WEBVTT

00:00:14.023 --> 00:00:16.765
Quando eu estava na quarta classe,
o professor disse-nos:

00:00:16.765 --> 00:00:19.824
"Há tantos números pares quanto números."

00:00:19.824 --> 00:00:23.314
"A sério?", pensei eu. Realmente,
há um número infinito de ambos,

00:00:23.314 --> 00:00:25.880
portanto suponho que
haja o mesmo número de ambos.

00:00:25.880 --> 00:00:29.439
Por outro lado, os números pares 
são apenas uma parte de todos os números.

00:00:29.439 --> 00:00:30.856
Os ímpares ficam de fora,

00:00:30.856 --> 00:00:33.615
portanto tem de haver mais números
do que números pares.

00:00:33.707 --> 00:00:36.482
Para perceber o que o professor
queria dizer, vamos pensar

00:00:36.482 --> 00:00:39.232
no que significa dois conjuntos
terem o mesmo tamanho.

00:00:39.232 --> 00:00:41.031
O que é que significa quando digo

00:00:41.031 --> 00:00:44.373
que tenho tantos dedos 
na mão direita como na mão esquerda?

00:00:44.548 --> 00:00:48.006
É óbvio que tenho cinco dedos em cada uma
mas é mais simples do que isso.

00:00:48.106 --> 00:00:49.638
Não preciso de os contar,

00:00:49.638 --> 00:00:52.772
só preciso de perceber
se os consigo combinar, um a um.

00:00:52.772 --> 00:00:55.372
Pensa-se que alguns povos antigos,
que falavam línguas

00:00:55.372 --> 00:00:58.040
que não tinham palavras
para números maiores do que três,

00:00:58.040 --> 00:00:59.489
usavam este tipo de truque.

00:00:59.489 --> 00:01:02.264
Por exemplo, se tirarem
as ovelhas do curral para pastar

00:01:02.264 --> 00:01:04.455
conseguem não perder a conta
de quantas saíram

00:01:04.455 --> 00:01:06.382
se puserem de lado
uma pedra por cada uma

00:01:06.382 --> 00:01:08.473
e depois deitarem as pedras fora,
uma a uma,

00:01:08.473 --> 00:01:09.982
quando as ovelhas regressarem.

00:01:09.982 --> 00:01:12.608
Ficam a saber se falta alguma
sem precisarem de contar.

00:01:12.608 --> 00:01:15.590
Outro exemplo de emparelhar
ser mais fundamental do que contar:

00:01:15.590 --> 00:01:17.581
quando falo para um auditório lotado,

00:01:17.581 --> 00:01:20.231
onde cada assento está ocupado
e não há ninguém de pé,

00:01:20.231 --> 00:01:23.465
sei que há o mesmo número de assentos
e pessoas no auditório

00:01:23.465 --> 00:01:26.116
apesar de não saber
quantos é que existem de cada.

00:01:26.116 --> 00:01:28.648
Quando dizemos que dois conjuntos
têm o mesmo tamanho

00:01:28.648 --> 00:01:30.606
é que os elementos desses conjuntos

00:01:30.606 --> 00:01:32.978
podem ser combinados,
um a um, de certa forma.

00:01:32.978 --> 00:01:35.177
O professor mostrou-nos
os números inteiros

00:01:35.177 --> 00:01:37.877
dispostos numa linha e,
por baixo de cada, o seu dobro.

00:01:38.018 --> 00:01:40.781
Como vemos, a linha de baixo
contém todos os números pares,

00:01:40.781 --> 00:01:42.939
com correspondência de um para um.

00:01:42.939 --> 00:01:45.599
Ou seja, há tantos números pares
como há números.

00:01:45.599 --> 00:01:47.791
Mas o que nos incomoda é a angústia

00:01:47.791 --> 00:01:51.191
porque os números pares parecerem
ser apenas parte dos números inteiros.

00:01:51.191 --> 00:01:54.582
Isto convence-vos de que não tenho
o mesmo número de dedos

00:01:54.582 --> 00:01:56.624
na mão esquerda e na mão direita?

