1
00:00:14,023 --> 00:00:16,892
Când eram în clasa a IV-a,
profesorul ne-a spus într-o zi:

2
00:00:16,892 --> 00:00:19,639
„Există tot atâtea numere pare
câte numere există."

3
00:00:19,639 --> 00:00:21,164
„Serios?” m-am gândit.

4
00:00:21,164 --> 00:00:25,824
Ei bine, da, există o infinitate
din ambele, deci e corect.

5
00:00:25,824 --> 00:00:30,315
Însă, cele pare sunt o parte
din întreg, cele impare alta,

6
00:00:30,315 --> 00:00:33,612
deci trebuie să fie mai multe numere
întregi decât numere pare, nu?

7
00:00:33,612 --> 00:00:39,202
Ca să înțelegem, să vedem ce înseamnă
când două seturi au aceeaşi mărime.

8
00:00:39,202 --> 00:00:44,298
Ce înseamnă când spun că am acelaşi
număr de degete la ambele mâini?

9
00:00:44,298 --> 00:00:47,881
Am cinci degete la fiecare,
dar e mai simplu de atât.

10
00:00:47,881 --> 00:00:52,514
Dacă le suprapun, nu trebuie
să le număr ca să verific.

11
00:00:52,514 --> 00:00:56,265
În antichitate unele limbi
vorbite de oameni

12
00:00:56,265 --> 00:01:01,264
nu aveau cuvinte pentru numere
mai mari decât trei.

13
00:01:01,264 --> 00:01:02,774
Dacă îţi laşi oile să pască,

14
00:01:02,774 --> 00:01:06,052
ştii câte au ieşit dacă aşezi
pentru fiecare câte o piatră,

15
00:01:06,052 --> 00:01:09,116
pe care o iei când oile
se întorc de la păşune,

16
00:01:09,116 --> 00:01:11,933
şi aşa ştii câte lipsesc fără să numeri.

17
00:01:11,933 --> 00:01:15,465
Un alt exemplu mai bun
decât numărarea e următorul:

18
00:01:15,465 --> 00:01:20,075
dacă vorbesc într-o sală plină,
cu scaunele ocupate şi nimeni în picioare.

19
00:01:20,075 --> 00:01:23,489
Știu că există acelaşi număr de scaune
ca și oameni,

20
00:01:23,489 --> 00:01:25,985
chiar dacă nu ştiu câte sunt de fiecare.

21
00:01:25,985 --> 00:01:28,750
Când spunem că două seturi
sunt de aceeaşi mărime

22
00:01:28,750 --> 00:01:32,578
înseamnă că elementele lor
pot fi potrivite în perechi.

23
00:01:32,578 --> 00:01:37,604
Profesorul a înşirat numerele pe rând 
şi dedesubt a plasat dublul lor.

24
00:01:37,604 --> 00:01:42,481
Vedem că pe rândul de jos
sunt numere pare şi alcătuiesc perechi.

25
00:01:42,481 --> 00:01:45,341
Adică, există atâtea numere pare
câte numere sunt.

26
00:01:45,341 --> 00:01:51,101
Ne preocupă însă că numerele pare 
par a fi o parte din total.

27
00:01:51,101 --> 00:01:56,774
Asta înseamnă că nu am acelaşi
număr de degete la mâini?

28
00:01:56,774 --> 00:02:00,666
Sigur nu. Faptul că nu putem
potrivi elementele

29
00:02:00,666 --> 00:02:02,565
nu înseamnă nimic.

30
00:02:02,565 --> 00:02:06,317
Dacă găsim un mod în care
elementele a două seturi se potrivesc,

31
00:02:06,317 --> 00:02:09,864
atunci spunem că cele două
au acelaşi număr de elemente.

32
00:02:10,049 --> 00:02:15,017
Putem face o listă a fracţiilor? 
E greu, sunt multe!

33
00:02:15,017 --> 00:02:19,414
Nu ştim cu ce să începem
sau cum să le listăm pe toate.

34
00:02:19,414 --> 00:02:24,398
Totuși, există o modalitate deşteaptă
de a face o listă a fracţiilor.

35
00:02:24,398 --> 00:02:28,286
Georg Cantor a făcut asta
la sfârşitul secolului XIX.

36
00:02:28,286 --> 00:02:31,755
Întâi, punem toate fracţiile
într-o grilă. Toate.

37
00:02:31,755 --> 00:02:39,140
De exemplu, găsim117/243
pe rândul 117, coloana 223.

