Teoría de grupos elemental: ¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? - Michael Staff

Ver la lección completa en: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

La matemática explica el funcionamiento del universo, desde la física de partículas hasta la ingeniería y la economía. La matemática incluso está muy relacionada con la música, y sus puntos en común tiene algo que ver con el cubo de Rubik. Michael Sataff explica cómo la teoría de grupos nos puede enseñar a tocar un cubo de Rubik como si se tratara de un piano.

Lección de Michael Staff, animación de Shixie.

¿Cómo se puede tocar
un cubo de Rubik?

No jugar, sino tocar,
como se toca un piano.

La pregunta no tiene
mucho sentido al principio,

pero un campo matemático abstracto,
la teoría de grupos, tiene la respuesta

si me siguen.

En matemática, un grupo es una
colección particular de elementos.

Podría ser un conjunto
de números enteros,

la cara de un cubo de Rubik,

u otra cosa,

siempre y cuando se sigan
cuatro reglas específicas, o axiomas.

Axioma uno:

las operaciones de grupo son cerradas,
o restringidas a elementos del grupo.

Por eso en nuestro cuadrado,
para cualquier operación que hagas

como girar hacia un lado o el otro,

terminarás en un elemento del grupo.

Axioma dos:

no importa dónde pongamos los paréntesis
al hacer operaciones en un grupo simple,

siempre obtenemos el mismo resultado.

En otras palabras, si giramos el cuadrado
a la derecha 2 veces, luego derecha 1 vez,

es lo mismo que 1 vez, luego 2 veces,

o para números, uno más dos
es lo mismo que dos más uno.

Axioma tres:

para cada operación, existe un elemento
del grupo llamado identidad.

Al aplicarlo a cualquier
elemento del grupo,

seguimos teniendo ese elemento.

Tanto para girar el cuadrado
como para la suma de enteros,

nuestra identidad aquí es cero,

no es muy emocionante.

Axioma cuatro:

cada elemento del grupo tiene un elemento
llamado su inverso también en el grupo.

Cuando los dos se juntan mediante
la operación de adición del grupo,

dan como resultado el elemento
identidad, cero,

puede pensarse como que
se cancelan mutuamente.

Todo muy bien, pero
¿cuál es la idea tras todo esto?

Bueno, cuando vamos más allá
de estas reglas básicas,

surgen propiedades interesantes.

Por ejemplo, expandamos el cuadrado
nuevamente a un cubo de Rubik.

Sigue siendo un grupo que
satisface todos los axiomas,

aunque ahora tiene considerablemente
más elementos

y más operaciones.

Podemos girar cada fila y columna
de cada cara.

Cada posición se llama permutación,

y cuantos más elementos tiene un grupo,
más posibles permutaciones existen.

Un cubo de Rubik tiene más de
43 trillones de permutaciones,

por eso tratar de resolverlo al azar
no dará buenos resultados.

Pero usando teoría de grupos
podemos analizar el cubo

y determinar una secuencia de
permutaciones que darán la solución.

De hecho, es lo que hacen
la mayoría de quienes lo resuelven,

incluso usan notación de teoría
de grupos para indicar los giros.

Y no solo es bueno
para resolver acertijos.

La teoría de grupos está muy
arraigada a la música, también.

Una forma de visualizar un acorde
es escribir las 12 notas musicales

y dibujar un cuadrado dentro de ellas.

Podemos empezar con cualquier nota,
pero usemos do dado que está arriba.

El acorde resultante se llama
acorde de séptima disminuida.

Ahora bien, este acorde es un grupo
cuyos elementos son estas cuatro notas.

La operación que podemos hacer en él
es desplazar la nota de abajo arriba.

En música eso se llama inversión,

y equivale a la adición de antes.

Cada inversión cambia
el sonido de la cuerda,

pero nunca deja de ser DoDim7,
do de séptima disminuida.

En otras palabras,
satisface el axioma uno.

Los compositores usan inversiones para
manipular una secuencia de acordes

y evitar un bloque,
una progresión que suena sin gracia.

En un pentagrama musical,
una inversión tiene este aspecto.

Pero también podemos solaparla
en el cuadrado y tenemos esto.

Si cubrieras el cubo de Rubik con notas

de modo que cada cara del cubo resuelto
fuera un acorde armonioso,

podrías expresar la solución
como una progresión de acordes

que pasa gradualmente
de discordancia a armonía

y tocar el cubo de Rubik,
si eso es lo tuyo.