Return to Video

群論の基礎: ルービック・キューブをピアノの様に演奏する方法－マイケル・スタッフ

  • 0:07 - 0:10
    ルービック・キューブを
    プレイできますか？
  • 0:10 - 0:13
    それで遊ぶのではなく
    ピアノにように演奏できるでしょうか？
  • 0:13 - 0:16
    最初は この質問が
    ピンとこないかもしれませんが
  • 0:16 - 0:21
    抽象代数学の分野である
    群論でその答えが分かります
  • 0:21 - 0:23
    では お付き合いください
  • 0:23 - 0:27
    数学では 群とはある条件に従う
    要素(元)の集まりです
  • 0:27 - 0:29
    それは 整数の集合だったり
  • 0:29 - 0:30
    ルービック・キューブの面だったり
  • 0:30 - 0:32
    その他 何であれ
  • 0:32 - 0:37
    ある４つの規則 あるいは公理に
    従うなら何でも構いません
  • 0:37 - 0:38
    公理１
  • 0:38 - 0:44
    全ての群の演算について閉じていること
    つまり 演算結果もその群に属すること
  • 0:44 - 0:47
    ですから この四角に
    どのような演算を行ったとしても―
  • 0:47 - 0:49
    ある方向に回転したり
    逆方向に回転しても
  • 0:49 - 0:52
    同じ群の要素になります
  • 0:52 - 0:54
    公理２
  • 0:54 - 0:58
    一連の演算を行う時
    括弧の位置により演算の順序を変えても
  • 0:58 - 1:01
    結果が同じになることです
  • 1:01 - 1:05
    たとえば四角を 右に２回 次に右に１回
    回転した時と
  • 1:05 - 1:08
    １回転の後 ２回転した場合でも
    同じ結果が得られ
  • 1:08 - 1:13
    数字の場合なら１+２と ２+１が
    同じ結果になるといったことです
  • 1:13 - 1:14
    公理３
  • 1:14 - 1:19
    どの演算に於いても
    群には単位元と呼ばれる要素があります
  • 1:19 - 1:21
    これを群のどの要素に作用させても
  • 1:21 - 1:23
    もとの要素と変わりません
  • 1:23 - 1:27
    四角を回転させる場合も
    整数の加法においても
  • 1:27 - 1:29
    単位元はゼロというわけです
  • 1:29 - 1:32
    さして 面白くはありませんね
  • 1:32 - 1:33
    公理４
  • 1:33 - 1:38
    群の各要素に対して
    逆元と呼ばれるものが存在します
  • 1:38 - 1:42
    ある要素とその逆元について
    群の演算を行うと
  • 1:42 - 1:45
    単位元 つまり ゼロになることで
  • 1:45 - 1:49
    お互いに打ち消し合うということです
  • 1:49 - 1:52
    これで全てですが
    何の役立つのでしょう？
  • 1:52 - 1:55
    これらの基本的な規則を応用してみると
  • 1:55 - 1:58
    興味深い特性が現れてきます
  • 1:58 - 2:03
    例えば 先程の四角を
    ルービック・キューブ全体に拡張してみましょう
  • 2:03 - 2:07
    これも同様に
    公理をすべて満たす群ですが
  • 2:07 - 2:10
    今度は 要素の数が格段に増え
  • 2:10 - 2:12
    演算も増えています
  • 2:12 - 2:17
    各面の行や列を
    回転させることができます
  • 2:17 - 2:19
    各配置への操作は置換と呼ばれます
  • 2:19 - 2:24
    群の要素が増えるほど
    考えられる置換は増えます
  • 2:24 - 2:28
    ルービック・キューブは
    4300京以上の置換がありますので
  • 2:28 - 2:32
    やみくもに解いたところで
    うまくはいきません
  • 2:32 - 2:36
    しかし 群論を用いてキューブを解析し
  • 2:36 - 2:41
    一連の置換を決定することができれば
    それが解法となります
  • 2:41 - 2:44
    実際 そうやって解くソフトが多いのです
  • 2:44 - 2:50
    群論の表記を使って
    回転を表記することもあります
  • 2:50 - 2:52
    そして パズルを解くだけではありません
  • 2:52 - 2:57
    群論は音楽にも深く関わっているのです
  • 2:57 - 3:01
    和音を視覚化するには
    12の音符をすべて書き出し
  • 3:01 - 3:04
    その中に正方形を描くことができます
  • 3:04 - 3:08
    どの音符から始めても構いませんが
    C（ド）の音からにしましょう
  • 3:08 - 3:13
    減七の和音（dim7）が得られます
  • 3:13 - 3:17
    この和音は４つの要素からなる群です
  • 3:17 - 3:22
    一番下の音を一番上に移動する
    操作を行うことができます
  • 3:22 - 3:24
    これを音楽では転回といいます
  • 3:24 - 3:27
    そして これは先にお話しした
    加法と同様です
  • 3:27 - 3:30
    各転回により 和音の音色は変わるものの
  • 3:30 - 3:34
    Cdim7であることに
    変わりはありません
  • 3:34 - 3:38
    つまり 公理１を満たしています
  • 3:38 - 3:42
    作曲家は転回により
    和音の進行を操って
  • 3:42 - 3:51
    不自然な進行を避けるというわけです
  • 3:51 - 3:55
    楽譜の上では
    転回はこのように表されますが
  • 3:55 - 4:00
    四角の上に重ねてやることもできます
  • 4:00 - 4:04
    音符でルービック・キューブ全面を
    埋め尽くし
  • 4:04 - 4:10
    各面が協和音になるようにすると
  • 4:10 - 4:13
    キューブを解くことは
  • 4:13 - 4:17
    不協和音が徐々に協和音に変化する
    過程として表現されます
  • 4:17 - 4:21
    これで ルービック・キューブを
    演奏するという意味がお判りでしょう
Title:
群論の基礎: ルービック・キューブをピアノの様に演奏する方法－マイケル・スタッフ
Description:

数学によって素粒子物理学から工学、経済に至る世界の仕組みを説明することができます。また数学と音楽には結びつきあり、ルービック・キューブと音楽にも共通点があります。 マイケル・スタッフが群論によってルービック・キューブをでピアノの様に演奏する方法を説明します。

講師:マイケル・スタッフ　
アニメーション: Shixie
レッスンの全編はこちら: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:37

Japanese subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.