Când eram în clasa a IV-a, profesorul ne-a spus într-o zi:
„Există tot atâtea numere pare câte numere există."
„Serios?” m-am gândit.
Ei bine, da, există o infinitate din ambele, deci e corect.
Însă, cele pare sunt o parte din întreg, cele impare alta,
deci trebuie să fie mai multe numere întregi decât numere pare, nu?
Ca să înțelegem, să vedem ce înseamnă când două seturi au aceeaşi mărime.
Ce înseamnă când spun că am acelaşi număr de degete la ambele mâini?
Am cinci degete la fiecare, dar e mai simplu de atât.
Dacă le suprapun, nu trebuie să le număr ca să verific.
În antichitate unele limbi vorbite de oameni
nu aveau cuvinte pentru numere mai mari decât trei.
Dacă îţi laşi oile să pască,
ştii câte au ieşit dacă aşezi pentru fiecare câte o piatră,
pe care o iei când oile se întorc de la păşune,
şi aşa ştii câte lipsesc fără să numeri.
Un alt exemplu mai bun decât numărarea e următorul:
dacă vorbesc într-o sală plină, cu scaunele ocupate şi nimeni în picioare.
Știu că există acelaşi număr de scaune ca și oameni,
chiar dacă nu ştiu câte sunt de fiecare.
Când spunem că două seturi sunt de aceeaşi mărime
înseamnă că elementele lor pot fi potrivite în perechi.
Profesorul a înşirat numerele pe rând şi dedesubt a plasat dublul lor.
Vedem că pe rândul de jos sunt numere pare şi alcătuiesc perechi.
Adică, există atâtea numere pare câte numere sunt.
Ne preocupă însă că numerele pare par a fi o parte din total.
Asta înseamnă că nu am acelaşi număr de degete la mâini?
Sigur nu. Faptul că nu putem potrivi elementele
nu înseamnă nimic.
Dacă găsim un mod în care elementele a două seturi se potrivesc,
atunci spunem că cele două au acelaşi număr de elemente.
Putem face o listă a fracţiilor? E greu, sunt multe!
Nu ştim cu ce să începem sau cum să le listăm pe toate.
Totuși, există o modalitate deşteaptă de a face o listă a fracţiilor.
Georg Cantor a făcut asta la sfârşitul secolului XIX.
Întâi, punem toate fracţiile într-o grilă. Toate.
De exemplu, găsim117/243 pe rândul 117, coloana 223.
Facem o listă din stânga sus, coborând înapoi pe diagonală,
sărind peste orice fracție, ca 2/2, care e acelaşi număr ca cel ales deja.
Așa obținem lista tuturor fracţiilor, adică am creat o potrivire
între numerele întregi şi fracţii,
deşi credeam că poate ar trebui să existe mai multe fracţii.
Aici devine interesant.
Ştiţi că nu toate numerele reale înșirate pe o linie sunt fracţii.
Rădăcina pătrată a lui 2 sau π, de exemplu.
Orice astfel de număr e iraţional. Nu înseamnă că e nebun,
dar pentru că fracţiile sunt rații de numere întregi sunt numite raţionale;
iar restul sunt iraţionale.
Numerele iraţionale au un număr infinit de zecimale non-repetitive.
Oare putem potrivi numerele întregi şi cele cu zecimale,
și raţionale şi iraţionale?
Putem face o listă a tuturor numerelor zecimale?
Candor a arătat că nu poți.
Nu pentru că nu ştim cum, pur și simplu nu se poate.
Dacă susțineţi că aveţi o listă a tuturor numerelor zecimale,
vă demonstrez că nu e aşa,
creând un număr zecimal care nu e pe listă.
Voi construi numărul zecimal adăugând câte o zecimală.
Pentru prima zecimală, mă uit la locul primei zecimale al primului număr.
Dacă e 1, la mine trec 2; altfel, trec la mine un 1.
Pe locul doi al numărului meu,
mă uit la locul doi al celui de-al doilea număr.
Iarăşi, dacă la voi e 1, la mine va fi 2, altfel, trec la mine 1.
Vedeţi cum funcţionează? Zecimalele mele nu există la voi.
De ce? Ar putea fi al 143-lea număr?
Nu, pentru că locul celui de-al 143-lea loc al zecimalei mele
diferă de acelaşi loc al zecimalei voastre.
Lista voastră e incompletă. Nu conţine zecimalele mele.
Indiferent de listă, pot produce un număr zecimal care nu-i pe lista ta.
Ne confruntăm cu o concluzie surprinzătoare:
numerele zecimale nu pot fi puse pe o listă.
Reprezintă o infinitate mai mare decât a numerelor întregi.
Chiar dacă suntem familiari doar cu o parte a numerelor iraționale,
ca rădăcina pătrată sau Pi,
infinitatea iraţionalelor e mai mare decât infinitatea fracţiilor.
Cineva a spus că dacă fracţiile sunt ca stelele pe cerul întunecat;
numerele iraţionalele sunt ca întunericul.
Cantor a arătat că, pentru orice set infinit,
formarea unui nou set alcătuit din toate subseturile setului original
reprezintă o infinitate mai mare decât setul original.
Asta înseamnă că, odată ce ai o infinitate,
poţi obţine oricând una mai mare, făcând un set al subsetului primului set.
Şi apoi unul și mai mare,
alcătuind un set al tuturor subseturilor acestuia etc.
Așadar, există un număr infinit de infinităţi de mărimi diferite.
Dacă această ideea te amețește, nu ești singur.
Unii matematicieni contemporani cu Cantor nu erau de acord.
Au încercat să facă irelevante aceste diferite infinităţi,
să le excludă din matematică.
Cantor a fost criticat atât de mult încât a intrat în depresie,
şi restul vieţii l-a petrecut în mare parte prin instituţii mentale.
Însă ideile sale au câştigat.
Astăzi, sunt considerate fundamentale şi magnifice.
Toţi matematicienii le acceptă, studenții de la Matematică le învaţă,
iar eu ți le-am explicat în câteva minute.
Poate într-o zi vor fi înțelese de toată lumea.
Încă ceva. Am subliniat că setul de numere zecimale, numerele reale,
sunt o infinitate mai mare decât setul numerelor întregi.
Candor s-a întrebat dacă există infinităţi
de dimensiuni diferite între aceste două infinităţi.
Nu credea că există, dar nu putea demonstra.
Ipoteza lui Candor a devenit cunoscută ca Ipoteza Continuumului.
În 1900, matematicianul David Hilbert
a menţionat ipoteza continuumului ca cea mai importantă
problemă nerezolvată în matematică.
Secolul XX a rezolvat acestă problemă, neaşteptat,
printr-o schimbare radicală a paradigmei.
În 1920, Kurt Godel a arătat că nu se poate demonstra
că ipoteza continumuului e falsă.
Apoi, în 1960, Paul Cohen a arătat
că nu putem demonstra că e adevărată.
Împreună, aceste două rezultate arată
că există întrebări fără răspuns în matematică.
O concluzie uimitoare!
Matematica e pe drept considerată apogeul raţionamentului uman,
dar acum ştim că până şi ea își are limitele sale.
Și totuși, matematica are multe lucruri minunate la care să ne gândim.