Как играть в кубик Рубика?
Как не просто играть с ним, а играть, как на пианино?
На первый взгляд, вопрос кажется бессмысленным.
Но теория групп, раздел общей алгебры, предлагает ответ.
Уж потерпите чуточку.
В математике группа — это определённый набор элементов.
Например, набор целых чисел:
грань кубика Рубика
или любые другие элементы,
соответствующие четырём чётким правилам, или аксиомам.
Аксиома 1: Замкнутость.
Любые действия в группе должны распространяться только на её элементы.
Так, в кубике, что бы вы ни делали,
например, поворот грани в ту или иную сторону,
вы взаимодействуете только с элементом группы.
Аксиома 2: Ассоциативность.
Независимо от последовательности операций,
результат одинаков.
Иначе говоря, поворот грани дважды вправо, а затем ещё раз в ту же сторону
равен одному повороту вправо и ещё двум поворотам вправо,
или в числовом виде: 1+2 = 2+1.
Аксиома 3: Единичный элемент.
Для каждого действия в группе существует единичный элемент.
Добавляя его к любому другому элементу группы,
получаем тот же самый элемент.
То есть при повороте грани и добавлении числа,
единичный элемент равен нулю —
не так уж и впечатляюще.
Аксиома 4: Обратный элемент.
В группе у каждого элемента есть противоположный ему элемент.
При их совмещении в групповой операции сложения
их результат равен единичному элементу, нулю,
то есть они взаимоисключают друг друга.
Всё это здóрово и интересно, но в чём смысл?
Если взять задачку посложнее базовых правил,
начинают проявляться некие интересные особенности.
Например, увеличим наш квадрат до полноценного кубика Рубика.
Это всё ещё группа, отвечающая всем аксиомам,
но сейчас в ней гораздо больше элементов
и возможных действий.
Можно повернуть любой ряд или столбец каждой грани.
Каждый полученный вариант называется перестановкой,
и чем больше элементов в группе, тем больше возможных перестановок.
Существует более 43 квинтиллионов вариантов перестановок кубика Рубика,
так что бессистемная сборка не даст результата.
Но с помощью теории групп можно проанализировать кубик Рубика
и определить выигрышную последовательность перестановок.
Именно так большинство людей и собирает кубик,
иногда даже используя систему обозначений теории групп для записи поворотов граней.
Это годится не только для решения головоломок.
Теория групп также применима и в музыке.
Один из способов представить аккорд — это записать все 12 нот
и соединить четыре из них квадратом.
Можно начать с любой ноты; возьмём С, например, так как она наверху.
Полученный аккорд называется уменьшенный септаккорд.
Теперь он — группа, а её элементы — четыре ноты.
Мы можем совершить такое действие: переместить нижнюю ноту наверх.
В музыке это называется инверсия
и равноценно сложению, рассмотренному нами ранее.
Каждая инверсия меняет звучание аккорда,
но он всегда остаётся уменьшенным септаккордом C,
иными словами, удовлетворяет аксиоме 1.
Композиторы применяют инверсию, чтобы манипулировать
последовательностью аккордов, избегая странно звучащих переходов.
На нотном стане инверсия выглядит так.
Но мы также можем применить её к нашему квадрату и получим вот это.
Если покрыть кубик Рубика нотами так,
чтобы каждая его грань в решённом виде являлась гармоничным аккордом,
то вы сможете собрать кубик, пользуясь сменой аккордов,
в результате которой разноголосица планомерно превращается в гармонию звуков,
и играть на кубике Рубика подобно игре на пианино.