00:01:56.624 --> 00:01:59.232
Claro que não. Não importa
se tentamos combinar

00:01:59.232 --> 00:02:01.391
os elementos de qualquer forma
e não resulta,

00:02:01.391 --> 00:02:03.181
isso não nos convence de nada.

00:02:03.181 --> 00:02:04.673
Se conseguirmos encontrar forma

00:02:04.673 --> 00:02:06.867
de emparelhar elementos de dois conjuntos,

00:02:06.867 --> 00:02:10.114
dizemos que esses dois conjuntos
têm o mesmo número de elementos.

00:02:10.114 --> 00:02:12.328
Conseguem fazer uma lista
de todas as frações?

00:02:12.536 --> 00:02:15.370
Vai ser difícil, há uma data de frações!

00:02:15.370 --> 00:02:17.137
E não é óbvio qual escrever primeiro

00:02:17.137 --> 00:02:19.645
ou ter a certeza
de que incluímos todas na lista.

00:02:19.645 --> 00:02:22.146
De qualquer maneira,
há uma maneira muito inteligente

00:02:22.146 --> 00:02:24.663
de fazer uma lista com todas as frações.

00:02:24.663 --> 00:02:28.086
O primeiro a fazê-lo foi Georg Cantor,
no final do século XIX.

00:02:28.086 --> 00:02:30.596
Primeiro, escrevemos
todas as frações numa grelha.

00:02:30.613 --> 00:02:32.021
Estão todas lá.

00:02:32.238 --> 00:02:36.428
Podemos encontrar, por exemplo, 117/243

00:02:36.428 --> 00:02:39.020
na linha 117 e coluna 223.

00:02:39.195 --> 00:02:40.853
Fazemos uma lista a partir disto,

00:02:40.853 --> 00:02:42.670
começando no canto superior esquerdo

00:02:42.670 --> 00:02:44.962
e andando para trás 
e para a frente na diagonal,

00:02:44.962 --> 00:02:46.795
saltando qualquer fração como 2/2

00:02:46.795 --> 00:02:49.411
que representa um número
que já escrevemos.

00:02:49.411 --> 00:02:51.528
Assim, obtemos uma lista
de todas as frações,

00:02:51.528 --> 00:02:54.003
o que significa que criámos
uma correspondência 1:1

00:02:54.003 --> 00:02:55.877
entre os números inteiros e as frações,

00:02:55.877 --> 00:02:58.694
apesar de termos pensado
que talvez existissem mais frações.

00:02:58.710 --> 00:03:01.061
Agora é que se torna
realmente interessante.

00:03:01.061 --> 00:03:03.213
Talvez saibam que
nem todos os números reais

00:03:03.213 --> 00:03:06.454
— isto é, todos os números
numa reta numérica — são frações.

00:03:06.454 --> 00:03:08.844
A raiz quadrada de 2 e o π, por exemplo.

00:03:08.844 --> 00:03:11.620
Quaisquer números como estes
chamam-se irracionais.

00:03:11.620 --> 00:03:14.203
Não por serem doidos,
mas porque as frações

00:03:14.203 --> 00:03:16.460
são a razão entre números inteiros,

00:03:16.460 --> 00:03:18.243
portanto chamam-se racionais,

00:03:18.243 --> 00:03:21.135
ou seja, o resto é não-racional,
ou irracional.

00:03:21.352 --> 00:03:24.968
Os irracionais são representados
por decimais infinitos e não periódicos.

00:03:25.143 --> 00:03:27.519
Será que conseguimos fazer
uma correspondência 1:1

00:03:27.519 --> 00:03:30.402
entre os números inteiros
e o conjunto de todos os decimais,

00:03:30.402 --> 00:03:32.052
tanto racionais como irracionais?

00:03:32.052 --> 00:03:34.744
Isto é, conseguimos fazer uma lista
de todos os decimais?

00:03:34.744 --> 00:03:36.385
Cantor mostrou que não é possível.

