群論の基礎: ルービック・キューブをピアノの様に演奏する方法-マイケル・スタッフ
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0:07 - 0:10ルービック・キューブを
プレイできますか? -
0:10 - 0:13それで遊ぶのではなく
ピアノにように演奏できるでしょうか? -
0:13 - 0:16最初は この質問が
ピンとこないかもしれませんが -
0:16 - 0:21抽象代数学の分野である
群論でその答えが分かります -
0:21 - 0:23では お付き合いください
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0:23 - 0:27数学では 群とはある条件に従う
要素(元)の集まりです -
0:27 - 0:29それは 整数の集合だったり
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0:29 - 0:30ルービック・キューブの面だったり
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0:30 - 0:32その他 何であれ
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0:32 - 0:37ある4つの規則 あるいは公理に
従うなら何でも構いません -
0:37 - 0:38公理1
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0:38 - 0:44全ての群の演算について閉じていること
つまり 演算結果もその群に属すること -
0:44 - 0:47ですから この四角に
どのような演算を行ったとしても― -
0:47 - 0:49ある方向に回転したり
逆方向に回転しても -
0:49 - 0:52同じ群の要素になります
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0:52 - 0:54公理2
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0:54 - 0:58一連の演算を行う時
括弧の位置により演算の順序を変えても -
0:58 - 1:01結果が同じになることです
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1:01 - 1:05たとえば四角を 右に2回 次に右に1回
回転した時と -
1:05 - 1:081回転の後 2回転した場合でも
同じ結果が得られ -
1:08 - 1:13数字の場合なら1+2と 2+1が
同じ結果になるといったことです -
1:13 - 1:14公理3
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1:14 - 1:19どの演算に於いても
群には単位元と呼ばれる要素があります -
1:19 - 1:21これを群のどの要素に作用させても
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1:21 - 1:23もとの要素と変わりません
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1:23 - 1:27四角を回転させる場合も
整数の加法においても -
1:27 - 1:29単位元はゼロというわけです
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1:29 - 1:32さして 面白くはありませんね
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1:32 - 1:33公理4
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1:33 - 1:38群の各要素に対して
逆元と呼ばれるものが存在します -
1:38 - 1:42ある要素とその逆元について
群の演算を行うと -
1:42 - 1:45単位元 つまり ゼロになることで
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1:45 - 1:49お互いに打ち消し合うということです
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1:49 - 1:52これで全てですが
何の役立つのでしょう? -
1:52 - 1:55これらの基本的な規則を応用してみると
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1:55 - 1:58興味深い特性が現れてきます
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1:58 - 2:03例えば 先程の四角を
ルービック・キューブ全体に拡張してみましょう -
2:03 - 2:07これも同様に
公理をすべて満たす群ですが -
2:07 - 2:10今度は 要素の数が格段に増え
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2:10 - 2:12演算も増えています
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2:12 - 2:17各面の行や列を
回転させることができます -
2:17 - 2:19各配置への操作は置換と呼ばれます
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2:19 - 2:24群の要素が増えるほど
考えられる置換は増えます -
2:24 - 2:28ルービック・キューブは
4300京以上の置換がありますので -
2:28 - 2:32やみくもに解いたところで
うまくはいきません -
2:32 - 2:36しかし 群論を用いてキューブを解析し
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2:36 - 2:41一連の置換を決定することができれば
それが解法となります -
2:41 - 2:44実際 そうやって解くソフトが多いのです
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2:44 - 2:50群論の表記を使って
回転を表記することもあります -
2:50 - 2:52そして パズルを解くだけではありません
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2:52 - 2:57群論は音楽にも深く関わっているのです
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2:57 - 3:01和音を視覚化するには
12の音符をすべて書き出し -
3:01 - 3:04その中に正方形を描くことができます
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3:04 - 3:08どの音符から始めても構いませんが
C(ド)の音からにしましょう -
3:08 - 3:13減七の和音(dim7)が得られます
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3:13 - 3:17この和音は4つの要素からなる群です
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3:17 - 3:22一番下の音を一番上に移動する
操作を行うことができます -
3:22 - 3:24これを音楽では転回といいます
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3:24 - 3:27そして これは先にお話しした
加法と同様です -
3:27 - 3:30各転回により 和音の音色は変わるものの
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3:30 - 3:34Cdim7であることに
変わりはありません -
3:34 - 3:38つまり 公理1を満たしています
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3:38 - 3:42作曲家は転回により
和音の進行を操って -
3:42 - 3:51不自然な進行を避けるというわけです
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3:51 - 3:55楽譜の上では
転回はこのように表されますが -
3:55 - 4:00四角の上に重ねてやることもできます
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4:00 - 4:04音符でルービック・キューブ全面を
埋め尽くし -
4:04 - 4:10各面が協和音になるようにすると
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4:10 - 4:13キューブを解くことは
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4:13 - 4:17不協和音が徐々に協和音に変化する
過程として表現されます -
4:17 - 4:21これで ルービック・キューブを
演奏するという意味がお判りでしょう
- Title:
- 群論の基礎: ルービック・キューブをピアノの様に演奏する方法-マイケル・スタッフ
- Description:
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数学によって素粒子物理学から工学、経済に至る世界の仕組みを説明することができます。また数学と音楽には結びつきあり、ルービック・キューブと音楽にも共通点があります。 マイケル・スタッフが群論によってルービック・キューブをでピアノの様に演奏する方法を説明します。
講師:マイケル・スタッフ
アニメーション: Shixie
レッスンの全編はこちら: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff - Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:37
Natsuhiko Mizutani approved Japanese subtitles for Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff | ||
Natsuhiko Mizutani edited Japanese subtitles for Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff | ||
Natsuhiko Mizutani edited Japanese subtitles for Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff | ||
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Tomoyuki Suzuki accepted Japanese subtitles for Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff | ||
Tomoyuki Suzuki edited Japanese subtitles for Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff |