-
.
-
Hvilke talmængder tilhører tallet
-
3,4028 og så videre?
-
Først, la oss tenke på,
-
hva det representerer, og spesielt,
-
hva streken over betyr.
-
Linjen over betyr,
-
at 28 gjentas uendelig.
-
Vi kan skrive tallet som 3,4028,
-
men 28 gjentas uendelig.
-
Det fortsetter og fortsetter for evig.
-
Vi kan skrive 28 igjen og igjen.
-
Det er selvfølgelig lettere
-
å tegne denne streken ovenfor 28, så det gjør vi.
-
La oss nå se hvilke tallmengder det tilhører.
-
Den største tallmengde, vi inntil videre har kikket på,
-
er reelle tall.
-
Dette tallet tilhører helt sikkert de reelle tallene.
-
De reelle tallene er hele linjen av tall,
-
Vi normalt bruker.
-
3,4028 er omtrent her.
-
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.
-
3,4028 er litt mer enn 3.4
-
og litt mindre enn 3.41.
-
Det vil være her.
-
Det er helt sikkert på tallinjen.
-
Det er altså et reelt tall.
-
.
-
Faktisk, er det uten tvil et reelt tall.
-
Det er ikke lett å svare på,
-
om det er rasjonale tall.
-
En rasjonelt tall er et tall,
-
som kan uttrykkes som en brøk.
-
Hvis vi sier, at p er rasjonell, betyr det,
-
at det kan uttrykkes som forholdet mellom 2 heltall.
-
p kan altså skrives som forholdet mellom 2
-
heltall, m over n.
-
Kan vi uttrykke det her som
-
forholdet mellom 2 heltall?
-
Kan vi skrive det her
-
som en brøk?
-
La oss prøve å skrive det som en brøk.
-
La oss si, at x tilsvarer dette tallet.
-
x er lik 3,4028.
-
Hva er 10000x?
-
Vi bruker 10000x,
-
fordi vi vil flytte kommaet helt over til høyre.
-
10000x.
-
Hva er det likt?
-
Hver gang man ganger med 10,
-
rykker man kommaet 1 plass til høyre.
-
10000 er 10 i fjerde.
-
Det er altså det samme som å flytte
-
kommaet 4 plasser til høyre.
-
1, 2, 3, 4.
-
Det er 34028.
-
De her 28'ene fortsetter uendelig.
-
Det står derfor fortsatt 28 igjen og igjen
-
etter det her.
-
De ble bare flyttet 5 plasser
-
til venstre for kommaet.
-
slik kan man se på det.
-
Det er fornuftig.
-
Det er nesten 3 1/2.
-
Hvis en multipliserer med 10000, får man nesten 35000.
-
Det er altså 10000x.
-
Hva er 100x da?
-
Vi vil fjerne finne 2 tall, hvor den fjentagende del
-
forsvinner når vi trekker dem fra hverandre,
-
og de er uttrykt som x.
-
Deretter kan vi bare behandle dem som vanlige tall.
-
Hva er 100x?
-
100x.
-
Det flytter det her komma.
-
Husk, at kommaet var her til å starte med.
-
Det flytter kommaet 2 plasser til høyre.
-
.
-
100x er 340,28 og så videre.
-
Vi kunne ha skrevet 28 i det uendelige her,
-
men det ville ikke ha gitt mye mening.
-
Vi ønsker alltid å skrive det etter kommaet.
-
Vi må skrive 28 igjen for å vise at det er gjentatt.
-
Nå skjer noe interessant.
-
Disse 2 tallene er multiplum av x.
-
Hva skjer, hvis vi trekker
-
det nederste tallet fra toppen?
-
Den gjentakende delen forsvinner.
-
La oss gjøre det.
-
Vi gjør det på begge sider
-
av ligningen.
-
På venstre side blir minus 10000x
-
100x lik 9900x.
-
På høyre side
-
forsvinner desimaldelen.
-
Vi skal regne ut hva 34028 minus 340 er.
-
La oss gjøre det.
-
8 er større enn 0,
-
så vi skal ikke skal skrive det om her.
-
2 er mindre enn 4.
-
Vi må derfor skrive det om,
-
men vi kan ikke låne ennå fordi det står 0 her.
-
0 er mindre enn 3, så vi vil skrive det om
-
eller låne her.
-
La oss låne fra 4 først.
-
Hvis vi låner fra 4, blir det her 3,
-
og så blir det her 10.
-
Nå kan 2 låne fra 10.
-
Dette skal være 9, og dette skal være 12.
-
Nå kan vi trekke fra.
-
8 minus 0 er 8.
-
12 minus 4 er 8.
-
9 minus 3 er 6.
-
3 minus ingenting er 3.
-
3 minus ingenting er 3.
-
9900x er derfor 33688.
-
Vi trakk bare 340 fra det her.
-
Vi får så 33.668.
-
Hvis vi skal finne x
-
skal vi dele begge sider med 9900.
-
Vi deler venstre side med 9900,
-
og vi deler høyre med 9900.
-
Hva gjenstår da?
-
x er lik 33688 over 9900.
-
Hva var spesielt ved dette?
-
x var det her tallet.
-
x var det tallet vi startet med, er det her uendelig tallet.
-
Ved hjelp av litt algebra
-
og trekke et multiplum av en annen,
-
kan vi nå skrive det samme x som en brøk.
-
Det her er ikke i kortest form.
-
De kan sikkert begge deles med 2, og kanskje også med 4.
-
Vi kan forkorte brøken,
-
men det bryr vi oss ikke om.
-
Vi holder oss til å skrive x,
-
altså dette tallet, som en brøk.
-
Det er forholdet mellom 2 heltall.
-
Tallet er altså rasjonelt.
-
Det er rasjonelt.
-
Teknikken vi brukte kan ikke kun
-
brukes til det her tallet.
-
Hver gang vi har et antall gjentatte sifre,
-
kan kan bruke denne teknikken.
-
Generelt, er gjentakende sifre altså rasjonelle.
-
Disse, som er irrasjonelle, er de sifrene,
-
som aldri noensinne gjentas, eks. pi.
-
Det er visst
-
klart, at det her ikke er et heltall.
-
Heltall er de hele tall,
-
som finnes.
-
Det her er et sted mellom heltallene.
-
Det er ikke et naturlig tall eller et heltall,
-
som kan sees som en underkategori av heltall.
-
Det er ikke noen av dem.
-
Det er ekte, og det er rasjonelt.
-
Det er det eneste vi skal si om det.