38
00:02:39,140 --> 00:02:44,467
Facem o listă din stânga sus,
coborând înapoi pe diagonală,

39
00:02:44,467 --> 00:02:49,700
sărind peste orice fracție, ca 2/2,
care e acelaşi număr ca cel ales deja.

40
00:02:49,700 --> 00:02:53,320
Așa obținem lista tuturor fracţiilor, 
adică am creat o potrivire

41
00:02:53,320 --> 00:02:55,489
între numerele întregi şi fracţii,

42
00:02:55,489 --> 00:02:58,559
deşi credeam că poate ar trebui
să existe mai multe fracţii.

43
00:02:58,559 --> 00:03:00,870
Aici devine interesant.

44
00:03:00,870 --> 00:03:06,263
Ştiţi că nu toate numerele reale
înșirate pe o linie sunt fracţii.

45
00:03:06,263 --> 00:03:08,996
Rădăcina pătrată a lui 2 sau π,
de exemplu.

46
00:03:08,996 --> 00:03:13,370
Orice astfel de număr e iraţional.
Nu înseamnă că e nebun,

47
00:03:13,370 --> 00:03:18,062
dar pentru că fracţiile sunt rații
de numere întregi sunt numite raţionale;

48
00:03:18,062 --> 00:03:21,212
iar restul sunt iraţionale.

49
00:03:21,212 --> 00:03:24,988
Numerele iraţionale au un număr infinit
de zecimale non-repetitive.

50
00:03:24,988 --> 00:03:29,386
Oare putem potrivi numerele întregi
şi cele cu zecimale,

51
00:03:29,386 --> 00:03:31,723
și raţionale şi iraţionale?

52
00:03:31,723 --> 00:03:34,483
Putem face o listă
a tuturor numerelor zecimale?

53
00:03:34,483 --> 00:03:36,592
Candor a arătat că nu poți.

54
00:03:36,592 --> 00:03:39,712
Nu pentru că nu ştim cum, 
pur și simplu nu se poate.

55
00:03:39,712 --> 00:03:43,746
Dacă susțineţi că aveţi o listă a tuturor
numerelor zecimale,

56
00:03:43,746 --> 00:03:46,166
vă demonstrez că nu e aşa,

57
00:03:46,166 --> 00:03:48,580
creând un număr zecimal
care nu e pe listă.

58
00:03:48,580 --> 00:03:51,209
Voi construi numărul zecimal
adăugând câte o zecimală.

59
00:03:51,209 --> 00:03:55,956
Pentru prima zecimală, mă uit la locul
primei zecimale al primului număr.

60
00:03:55,956 --> 00:04:00,612
Dacă e 1, la mine trec 2;
altfel, trec la mine un 1.

61
00:04:00,612 --> 00:04:02,499
Pe locul doi al numărului meu,

62
00:04:02,499 --> 00:04:04,789
mă uit la locul doi
al celui de-al doilea număr.

63
00:04:04,789 --> 00:04:09,776
Iarăşi, dacă la voi e 1, la mine va fi 2,
altfel, trec la mine 1.

64
00:04:09,776 --> 00:04:13,945
Vedeţi cum funcţionează? 
Zecimalele mele nu există la voi.

65
00:04:13,945 --> 00:04:17,617
De ce? Ar putea fi al 143-lea număr?

66
00:04:17,617 --> 00:04:21,267
Nu, pentru că locul celui
de-al 143-lea loc al zecimalei mele

67
00:04:21,267 --> 00:04:25,726
diferă de acelaşi loc
al zecimalei voastre.

68
00:04:25,726 --> 00:04:29,670
Lista voastră e incompletă.
Nu conţine zecimalele mele.

69
00:04:29,670 --> 00:04:34,826
Indiferent de listă, pot produce
un număr zecimal care nu-i pe lista ta.

70
00:04:34,826 --> 00:04:37,609
Ne confruntăm
cu o concluzie surprinzătoare:

71
00:04:37,609 --> 00:04:40,136
numerele zecimale
nu pot fi puse pe o listă.

72
00:04:40,136 --> 00:04:43,916
Reprezintă o infinitate mai mare
decât a numerelor întregi.

73
00:04:43,916 --> 00:04:47,121
Chiar dacă suntem familiari
doar cu o parte a numerelor iraționale,

74
00:04:47,121 --> 00:04:48,641
ca rădăcina pătrată sau Pi,

75
00:04:48,641 --> 00:04:52,506
infinitatea iraţionalelor e mai mare
decât infinitatea fracţiilor.

76
00:04:52,506 --> 00:04:57,999
Cineva a spus că dacă fracţiile
sunt ca stelele pe cerul întunecat;

77
00:04:57,999 --> 00:05:01,143
numerele iraţionalele sunt ca întunericul.

