WEBVTT

00:00:06.710 --> 00:00:09.250
Как играть в кубик Рубика?

00:00:09.250 --> 00:00:12.876
Как не просто играть с ним,
а играть, как на пианино?

00:00:12.886 --> 00:00:15.521
На первый взгляд,
вопрос кажется бессмысленным.

00:00:15.521 --> 00:00:20.320
Но теория групп, раздел общей алгебры,
предлагает ответ.

00:00:20.320 --> 00:00:21.819
Уж потерпите чуточку.

00:00:22.279 --> 00:00:26.599
В математике группа —
это определённый набор элементов.

00:00:26.609 --> 00:00:28.545
Например, набор целых чисел:

00:00:28.545 --> 00:00:30.473
грань кубика Рубика

00:00:30.473 --> 00:00:31.765
или любые другие элементы,

00:00:31.765 --> 00:00:35.881
соответствующие четырём чётким правилам,
или аксиомам.

00:00:36.571 --> 00:00:37.779
Аксиома 1: Замкнутость.

00:00:37.779 --> 00:00:43.367
Любые действия в группе должны
распространяться только на её элементы.

00:00:43.367 --> 00:00:46.601
Так, в кубике, что бы вы ни делали,

00:00:46.601 --> 00:00:48.798
например, поворот грани
в ту или иную сторону,

00:00:48.798 --> 00:00:51.751
вы взаимодействуете только
с элементом группы.

00:00:52.331 --> 00:00:53.666
Аксиома 2: Ассоциативность.

00:00:53.666 --> 00:00:57.996
Независимо от последовательности операций,

00:00:57.996 --> 00:01:00.259
результат одинаков.

00:01:00.259 --> 00:01:05.040
Иначе говоря, поворот грани дважды вправо,
а затем ещё раз в ту же сторону

00:01:05.040 --> 00:01:07.788
равен одному повороту вправо
и ещё двум поворотам вправо,

00:01:07.788 --> 00:01:11.656
или в числовом виде: 1+2 = 2+1.

00:01:12.586 --> 00:01:14.084
Аксиома 3: Единичный элемент.

00:01:14.084 --> 00:01:18.655
Для каждого действия в группе
существует единичный элемент.

00:01:18.655 --> 00:01:21.290
Добавляя его к любому другому
элементу группы,

00:01:21.290 --> 00:01:23.379
получаем тот же самый элемент.

00:01:23.379 --> 00:01:26.857
То есть при повороте грани
и добавлении числа,

00:01:26.857 --> 00:01:29.267
единичный элемент равен нулю —

00:01:29.267 --> 00:01:30.837
не так уж и впечатляюще.

00:01:31.587 --> 00:01:33.225
Аксиома 4: Обратный элемент.

00:01:33.225 --> 00:01:37.522
В группе у каждого элемента
есть противоположный ему элемент.

00:01:38.052 --> 00:01:42.253
При их совмещении
в групповой операции сложения

00:01:42.253 --> 00:01:44.991
их результат равен
единичному элементу, нулю,

00:01:44.991 --> 00:01:47.713
то есть они взаимоисключают друг друга.

00:01:48.843 --> 00:01:52.439
Всё это здóрово и интересно,
но в чём смысл?

00:01:52.439 --> 00:01:55.303
Если взять задачку
посложнее базовых правил,

00:01:55.303 --> 00:01:57.652
начинают проявляться
некие интересные особенности.

00:01:57.652 --> 00:02:02.771
Например, увеличим наш квадрат
до полноценного кубика Рубика.

00:02:02.771 --> 00:02:06.643
Это всё ещё группа,
отвечающая всем аксиомам,

00:02:06.643 --> 00:02:09.561
но сейчас в ней гораздо больше элементов

00:02:09.561 --> 00:02:11.753
и возможных действий.

00:02:11.753 --> 00:02:15.744
Можно повернуть любой ряд
или столбец каждой грани.

00:02:16.364 --> 00:02:18.835
Каждый полученный вариант
называется перестановкой,

00:02:18.835 --> 00:02:23.596
и чем больше элементов в группе,
тем больше возможных перестановок.

00:02:23.596 --> 00:02:27.992
Существует более 43 квинтиллионов
вариантов перестановок кубика Рубика,

00:02:27.992 --> 00:02:32.120
так что бессистемная сборка
не даст результата.

00:02:32.120 --> 00:02:35.864
Но с помощью теории групп
можно проанализировать кубик Рубика

00:02:35.864 --> 00:02:40.604
и определить выигрышную
последовательность перестановок.

00:02:40.604 --> 00:02:44.284
Именно так большинство
людей и собирает кубик,

00:02:44.284 --> 00:02:48.412
иногда даже используя систему обозначений
теории групп для записи поворотов граней.

00:02:49.232 --> 00:02:51.881
Это годится не только
для решения головоломок.

00:02:51.881 --> 00:02:55.745
Теория групп также применима и в музыке.

00:02:56.375 --> 00:03:00.977
Один из способов представить аккорд —
это записать все 12 нот

00:03:00.977 --> 00:03:03.432
и соединить четыре из них квадратом.

00:03:03.432 --> 00:03:08.134
Можно начать с любой ноты;
возьмём С, например, так как она наверху.

00:03:08.134 --> 00:03:11.865
Полученный аккорд называется
уменьшенный септаккорд.

00:03:12.385 --> 00:03:17.023
Теперь он — группа,
а её элементы — четыре ноты.

00:03:17.023 --> 00:03:21.481
Мы можем совершить такое действие:
переместить нижнюю ноту наверх.

00:03:21.481 --> 00:03:24.067
В музыке это называется инверсия

00:03:24.067 --> 00:03:26.977
и равноценно сложению,
рассмотренному нами ранее.

00:03:26.977 --> 00:03:29.939
Каждая инверсия меняет звучание аккорда,

00:03:29.939 --> 00:03:33.519
но он всегда остаётся
уменьшенным септаккордом C,

00:03:33.519 --> 00:03:36.951
иными словами, удовлетворяет аксиоме 1.

00:03:37.511 --> 00:03:40.162
Композиторы применяют инверсию,
чтобы манипулировать

00:03:40.162 --> 00:03:45.067
последовательностью аккордов,
избегая странно звучащих переходов.

00:03:51.007 --> 00:03:54.638
На нотном стане инверсия выглядит так.

00:03:54.638 --> 00:03:59.166
Но мы также можем применить её
к нашему квадрату и получим вот это.

00:03:59.876 --> 00:04:04.484
Если покрыть кубик Рубика нотами так,

00:04:04.484 --> 00:04:09.298
чтобы каждая его грань в решённом виде
являлась гармоничным аккордом,

00:04:09.298 --> 00:04:13.098
то вы сможете собрать кубик,
пользуясь сменой аккордов,

00:04:13.098 --> 00:04:16.749
в результате которой разноголосица
планомерно превращается в гармонию звуков,

00:04:16.749 --> 00:04:20.119
и играть на кубике Рубика
подобно игре на пианино.