Quão grande é o infinito? — Dennis Wildfogel

Vejam a lição inteira: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

Usando os fundamentos da teoria dos conjuntos, explorem o alucinante conceito de um "infinito de infinitos" — e como ele levou a que os matemáticos concluíssem que a própria matemática contém questões que não podem ser respondidas.

Lição de Dennis Wildfogel, animação de Augenblick Studios.

Quando eu estava na quarta classe,
o professor disse-nos:

"Há tantos números pares quanto números."

"A sério?", pensei eu. Realmente,
há um número infinito de ambos,

portanto suponho que
haja o mesmo número de ambos.

Por outro lado, os números pares
são apenas uma parte de todos os números.

Os ímpares ficam de fora,

portanto tem de haver mais números
do que números pares.

Para perceber o que o professor
queria dizer, vamos pensar

no que significa dois conjuntos
terem o mesmo tamanho.

O que é que significa quando digo

que tenho tantos dedos
na mão direita como na mão esquerda?

É óbvio que tenho cinco dedos em cada uma
mas é mais simples do que isso.

Não preciso de os contar,

só preciso de perceber
se os consigo combinar, um a um.

Pensa-se que alguns povos antigos,
que falavam línguas

que não tinham palavras
para números maiores do que três,

usavam este tipo de truque.

Por exemplo, se tirarem
as ovelhas do curral para pastar

conseguem não perder a conta
de quantas saíram

se puserem de lado
uma pedra por cada uma

e depois deitarem as pedras fora,
uma a uma,

quando as ovelhas regressarem.

Ficam a saber se falta alguma
sem precisarem de contar.

Outro exemplo de emparelhar
ser mais fundamental do que contar:

quando falo para um auditório lotado,

onde cada assento está ocupado
e não há ninguém de pé,

sei que há o mesmo número de assentos
e pessoas no auditório

apesar de não saber
quantos é que existem de cada.

Quando dizemos que dois conjuntos
têm o mesmo tamanho

é que os elementos desses conjuntos

podem ser combinados,
um a um, de certa forma.

O professor mostrou-nos
os números inteiros

dispostos numa linha e,
por baixo de cada, o seu dobro.

Como vemos, a linha de baixo
contém todos os números pares,

com correspondência de um para um.

Ou seja, há tantos números pares
como há números.

Mas o que nos incomoda é a angústia

porque os números pares parecerem
ser apenas parte dos números inteiros.

Isto convence-vos de que não tenho
o mesmo número de dedos

na mão esquerda e na mão direita?

Claro que não. Não importa
se tentamos combinar

os elementos de qualquer forma
e não resulta,

isso não nos convence de nada.

Se conseguirmos encontrar forma

de emparelhar elementos de dois conjuntos,

dizemos que esses dois conjuntos
têm o mesmo número de elementos.

Conseguem fazer uma lista
de todas as frações?

Vai ser difícil, há uma data de frações!

E não é óbvio qual escrever primeiro

ou ter a certeza
de que incluímos todas na lista.

De qualquer maneira,
há uma maneira muito inteligente

de fazer uma lista com todas as frações.

O primeiro a fazê-lo foi Georg Cantor,
no final do século XIX.

Primeiro, escrevemos
todas as frações numa grelha.

Estão todas lá.

Podemos encontrar, por exemplo, 117/243

na linha 117 e coluna 223.

Fazemos uma lista a partir disto,

começando no canto superior esquerdo

e andando para trás
e para a frente na diagonal,

saltando qualquer fração como 2/2

que representa um número
que já escrevemos.

Assim, obtemos uma lista
de todas as frações,

o que significa que criámos
uma correspondência 1:1

entre os números inteiros e as frações,

apesar de termos pensado
que talvez existissem mais frações.

Agora é que se torna
realmente interessante.

Talvez saibam que
nem todos os números reais

— isto é, todos os números
numa reta numérica — são frações.

A raiz quadrada de 2 e o π, por exemplo.

Quaisquer números como estes
chamam-se irracionais.

Não por serem doidos,
mas porque as frações

são a razão entre números inteiros,

portanto chamam-se racionais,

ou seja, o resto é não-racional,
ou irracional.

Os irracionais são representados
por decimais infinitos e não periódicos.

Será que conseguimos fazer
uma correspondência 1:1

entre os números inteiros
e o conjunto de todos os decimais,

tanto racionais como irracionais?

