WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.490
.

00:00:00.490 --> 00:00:05.430
Hvilke talmængder tilhører tallet

00:00:05.430 --> 00:00:07.330
3,4028 og så videre?

00:00:07.330 --> 00:00:09.150
Først, la oss tenke på,

00:00:09.150 --> 00:00:10.690
hva det representerer, og spesielt,

00:00:10.690 --> 00:00:13.000
hva streken over betyr.

00:00:13.000 --> 00:00:15.770
Linjen over betyr,

00:00:15.770 --> 00:00:17.420
at 28 gjentas uendelig.

00:00:17.420 --> 00:00:25.090
Vi kan skrive tallet som 3,4028,

00:00:25.090 --> 00:00:26.110
men 28 gjentas uendelig.

00:00:26.110 --> 00:00:29.740
Det fortsetter og fortsetter for evig.

00:00:29.740 --> 00:00:32.299
Vi kan skrive 28 igjen og igjen.

00:00:32.299 --> 00:00:35.210
Det er selvfølgelig lettere

00:00:35.210 --> 00:00:37.620
å tegne denne streken ovenfor 28, så det gjør vi.

00:00:37.620 --> 00:00:41.290
La oss nå se hvilke tallmengder det tilhører.

00:00:41.290 --> 00:00:44.600
Den største tallmengde, vi inntil videre har kikket på,

00:00:44.600 --> 00:00:45.330
er reelle tall.

00:00:45.330 --> 00:00:48.420
Dette tallet tilhører helt sikkert de reelle tallene.

00:00:48.420 --> 00:00:50.300
De reelle tallene er hele linjen av tall,

00:00:50.300 --> 00:00:51.990
Vi normalt bruker.

00:00:51.990 --> 00:00:55.660
3,4028 er omtrent her.

00:00:55.660 --> 00:01:01.340
Det her er minus 1, 0, 1, 2, 3 og 4.

00:01:01.340 --> 00:01:04.730
3,4028 er litt mer enn 3.4

00:01:04.730 --> 00:01:06.490
og litt mindre enn 3.41.

00:01:06.490 --> 00:01:07.760
Det vil være her.

00:01:07.760 --> 00:01:09.450
Det er helt sikkert på tallinjen.

00:01:09.450 --> 00:01:11.090
Det er altså et reelt tall.

00:01:11.090 --> 00:01:13.870
.

00:01:13.870 --> 00:01:16.370
Faktisk, er det uten tvil et reelt tall.

00:01:16.370 --> 00:01:19.080
Det er ikke lett å svare på,

00:01:19.080 --> 00:01:20.180
om det er rasjonale tall.

00:01:20.180 --> 00:01:25.040
En rasjonelt tall er et tall,

00:01:25.040 --> 00:01:26.890
som kan uttrykkes som en brøk.

00:01:26.890 --> 00:01:34.390
Hvis vi sier, at p er rasjonell, betyr det,

00:01:34.390 --> 00:01:37.840
at det kan uttrykkes som forholdet mellom 2 heltall.

00:01:37.840 --> 00:01:45.620
p kan altså skrives som forholdet mellom 2

00:01:45.620 --> 00:01:47.900
heltall, m over n.

00:01:47.900 --> 00:01:50.960
Kan vi uttrykke det her som

00:01:50.960 --> 00:01:51.410
forholdet mellom 2 heltall?

00:01:51.410 --> 00:01:52.410
Kan vi skrive det her

00:01:52.410 --> 00:01:53.990
som en brøk?

00:01:53.990 --> 00:01:58.510
La oss prøve å skrive det som en brøk.

00:01:58.510 --> 00:02:01.310
La oss si, at x tilsvarer dette tallet.

00:02:01.310 --> 00:02:09.960
x er lik 3,4028.

00:02:09.960 --> 00:02:12.650
Hva er 10000x?

00:02:12.650 --> 00:02:14.470
Vi bruker 10000x,

00:02:14.470 --> 00:02:16.960
fordi vi vil flytte kommaet helt over til høyre.

00:02:16.960 --> 00:02:21.710
10000x.

00:02:21.710 --> 00:02:23.380
Hva er det likt?

00:02:23.380 --> 00:02:26.350
Hver gang man ganger med 10,

00:02:26.350 --> 00:02:27.420
rykker man kommaet 1 plass til høyre.

00:02:27.420 --> 00:02:29.790
10000 er 10 i fjerde.

