Cât de mare este infinitul?

Vezi lecția întreagă: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

Folosind ideile fundamentale ale teoriei mulțimilor, explorează conceptul uimitor de „infinit de infinituri”-- și află cum au ajuns matematicienii, prin acest concept, la concluzia că matematica în sine conține întrebări fără răspuns.
Lecție de Dennis Wildfogel, animație de Augenblick Studios.

Când eram în clasa a IV-a,
profesorul ne-a spus într-o zi:

„Există tot atâtea numere pare
câte numere există."

„Serios?” m-am gândit.

Ei bine, da, există o infinitate
din ambele, deci e corect.

Însă, cele pare sunt o parte
din întreg, cele impare alta,

deci trebuie să fie mai multe numere
întregi decât numere pare, nu?

Ca să înțelegem, să vedem ce înseamnă
când două seturi au aceeaşi mărime.

Ce înseamnă când spun că am acelaşi
număr de degete la ambele mâini?

Am cinci degete la fiecare,
dar e mai simplu de atât.

Dacă le suprapun, nu trebuie
să le număr ca să verific.

În antichitate unele limbi
vorbite de oameni

nu aveau cuvinte pentru numere
mai mari decât trei.

Dacă îţi laşi oile să pască,

ştii câte au ieşit dacă aşezi
pentru fiecare câte o piatră,

pe care o iei când oile
se întorc de la păşune,

şi aşa ştii câte lipsesc fără să numeri.

Un alt exemplu mai bun
decât numărarea e următorul:

dacă vorbesc într-o sală plină,
cu scaunele ocupate şi nimeni în picioare.

Știu că există acelaşi număr de scaune
ca și oameni,

chiar dacă nu ştiu câte sunt de fiecare.

Când spunem că două seturi
sunt de aceeaşi mărime

înseamnă că elementele lor
pot fi potrivite în perechi.

Profesorul a înşirat numerele pe rând
şi dedesubt a plasat dublul lor.

Vedem că pe rândul de jos
sunt numere pare şi alcătuiesc perechi.

Adică, există atâtea numere pare
câte numere sunt.

Ne preocupă însă că numerele pare
par a fi o parte din total.

Asta înseamnă că nu am acelaşi
număr de degete la mâini?

Sigur nu. Faptul că nu putem
potrivi elementele

nu înseamnă nimic.

Dacă găsim un mod în care
elementele a două seturi se potrivesc,

atunci spunem că cele două
au acelaşi număr de elemente.

Putem face o listă a fracţiilor?
E greu, sunt multe!

Nu ştim cu ce să începem
sau cum să le listăm pe toate.

Totuși, există o modalitate deşteaptă
de a face o listă a fracţiilor.

Georg Cantor a făcut asta
la sfârşitul secolului XIX.

Întâi, punem toate fracţiile
într-o grilă. Toate.

De exemplu, găsim117/243
pe rândul 117, coloana 223.

Facem o listă din stânga sus,
coborând înapoi pe diagonală,

sărind peste orice fracție, ca 2/2,
care e acelaşi număr ca cel ales deja.

Așa obținem lista tuturor fracţiilor,
adică am creat o potrivire

între numerele întregi şi fracţii,

deşi credeam că poate ar trebui
să existe mai multe fracţii.

Aici devine interesant.

Ştiţi că nu toate numerele reale
înșirate pe o linie sunt fracţii.

Rădăcina pătrată a lui 2 sau π,
de exemplu.

Orice astfel de număr e iraţional.
Nu înseamnă că e nebun,

dar pentru că fracţiile sunt rații
de numere întregi sunt numite raţionale;

iar restul sunt iraţionale.

Numerele iraţionale au un număr infinit
de zecimale non-repetitive.

Oare putem potrivi numerele întregi
şi cele cu zecimale,

și raţionale şi iraţionale?

Putem face o listă
a tuturor numerelor zecimale?

Candor a arătat că nu poți.