Isto é, conseguimos fazer uma lista
de todos os decimais?

Cantor mostrou que não é possível.

Não é que não saibamos,
mas não é possível fazê-lo.

Suponham que alegam que fizeram
uma lista de todos os decimais.

Vou mostrar-vos que
não o conseguiram,

gerando um decimal
que não está na vossa lista.

Vou construir o meu decimal,
algarismo a algarismo.

Para a primeira casa decimal
do meu número,

olho para a primeira casa decimal
do vosso primeiro número.

Se for um 1, a minha será um 2.
Caso contrário, a minha será um 1.

Para a segunda casa decimal
do meu número,

olho para a segunda casa decimal
do vosso segundo número.

De novo, se a vossa for um 1,
a minha será um 2.

Caso contrário, a minha será um 1.

Estão a ver onde vai dar?

O decimal que eu escrever
não pode estar na vossa lista.

Porquê? Poderia o vosso 143.º número?

Não, porque a 143.ª casa decimal
do meu número

é diferente da 143.ª casa decimal
do vosso 143.º número.

Foi assim que o defini.

A vossa lista estará incompleta.

Não contém o meu decimal.

Seja qual for a lista que me derem,

posso fazer o mesmo e produzir
um decimal que não está na lista.

Portanto, estamos perante
uma conclusão espantosa:

os números decimais
não podem ser listados.

Representam um infinito maior
do que o infinito dos números inteiros.

Embora estejamos familiarizados
apenas com alguns irracionais,

como a raiz quadrada e Pi,

a infinidade de todos os irracionais

é maior do que a infinidade das frações.

Alguém disse uma vez
que os racionais — as frações —

são como as estrelas no céu noturno;

os irracionais são como a escuridão.

Cantor também mostrou que,
para qualquer conjunto infinito,

que forme um novo conjunto feito de
todos os subconjuntos do conjunto original

representa um infinito maior
do que o conjunto original.

Isto significa que,
quando temos um infinito,

podemos sempre encontrar um maior

formando um conjunto com todos
os subconjuntos do primeiro.

E depois um ainda maior

formando um conjunto
com todos os subconjuntos desse.

E por aí adiante.

Ou seja, há um número infinito
de infinitos com diferentes tamanhos.

Se estas ideias vos são desconfortáveis,
não são os únicos.

Alguns dos maiores matemáticos
contemporâneos de Cantor

ficaram muito perturbados com isto.

Tentaram tornar irrelevantes
estes diferentes infinitos,

fazer com que a matemática
funcionasse sem eles.

Cantor foi até
pessoalmente difamado,

de tal maneira que sofreu
uma grave depressão

e passou a última metade da sua vida

dentro e fora de instituições
de saúde mental.

Mas, por fim, as suas ideias vingaram.

Atualmente, são consideradas
fundamentais e magníficas.

Todos os investigadores matemáticos
as aceitam,

qualquer aluno universitário
de matemática as aprende

e eu expliquei-as aqui em poucos minutos.

Talvez um dia elas
se tornem conhecimento geral.

E há mais.

Apenas destacámos que o conjunto
dos números decimais

— os números reais —

é um infinito maior
que o conjunto dos números inteiros.

Cantor questionava se haveria infinitos

de diferentes tamanhos
entre estes dois infinitos.

Não acreditava que houvesse,
mas não o conseguiu provar.

A sua conjetura ficou conhecida
como a hipótese do "continuum".

Em 1900, o grande matemático
David Hilbert

listou a hipótese do "continuum"
como o mais importante

problema matemático por resolver.

O século XX assistiu à resolução
deste problema,

mas de uma maneira totalmente inesperada
e que abalou paradigmas.

Nos anos 20, Kurt Gödel demonstrou
que nunca se poderá provar

que a hipótese do "continuum" seja falsa.

Mais tarde, nos anos 60,
Paul J. Cohen demonstrou

que nunca se poderá provar
que ela seja verdadeira.

Ou seja, estes resultados querem dizer
que há questões na matemática

que não podem ser resolvidas.

Uma conclusão muito surpreendente.

Considera-se a matemática corretamente
o pináculo do raciocínio humano,

mas sabemos agora que até a matemática
tem as suas limitações.

Ainda assim, a matemática
tem coisas verdadeiramente maravilhosas

para nos fazer pensar.