00:02:29.790 --> 00:02:31.780
Det er altså det samme som å flytte

00:02:31.780 --> 00:02:32.830
kommaet 4 plasser til høyre.

00:02:32.830 --> 00:02:36.400
1, 2, 3, 4.

00:02:36.400 --> 00:02:40.575
Det er 34028.

00:02:40.575 --> 00:02:42.700
De her 28'ene fortsetter uendelig.

00:02:42.700 --> 00:02:45.820
Det står derfor fortsatt 28 igjen og igjen

00:02:45.820 --> 00:02:46.720
etter det her.

00:02:46.720 --> 00:02:49.550
De ble bare flyttet 5 plasser

00:02:49.550 --> 00:02:50.430
til venstre for kommaet.

00:02:50.430 --> 00:02:51.070
slik kan man se på det.

00:02:51.070 --> 00:02:53.140
Det er fornuftig.

00:02:53.140 --> 00:02:54.670
Det er nesten 3 1/2.

00:02:54.670 --> 00:02:57.810
Hvis en multipliserer med 10000, får man nesten 35000.

00:02:57.810 --> 00:02:59.490
Det er altså 10000x.

00:02:59.490 --> 00:03:00.970
Hva er 100x da?

00:03:00.970 --> 00:03:04.340
Vi vil fjerne finne 2 tall, hvor den fjentagende del

00:03:04.340 --> 00:03:06.590
forsvinner når vi trekker dem fra hverandre,

00:03:06.590 --> 00:03:08.130
og de er uttrykt som x.

00:03:08.130 --> 00:03:10.970
Deretter kan vi bare behandle dem som vanlige tall.

00:03:10.970 --> 00:03:13.260
Hva er 100x?

00:03:13.260 --> 00:03:15.530
100x.

00:03:15.530 --> 00:03:17.010
Det flytter det her komma.

00:03:17.010 --> 00:03:18.370
Husk, at kommaet var her til å starte med.

00:03:18.370 --> 00:03:20.860
Det flytter kommaet 2 plasser til høyre.

00:03:20.860 --> 00:03:24.830
.

00:03:24.830 --> 00:03:30.750
100x er 340,28 og så videre.

00:03:30.750 --> 00:03:32.220
Vi kunne ha skrevet 28 i det uendelige her,

00:03:32.220 --> 00:03:33.010
men det ville ikke ha gitt mye mening.

00:03:33.010 --> 00:03:34.670
Vi ønsker alltid å skrive det etter kommaet.

00:03:34.670 --> 00:03:37.340
Vi må skrive 28 igjen for å vise at det er gjentatt.

00:03:37.340 --> 00:03:39.710
Nå skjer noe interessant.

00:03:39.710 --> 00:03:42.400
Disse 2 tallene er multiplum av x.

00:03:42.400 --> 00:03:45.790
Hva skjer, hvis vi trekker

00:03:45.790 --> 00:03:46.710
det nederste tallet fra toppen?

00:03:46.710 --> 00:03:48.530
Den gjentakende delen forsvinner.

00:03:48.530 --> 00:03:49.170
La oss gjøre det.

00:03:49.170 --> 00:03:52.280
Vi gjør det på begge sider

00:03:52.280 --> 00:03:53.230
av ligningen.

00:03:53.230 --> 00:03:58.210
På venstre side blir minus 10000x

00:03:58.210 --> 00:04:03.620
100x lik 9900x.

00:04:03.620 --> 00:04:06.960
På høyre side

00:04:06.960 --> 00:04:08.230
forsvinner desimaldelen.

00:04:08.230 --> 00:04:12.030
Vi skal regne ut hva 34028 minus 340 er.

00:04:12.030 --> 00:04:14.120
La oss gjøre det.

00:04:14.120 --> 00:04:16.010
8 er større enn 0,

00:04:16.010 --> 00:04:16.649
så vi skal ikke skal skrive det om her.

00:04:16.649 --> 00:04:19.769
2 er mindre enn 4.

00:04:19.769 --> 00:04:22.200
Vi må derfor skrive det om,

00:04:22.200 --> 00:04:25.510
men vi kan ikke låne ennå fordi det står 0 her.

00:04:25.510 --> 00:04:27.710
0 er mindre enn 3, så vi vil skrive det om

00:04:27.710 --> 00:04:29.000
eller låne her.

00:04:29.000 --> 00:04:31.770
La oss låne fra 4 først.

