - 0:38
    Аксиома 1: Замкнутость.
  • 0:38 - 0:43
    Любые действия в группе должны
    распространяться только на её элементы.
  • 0:43 - 0:47
    Так, в кубике, что бы вы ни делали,
  • 0:47 - 0:49
    например, поворот грани
    в ту или иную сторону,
  • 0:49 - 0:52
    вы взаимодействуете только
    с элементом группы.
  • 0:52 - 0:54
    Аксиома 2: Ассоциативность.
  • 0:54 - 0:58
    Независимо от последовательности операций,
  • 0:58 - 1:00
    результат одинаков.
  • 1:00 - 1:05
    Иначе говоря, поворот грани дважды вправо,
    а затем ещё раз в ту же сторону
  • 1:05 - 1:08
    равен одному повороту вправо
    и ещё двум поворотам вправо,
  • 1:08 - 1:12
    или в числовом виде: 1+2 = 2+1.
  • 1:13 - 1:14
    Аксиома 3: Единичный элемент.
  • 1:14 - 1:19
    Для каждого действия в группе
    существует единичный элемент.
  • 1:19 - 1:21
    Добавляя его к любому другому
    элементу группы,
  • 1:21 - 1:23
    получаем тот же самый элемент.
  • 1:23 - 1:27
    То есть при повороте грани
    и добавлении числа,
  • 1:27 - 1:29
    единичный элемент равен нулю —
  • 1:29 - 1:31
    не так уж и впечатляюще.
  • 1:32 - 1:33
    Аксиома 4: Обратный элемент.
  • 1:33 - 1:38
    В группе у каждого элемента
    есть противоположный ему элемент.
  • 1:38 - 1:42
    При их совмещении
    в групповой операции сложения
  • 1:42 - 1:45
    их результат равен
    единичному элементу, нулю,
  • 1:45 - 1:48
    то есть они взаимоисключают друг друга.
  • 1:49 - 1:52
    Всё это здóрово и интересно,
    но в чём смысл?
  • 1:52 - 1:55
    Если взять задачку
    посложнее базовых правил,
  • 1:55 - 1:58
    начинают проявляться
    некие интересные особенности.
  • 1:58 - 2:03
    Например, увеличим наш квадрат
    до полноценного кубика Рубика.
  • 2:03 - 2:07
    Это всё ещё группа,
    отвечающая всем аксиомам,
  • 2:07 - 2:10
    но сейчас в ней гораздо больше элементов
  • 2:10 - 2:12
    и возможных действий.
  • 2:12 - 2:16
    Можно повернуть любой ряд
    или столбец каждой грани.
  • 2:16 - 2:19
    Каждый полученный вариант
    называется перестановкой,
  • 2:19 - 2:24
    и чем больше элементов в группе,
    тем больше возможных перестановок.
  • 2:24 - 2:28
    Существует более 43 квинтиллионов
    вариантов перестановок кубика Рубика,
  • 2:28 - 2:32
    так что бессистемная сборка
    не даст результата.
  • 2:32 - 2:36
    Но с помощью теории групп
    можно проанализировать кубик Рубика
  • 2:36 - 2:41
    и определить выигрышную
    последовательность перестановок.
  • 2:41 - 2:44
    Именно так большинство
    людей и собирает кубик,
  • 2:44 - 2:48
    иногда даже используя систему обозначений
    теории групп для записи поворотов граней.
  • 2:49 - 2:52
    Это годится не только
    для решения головоломок.
  • 2:52 - 2:56
    Теория групп также применима и в музыке.
  • 2:56 - 3:01
    Один из способов представить аккорд —
    это записать все 12 нот
  • 3:01 - 3:03
    и соединить четыре из них квадратом.
  • 3:03 - 3:08
    Можно начать с любой ноты;
    возьмём С, например, так как она наверху.
  • 3:08 - 3:12
    Полученный аккорд называется
    уменьшенный септаккорд.
  • 3:12 - 3:17
    Теперь он — группа,
    а её элементы — четыре ноты.
  • 3:17 - 3:21
    Мы можем совершить такое действие:
    переместить нижнюю ноту наверх.
  • 3:21 - 3:24
    В музыке это называется инверсия
  • 3:24 - 3:27
    и равноценно сложению,
    рассмотренному нами ранее.
  • 3:27 - 3:30
    Каждая инверсия меняет звучание аккорда,
  • 3:30 - 3:34
    но он всегда остаётся
    уменьшенным септаккордом C,
  • 3:34 - 3:37
    иными словами, удовлетворяет аксиоме 1.
  • 3:38 - 3:40
    Композиторы применяют инверсию,
    чтобы манипулировать
  • 3:40 - 3:45
    последовательностью аккордов,
    избегая странно звучащих переходов.
  • 3:51 - 3:55
    На нотном стане инверсия выглядит так.
  • 3:55 - 3:59
    Но мы также можем применить её
    к нашему квадрату и получим вот это.
  • 4:00 - 4:04
    Если покрыть кубик Рубика нотами так,
  • 4:04 - 4:09
    чтобы каждая его грань в решённом виде
    являлась гармоничным аккордом,
  • 4:09 - 4:13
    то вы сможете собрать кубик,
    пользуясь сменой аккордов,
  • 4:13 - 4:17
    в результате которой разноголосица
    планомерно превращается в гармонию звуков,
  • 4:17 - 4:20
    и играть на кубике Рубика
    подобно игре на пианино.
Title:
Основы теории групп: Как играть в кубик Рубика словно на пианино — Майкл Стафф
Description:

Посмотреть полный урок можно по ссылке: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

Математика объясняет механизмы работы Вселенной — от физики элементарных частиц до инженерии и экономики. Ещё теснее математика связана с музыкой, а то, что их объединяет, имеет отношение с решением головоломки «Кубик Рубика». Майкл Стафф объясняет, как теория групп может научить нас играть в кубик Рубика подобно игре на пианино.

Урок Майкла Стаффа, анимация Shixie.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:37

Russian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.