Nu pentru că nu ştim cum,
pur și simplu nu se poate.

Dacă susțineţi că aveţi o listă a tuturor
numerelor zecimale,

vă demonstrez că nu e aşa,

creând un număr zecimal
care nu e pe listă.

Voi construi numărul zecimal
adăugând câte o zecimală.

Pentru prima zecimală, mă uit la locul
primei zecimale al primului număr.

Dacă e 1, la mine trec 2;
altfel, trec la mine un 1.

Pe locul doi al numărului meu,

mă uit la locul doi
al celui de-al doilea număr.

Iarăşi, dacă la voi e 1, la mine va fi 2,
altfel, trec la mine 1.

Vedeţi cum funcţionează?
Zecimalele mele nu există la voi.

De ce? Ar putea fi al 143-lea număr?

Nu, pentru că locul celui
de-al 143-lea loc al zecimalei mele

diferă de acelaşi loc
al zecimalei voastre.

Lista voastră e incompletă.
Nu conţine zecimalele mele.

Indiferent de listă, pot produce
un număr zecimal care nu-i pe lista ta.

Ne confruntăm
cu o concluzie surprinzătoare:

numerele zecimale
nu pot fi puse pe o listă.

Reprezintă o infinitate mai mare
decât a numerelor întregi.

Chiar dacă suntem familiari
doar cu o parte a numerelor iraționale,

ca rădăcina pătrată sau Pi,

infinitatea iraţionalelor e mai mare
decât infinitatea fracţiilor.

Cineva a spus că dacă fracţiile
sunt ca stelele pe cerul întunecat;

numerele iraţionalele sunt ca întunericul.

Cantor a arătat că,
pentru orice set infinit,

formarea unui nou set alcătuit
din toate subseturile setului original

reprezintă o infinitate
mai mare decât setul original.

Asta înseamnă că,
odată ce ai o infinitate,

poţi obţine oricând una mai mare,
făcând un set al subsetului primului set.

Şi apoi unul și mai mare,

alcătuind un set al tuturor
subseturilor acestuia etc.

Așadar, există un număr infinit
de infinităţi de mărimi diferite.

Dacă această ideea te amețește,
nu ești singur.

Unii matematicieni contemporani
cu Cantor nu erau de acord.

Au încercat să facă irelevante
aceste diferite infinităţi,

să le excludă din matematică.

Cantor a fost criticat atât de mult
încât a intrat în depresie,

şi restul vieţii l-a petrecut în mare
parte prin instituţii mentale.

Însă ideile sale au câştigat.

Astăzi, sunt considerate
fundamentale şi magnifice.

Toţi matematicienii le acceptă,
studenții de la Matematică le învaţă,

iar eu ți le-am explicat în câteva minute.

Poate într-o zi vor fi înțelese
de toată lumea.

Încă ceva. Am subliniat că setul
de numere zecimale, numerele reale,

sunt o infinitate mai mare
decât setul numerelor întregi.

Candor s-a întrebat dacă există infinităţi

de dimensiuni diferite
între aceste două infinităţi.

Nu credea că există,
dar nu putea demonstra.

Ipoteza lui Candor a devenit cunoscută
ca Ipoteza Continuumului.

În 1900, matematicianul David Hilbert

a menţionat ipoteza continuumului
ca cea mai importantă

problemă nerezolvată în matematică.

Secolul XX a rezolvat
acestă problemă, neaşteptat,

printr-o schimbare radicală a paradigmei.

În 1920, Kurt Godel a arătat
că nu se poate demonstra

că ipoteza continumuului e falsă.

Apoi, în 1960, Paul Cohen a arătat

că nu putem demonstra că e adevărată.

Împreună, aceste două rezultate arată

că există întrebări
fără răspuns în matematică.

O concluzie uimitoare!

Matematica e pe drept considerată
apogeul raţionamentului uman,

dar acum ştim că până
şi ea își are limitele sale.

Și totuși, matematica are multe lucruri
minunate la care să ne gândim.