00:03:36.385 --> 00:03:39.460
Não é que não saibamos,
mas não é possível fazê-lo.

00:03:39.460 --> 00:03:43.399
Suponham que alegam que fizeram
uma lista de todos os decimais.

00:03:43.399 --> 00:03:46.166
Vou mostrar-vos que 
não o conseguiram,

00:03:46.166 --> 00:03:48.445
gerando um decimal
que não está na vossa lista.

00:03:48.620 --> 00:03:51.185
Vou construir o meu decimal,
algarismo a algarismo.

00:03:51.185 --> 00:03:53.486
Para a primeira casa decimal
do meu número,

00:03:53.486 --> 00:03:56.269
olho para a primeira casa decimal
do vosso primeiro número.

00:03:56.269 --> 00:04:00.193
Se for um 1, a minha será um 2.
Caso contrário, a minha será um 1.

00:04:00.368 --> 00:04:02.410
Para a segunda casa decimal
do meu número,

00:04:02.410 --> 00:04:05.110
olho para a segunda casa decimal
do vosso segundo número.

00:04:05.110 --> 00:04:07.502
De novo, se a vossa for um 1,
a minha será um 2.

00:04:07.502 --> 00:04:09.727
Caso contrário, a minha será um 1.

00:04:09.869 --> 00:04:11.577
Estão a ver onde vai dar?

00:04:11.577 --> 00:04:14.226
O decimal que eu escrever
não pode estar na vossa lista.

00:04:14.226 --> 00:04:17.737
Porquê? Poderia o vosso 143.º número?

00:04:17.803 --> 00:04:21.137
Não, porque a 143.ª casa decimal
do meu número

00:04:21.137 --> 00:04:24.202
é diferente da 143.ª casa decimal
do vosso 143.º número.

00:04:24.202 --> 00:04:26.011
Foi assim que o defini.

00:04:26.052 --> 00:04:27.777
A vossa lista estará incompleta.

00:04:27.777 --> 00:04:29.695
Não contém o meu decimal.

00:04:29.695 --> 00:04:31.386
Seja qual for a lista que me derem,

00:04:31.386 --> 00:04:34.419
posso fazer o mesmo e produzir
um decimal que não está na lista.

00:04:34.627 --> 00:04:37.360
Portanto, estamos perante
uma conclusão espantosa:

00:04:37.360 --> 00:04:40.286
os números decimais
não podem ser listados.

00:04:40.427 --> 00:04:43.694
Representam um infinito maior
do que o infinito dos números inteiros.

00:04:43.694 --> 00:04:46.707
Embora estejamos familiarizados
apenas com alguns irracionais,

00:04:46.707 --> 00:04:48.774
como a raiz quadrada e Pi,

00:04:48.774 --> 00:04:50.516
a infinidade de todos os irracionais

00:04:50.516 --> 00:04:52.634
é maior do que a infinidade das frações.

00:04:52.634 --> 00:04:55.342
Alguém disse uma vez
que os racionais — as frações —

00:04:55.342 --> 00:04:57.759
são como as estrelas no céu noturno;

00:04:58.067 --> 00:05:01.143
os irracionais são como a escuridão.

00:05:01.159 --> 00:05:03.993
Cantor também mostrou que,
para qualquer conjunto infinito,

00:05:03.993 --> 00:05:07.709
que forme um novo conjunto feito de
todos os subconjuntos do conjunto original

00:05:07.709 --> 00:05:10.327
representa um infinito maior
do que o conjunto original.

00:05:10.327 --> 00:05:12.519
Isto significa que,
quando temos um infinito,

00:05:12.519 --> 00:05:14.517
podemos sempre encontrar um maior

00:05:14.517 --> 00:05:17.309
formando um conjunto com todos
os subconjuntos do primeiro.

00:05:17.334 --> 00:05:18.562
E depois um ainda maior

00:05:18.562 --> 00:05:21.073
formando um conjunto
com todos os subconjuntos desse.

00:05:21.073 --> 00:05:22.534
E por aí adiante.

