1
00:00:06,710 --> 00:00:09,250
Как играть в кубик Рубика?

2
00:00:09,250 --> 00:00:12,876
Как не просто играть с ним,
а играть, как на пианино?

3
00:00:12,886 --> 00:00:15,521
На первый взгляд,
вопрос кажется бессмысленным.

4
00:00:15,521 --> 00:00:20,320
Но теория групп, раздел общей алгебры,
предлагает ответ.

5
00:00:20,320 --> 00:00:21,819
Уж потерпите чуточку.

6
00:00:22,279 --> 00:00:26,599
В математике группа —
это определённый набор элементов.

7
00:00:26,609 --> 00:00:28,545
Например, набор целых чисел:

8
00:00:28,545 --> 00:00:30,473
грань кубика Рубика

9
00:00:30,473 --> 00:00:31,765
или любые другие элементы,

10
00:00:31,765 --> 00:00:35,881
соответствующие четырём чётким правилам,
или аксиомам.

11
00:00:36,571 --> 00:00:37,779
Аксиома 1: Замкнутость.

12
00:00:37,779 --> 00:00:43,367
Любые действия в группе должны
распространяться только на её элементы.

13
00:00:43,367 --> 00:00:46,601
Так, в кубике, что бы вы ни делали,

14
00:00:46,601 --> 00:00:48,798
например, поворот грани
в ту или иную сторону,

15
00:00:48,798 --> 00:00:51,751
вы взаимодействуете только
с элементом группы.

16
00:00:52,331 --> 00:00:53,666
Аксиома 2: Ассоциативность.

17
00:00:53,666 --> 00:00:57,996
Независимо от последовательности операций,

18
00:00:57,996 --> 00:01:00,259
результат одинаков.

19
00:01:00,259 --> 00:01:05,040
Иначе говоря, поворот грани дважды вправо,
а затем ещё раз в ту же сторону

20
00:01:05,040 --> 00:01:07,788
равен одному повороту вправо
и ещё двум поворотам вправо,

21
00:01:07,788 --> 00:01:11,656
или в числовом виде: 1+2 = 2+1.

22
00:01:12,586 --> 00:01:14,084
Аксиома 3: Единичный элемент.

23
00:01:14,084 --> 00:01:18,655
Для каждого действия в группе
существует единичный элемент.

24
00:01:18,655 --> 00:01:21,290
Добавляя его к любому другому
элементу группы,

25
00:01:21,290 --> 00:01:23,379
получаем тот же самый элемент.

26
00:01:23,379 --> 00:01:26,857
То есть при повороте грани
и добавлении числа,

27
00:01:26,857 --> 00:01:29,267
единичный элемент равен нулю —

28
00:01:29,267 --> 00:01:30,837
не так уж и впечатляюще.

29
00:01:31,587 --> 00:01:33,225
Аксиома 4: Обратный элемент.

30
00:01:33,225 --> 00:01:37,522
В группе у каждого элемента
есть противоположный ему элемент.

31
00:01:38,052 --> 00:01:42,253
При их совмещении
в групповой операции сложения

32
00:01:42,253 --> 00:01:44,991
их результат равен
единичному элементу, нулю,

33
00:01:44,991 --> 00:01:47,713
то есть они взаимоисключают друг друга.

34
00:01:48,843 --> 00:01:52,439
Всё это здóрово и интересно,
но в чём смысл?

35
00:01:52,439 --> 00:01:55,303
Если взять задачку
посложнее базовых правил,

36
00:01:55,303 --> 00:01:57,652
начинают проявляться
некие интересные особенности.

37
00:01:57,652 --> 00:02:02,771
Например, увеличим наш квадрат
до полноценного кубика Рубика.

38
00:02:02,771 --> 00:02:06,643
Это всё ещё группа,
отвечающая всем аксиомам,

39
00:02:06,643 --> 00:02:09,561
но сейчас в ней гораздо больше элементов

40
00:02:09,561 --> 00:02:11,753
и возможных действий.

41
00:02:11,753 --> 00:02:15,744
Можно повернуть любой ряд
или столбец каждой грани.

42
00:02:16,364 --> 00:02:18,835
Каждый полученный вариант
называется перестановкой,

43
00:02:18,835 --> 00:02:23,596
и чем больше элементов в группе,
тем больше возможных перестановок.

44
00:02:23,596 --> 00:02:27,992
Существует более 43 квинтиллионов
вариантов перестановок кубика Рубика,

45
00:02:27,992 --> 00:02:32,120
так что бессистемная сборка
не даст результата.

46
00:02:32,120 --> 00:02:35,864
Но с помощью теории групп
можно проанализировать кубик Рубика

47
00:02:35,864 --> 00:02:40,604
и определить выигрышную
последовательность перестановок.

48
00:02:40,604 --> 00:02:44,284
Именно так большинство
людей и собирает кубик,

49
00:02:44,284 --> 00:02:48,412
иногда даже используя систему обозначений
теории групп для записи поворотов граней.

50
00:02:49,232 --> 00:02:51,881
Это годится не только
для решения головоломок.

51
00:02:51,881 --> 00:02:55,745
Теория групп также применима и в музыке.

52
00:02:56,375 --> 00:03:00,977
Один из способов представить аккорд —
это записать все 12 нот

53
00:03:00,977 --> 00:03:03,432
и соединить четыре из них квадратом.

54
00:03:03,432 --> 00:03:08,134
Можно начать с любой ноты;
возьмём С, например, так как она наверху.

55
00:03:08,134 --> 00:03:11,865
Полученный аккорд называется
уменьшенный септаккорд.

56
00:03:12,385 --> 00:03:17,023
Теперь он — группа,
а её элементы — четыре ноты.

57
00:03:17,023 --> 00:03:21,481
Мы можем совершить такое действие:
переместить нижнюю ноту наверх.

58
00:03:21,481 --> 00:03:24,067
В музыке это называется инверсия

59
00:03:24,067 --> 00:03:26,977
и равноценно сложению,
рассмотренному нами ранее.

60
00:03:26,977 --> 00:03:29,939
Каждая инверсия меняет звучание аккорда,

61
00:03:29,939 --> 00:03:33,519
но он всегда остаётся
уменьшенным септаккордом C,

62
00:03:33,519 --> 00:03:36,951
иными словами, удовлетворяет аксиоме 1.

63
00:03:37,511 --> 00:03:40,162
Композиторы применяют инверсию,
чтобы манипулировать

64
00:03:40,162 --> 00:03:45,067
последовательностью аккордов,
избегая странно звучащих переходов.

65
00:03:51,007 --> 00:03:54,638
На нотном стане инверсия выглядит так.

66
00:03:54,638 --> 00:03:59,166
Но мы также можем применить её
к нашему квадрату и получим вот это.

67
00:03:59,876 --> 00:04:04,484
Если покрыть кубик Рубика нотами так,

68
00:04:04,484 --> 00:04:09,298
чтобы каждая его грань в решённом виде
являлась гармоничным аккордом,

69
00:04:09,298 --> 00:04:13,098
то вы сможете собрать кубик,
пользуясь сменой аккордов,

70
00:04:13,098 --> 00:04:16,749
в результате которой разноголосица
планомерно превращается в гармонию звуков,

71
00:04:16,749 --> 00:04:20,119
и играть на кубике Рубика
подобно игре на пианино.