78
00:05:01,143 --> 00:05:03,783
Cantor a arătat că,
pentru orice set infinit,

79
00:05:03,783 --> 00:05:07,273
formarea unui nou set alcătuit
din toate subseturile setului original

80
00:05:07,273 --> 00:05:10,354
reprezintă o infinitate
mai mare decât setul original.

81
00:05:10,354 --> 00:05:12,434
Asta înseamnă că,
odată ce ai o infinitate,

82
00:05:12,434 --> 00:05:17,006
poţi obţine oricând una mai mare,
făcând un set al subsetului primului set.

83
00:05:17,006 --> 00:05:18,726
Şi apoi unul și mai mare,

84
00:05:18,726 --> 00:05:22,019
alcătuind un set al tuturor
subseturilor acestuia etc.

85
00:05:22,019 --> 00:05:26,185
Așadar, există un număr infinit
de infinităţi de mărimi diferite.

86
00:05:26,185 --> 00:05:29,242
Dacă această ideea te amețește,
nu ești singur.

87
00:05:29,242 --> 00:05:33,022
Unii matematicieni contemporani
cu Cantor nu erau de acord.

88
00:05:33,022 --> 00:05:35,815
Au încercat să facă irelevante
aceste diferite infinităţi,

89
00:05:35,815 --> 00:05:37,860
să le excludă din matematică.

90
00:05:37,860 --> 00:05:42,443
Cantor a fost criticat atât de mult
încât a intrat în depresie,

91
00:05:42,443 --> 00:05:45,910
şi restul vieţii l-a petrecut în mare
parte prin instituţii mentale.

92
00:05:45,910 --> 00:05:48,762
Însă ideile sale au câştigat.

93
00:05:48,762 --> 00:05:51,492
Astăzi, sunt considerate
fundamentale şi magnifice.

94
00:05:51,492 --> 00:05:55,860
Toţi matematicienii le acceptă, 
studenții de la Matematică le învaţă,

95
00:05:55,860 --> 00:05:58,143
iar eu ți le-am explicat în câteva minute.

96
00:05:58,143 --> 00:06:00,926
Poate într-o zi vor fi înțelese
de toată lumea.

97
00:06:00,926 --> 00:06:06,006
Încă ceva. Am subliniat că setul
de numere zecimale, numerele reale,

98
00:06:06,006 --> 00:06:08,760
sunt o infinitate mai mare
decât setul numerelor întregi.

99
00:06:08,760 --> 00:06:10,860
Candor s-a întrebat dacă există infinităţi

100
00:06:10,860 --> 00:06:13,325
de dimensiuni diferite
între aceste două infinităţi.

101
00:06:13,325 --> 00:06:15,465
Nu credea că există,
dar nu putea demonstra.

102
00:06:15,465 --> 00:06:19,275
Ipoteza lui Candor a devenit cunoscută
ca Ipoteza Continuumului.

103
00:06:19,275 --> 00:06:21,709
În 1900, matematicianul David Hilbert

104
00:06:21,709 --> 00:06:24,499
a menţionat ipoteza continuumului
ca cea mai importantă

105
00:06:24,499 --> 00:06:26,771
problemă nerezolvată în matematică.

106
00:06:26,771 --> 00:06:30,060
Secolul XX a rezolvat
acestă problemă, neaşteptat,

107
00:06:30,060 --> 00:06:32,560
printr-o schimbare radicală a paradigmei.

108
00:06:32,560 --> 00:06:35,892
În 1920, Kurt Godel a arătat
că nu se poate demonstra

109
00:06:35,892 --> 00:06:37,892
că ipoteza continumuului e falsă.

110
00:06:37,892 --> 00:06:40,916
Apoi, în 1960, Paul Cohen a arătat

111
00:06:40,916 --> 00:06:43,796
că nu putem demonstra că e adevărată.

112
00:06:43,796 --> 00:06:46,095
Împreună, aceste două rezultate arată

113
00:06:46,095 --> 00:06:48,425
că există întrebări
fără răspuns în matematică.

114
00:06:48,425 --> 00:06:50,680
O concluzie uimitoare!

115
00:06:50,680 --> 00:06:53,869
Matematica e pe drept considerată
apogeul raţionamentului uman,

116
00:06:53,869 --> 00:06:56,962
dar acum ştim că până
şi ea își are limitele sale.

117
00:06:56,962 --> 00:07:00,939
Și totuși, matematica are multe lucruri
minunate la care să ne gândim.