00:05:22.534 --> 00:05:26.041
Ou seja, há um número infinito
de infinitos com diferentes tamanhos.

00:05:26.183 --> 00:05:28.950
Se estas ideias vos são desconfortáveis,
não são os únicos.

00:05:28.950 --> 00:05:31.558
Alguns dos maiores matemáticos
contemporâneos de Cantor

00:05:31.558 --> 00:05:33.350
ficaram muito perturbados com isto.

00:05:33.350 --> 00:05:36.001
Tentaram tornar irrelevantes
estes diferentes infinitos,

00:05:36.001 --> 00:05:38.310
fazer com que a matemática 
funcionasse sem eles.

00:05:38.310 --> 00:05:40.176
Cantor foi até
pessoalmente difamado,

00:05:40.176 --> 00:05:42.443
de tal maneira que sofreu
uma grave depressão

00:05:42.443 --> 00:05:44.301
e passou a última metade da sua vida

00:05:44.301 --> 00:05:46.543
dentro e fora de instituições
de saúde mental.

00:05:46.543 --> 00:05:48.725
Mas, por fim, as suas ideias vingaram.

00:05:48.725 --> 00:05:51.742
Atualmente, são consideradas
fundamentais e magníficas.

00:05:51.742 --> 00:05:53.992
Todos os investigadores matemáticos
as aceitam,

00:05:53.992 --> 00:05:56.531
qualquer aluno universitário
de matemática as aprende

00:05:56.531 --> 00:05:58.751
e eu expliquei-as aqui em poucos minutos.

00:05:58.751 --> 00:06:01.467
Talvez um dia elas
se tornem conhecimento geral.

00:06:01.467 --> 00:06:02.764
E há mais.

00:06:02.781 --> 00:06:05.281
Apenas destacámos que o conjunto
dos números decimais

00:06:05.281 --> 00:06:06.405
— os números reais —

00:06:06.405 --> 00:06:09.080
é um infinito maior
que o conjunto dos números inteiros.

00:06:09.080 --> 00:06:10.951
Cantor questionava se haveria infinitos

00:06:10.951 --> 00:06:13.374
de diferentes tamanhos
entre estes dois infinitos.

00:06:13.374 --> 00:06:16.075
Não acreditava que houvesse,
mas não o conseguiu provar.

00:06:16.075 --> 00:06:19.083
A sua conjetura ficou conhecida
como a hipótese do "continuum".

00:06:19.200 --> 00:06:21.375
Em 1900, o grande matemático
David Hilbert

00:06:21.375 --> 00:06:24.467
listou a hipótese do "continuum"
como o mais importante

00:06:24.467 --> 00:06:26.607
problema matemático por resolver.

00:06:26.607 --> 00:06:28.968
O século XX assistiu à resolução
deste problema,

00:06:28.968 --> 00:06:32.268
mas de uma maneira totalmente inesperada
e que abalou paradigmas.

00:06:32.376 --> 00:06:35.658
Nos anos 20, Kurt Gödel demonstrou
que nunca se poderá provar

00:06:35.658 --> 00:06:38.142
que a hipótese do "continuum" seja falsa.

00:06:38.142 --> 00:06:40.684
Mais tarde, nos anos 60,
Paul J. Cohen demonstrou

00:06:40.684 --> 00:06:43.476
que nunca se poderá provar
que ela seja verdadeira.

00:06:43.692 --> 00:06:46.908
Ou seja, estes resultados querem dizer
que há questões na matemática

00:06:46.908 --> 00:06:48.716
que não podem ser resolvidas.

00:06:48.716 --> 00:06:50.593
Uma conclusão muito surpreendente.

00:06:50.593 --> 00:06:54.018
Considera-se a matemática corretamente
o pináculo do raciocínio humano,

00:06:54.018 --> 00:06:57.283
mas sabemos agora que até a matemática
tem as suas limitações.

00:06:57.408 --> 00:07:00.509
Ainda assim, a matemática
tem coisas verdadeiramente maravilhosas

00:07:00.509 --> 00:07:02.189
para nos fazer pensar.