00:04:31.770 --> 00:04:36.590
Hvis vi låner fra 4, blir det her 3,

00:04:36.590 --> 00:04:38.140
og så blir det her 10.

00:04:38.140 --> 00:04:40.460
Nå kan 2 låne fra 10.

00:04:40.460 --> 00:04:44.090
Dette skal være 9, og dette skal være 12.

00:04:44.090 --> 00:04:45.820
Nå kan vi trekke fra.

00:04:45.820 --> 00:04:48.390
8 minus 0 er 8.

00:04:48.390 --> 00:04:51.110
12 minus 4 er 8.

00:04:51.110 --> 00:04:53.880
9 minus 3 er 6.

00:04:53.880 --> 00:04:55.920
3 minus ingenting er 3.

00:04:55.920 --> 00:04:57.950
3 minus ingenting er 3.

00:04:57.950 --> 00:05:05.320
9900x er derfor 33688.

00:05:05.320 --> 00:05:09.180
Vi trakk bare 340 fra det her.

00:05:09.180 --> 00:05:13.110
Vi får så 33.668.

00:05:13.110 --> 00:05:15.710
Hvis vi skal finne x

00:05:15.710 --> 00:05:21.610
skal vi dele begge sider med 9900.

00:05:21.610 --> 00:05:23.990
Vi deler venstre side med 9900,

00:05:23.990 --> 00:05:26.900
og vi deler høyre med 9900.

00:05:26.900 --> 00:05:28.000
Hva gjenstår da?

00:05:28.000 --> 00:05:36.850
x er lik 33688 over 9900.

00:05:36.850 --> 00:05:38.550
Hva var spesielt ved dette?

00:05:38.550 --> 00:05:41.900
x var det her tallet.

00:05:41.900 --> 00:05:44.580
x var det tallet vi startet med, er det her uendelig tallet.

00:05:44.580 --> 00:05:47.500
Ved hjelp av litt algebra

00:05:47.500 --> 00:05:49.660
og trekke et multiplum av en annen,

00:05:49.660 --> 00:05:52.530
kan vi nå skrive det samme x som en brøk.

00:05:52.530 --> 00:05:55.780
Det her er ikke i kortest form.

00:05:55.780 --> 00:05:58.900
De kan sikkert begge deles med 2, og kanskje også med 4.

00:05:58.900 --> 00:06:01.960
Vi kan forkorte brøken,

00:06:01.960 --> 00:06:02.910
men det bryr vi oss ikke om.

00:06:02.910 --> 00:06:05.055
Vi holder oss til å skrive x,

00:06:05.055 --> 00:06:09.050
altså dette tallet, som en brøk.

00:06:09.050 --> 00:06:11.620
Det er forholdet mellom 2 heltall.

00:06:11.620 --> 00:06:14.720
Tallet er altså rasjonelt.

00:06:14.720 --> 00:06:16.550
Det er rasjonelt.

00:06:16.550 --> 00:06:19.010
Teknikken vi brukte kan ikke kun

00:06:19.010 --> 00:06:20.700
brukes til det her tallet.

00:06:20.700 --> 00:06:24.370
Hver gang vi har et antall gjentatte sifre,

00:06:24.370 --> 00:06:25.000
kan kan bruke denne teknikken.

00:06:25.000 --> 00:06:27.530
Generelt, er gjentakende sifre altså rasjonelle.

00:06:27.530 --> 00:06:30.090
Disse, som er irrasjonelle, er de sifrene,

00:06:30.090 --> 00:06:32.860
som aldri noensinne gjentas, eks. pi.

00:06:32.860 --> 00:06:34.590
Det er visst

00:06:34.590 --> 00:06:35.810
klart, at det her ikke er et heltall.

00:06:35.810 --> 00:06:37.410
Heltall er de hele tall,

00:06:37.410 --> 00:06:38.020
som finnes.

00:06:38.020 --> 00:06:40.390
Det her er et sted mellom heltallene.

00:06:40.390 --> 00:06:43.360
Det er ikke et naturlig tall eller et heltall,

00:06:43.360 --> 00:06:46.240
som kan sees som en underkategori av heltall.

00:06:46.240 --> 00:06:47.360
Det er ikke noen av dem.

00:06:47.360 --> 00:06:49.110
Det er ekte, og det er rasjonelt.

00:06:49.110 --> 00:06:51.460
Det er det eneste vi skal si om det.