Quando eu estava na quarta classe, o professor disse-nos:
"Há tantos números pares quanto números."
"A sério?", pensei eu. Realmente, há um número infinito de ambos,
portanto suponho que haja o mesmo número de ambos.
Por outro lado, os números pares são apenas uma parte de todos os números.
Os ímpares ficam de fora,
portanto tem de haver mais números do que números pares.
Para perceber o que o professor queria dizer, vamos pensar
no que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.
O que é que significa quando digo
que tenho tantos dedos na mão direita como na mão esquerda?
É óbvio que tenho cinco dedos em cada uma mas é mais simples do que isso.
Não preciso de os contar,
só preciso de perceber se os consigo combinar, um a um.
Pensa-se que alguns povos antigos, que falavam línguas
que não tinham palavras para números maiores do que três,
usavam este tipo de truque.
Por exemplo, se tirarem as ovelhas do curral para pastar
conseguem não perder a conta de quantas saíram
se puserem de lado uma pedra por cada uma
e depois deitarem as pedras fora, uma a uma,
quando as ovelhas regressarem.
Ficam a saber se falta alguma sem precisarem de contar.
Outro exemplo de emparelhar ser mais fundamental do que contar:
quando falo para um auditório lotado,
onde cada assento está ocupado e não há ninguém de pé,
sei que há o mesmo número de assentos e pessoas no auditório
apesar de não saber quantos é que existem de cada.
Quando dizemos que dois conjuntos têm o mesmo tamanho
é que os elementos desses conjuntos
podem ser combinados, um a um, de certa forma.
O professor mostrou-nos os números inteiros
dispostos numa linha e, por baixo de cada, o seu dobro.
Como vemos, a linha de baixo contém todos os números pares,
com correspondência de um para um.
Ou seja, há tantos números pares como há números.
Mas o que nos incomoda é a angústia
porque os números pares parecerem ser apenas parte dos números inteiros.
Isto convence-vos de que não tenho o mesmo número de dedos
na mão esquerda e na mão direita?
Claro que não. Não importa se tentamos combinar
os elementos de qualquer forma e não resulta,
isso não nos convence de nada.
Se conseguirmos encontrar forma
de emparelhar elementos de dois conjuntos,
dizemos que esses dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.
Conseguem fazer uma lista de todas as frações?
Vai ser difícil, há uma data de frações!
E não é óbvio qual escrever primeiro
ou ter a certeza de que incluímos todas na lista.
De qualquer maneira, há uma maneira muito inteligente
de fazer uma lista com todas as frações.
O primeiro a fazê-lo foi Georg Cantor, no final do século XIX.
Primeiro, escrevemos todas as frações numa grelha.
Estão todas lá.
Podemos encontrar, por exemplo, 117/243
na linha 117 e coluna 223.
Fazemos uma lista a partir disto,
começando no canto superior esquerdo
e andando para trás e para a frente na diagonal,
saltando qualquer fração como 2/2
que representa um número que já escrevemos.
Assim, obtemos uma lista de todas as frações,
o que significa que criámos uma correspondência 1:1
entre os números inteiros e as frações,
apesar de termos pensado que talvez existissem mais frações.
Agora é que se torna realmente interessante.
Talvez saibam que nem todos os números reais
— isto é, todos os números numa reta numérica — são frações.
A raiz quadrada de 2 e o π, por exemplo.
Quaisquer números como estes chamam-se irracionais.
Não por serem doidos, mas porque as frações
são a razão entre números inteiros,
portanto chamam-se racionais,
ou seja, o resto é não-racional, ou irracional.
Os irracionais são representados por decimais infinitos e não periódicos.
Será que conseguimos fazer uma correspondência 1:1
entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,
tanto racionais como irracionais?
Isto é, conseguimos fazer uma lista de todos os decimais?
Cantor mostrou que não é possível.
Não é que não saibamos, mas não é possível fazê-lo.
Suponham que alegam que fizeram uma lista de todos os decimais.
Vou mostrar-vos que não o conseguiram,
gerando um decimal que não está na vossa lista.
Vou construir o meu decimal, algarismo a algarismo.
Para a primeira casa decimal do meu número,
olho para a primeira casa decimal do vosso primeiro número.
Se for um 1, a minha será um 2. Caso contrário, a minha será um 1.
Para a segunda casa decimal do meu número,
olho para a segunda casa decimal do vosso segundo número.
De novo, se a vossa for um 1, a minha será um 2.
Caso contrário, a minha será um 1.
Estão a ver onde vai dar?
O decimal que eu escrever não pode estar na vossa lista.
Porquê? Poderia o vosso 143.º número?
Não, porque a 143.ª casa decimal do meu número
é diferente da 143.ª casa decimal do vosso 143.º número.
Foi assim que o defini.
A vossa lista estará incompleta.
Não contém o meu decimal.
Seja qual for a lista que me derem,
posso fazer o mesmo e produzir um decimal que não está na lista.
Portanto, estamos perante uma conclusão espantosa:
os números decimais não podem ser listados.
Representam um infinito maior do que o infinito dos números inteiros.
Embora estejamos familiarizados apenas com alguns irracionais,
como a raiz quadrada e Pi,
a infinidade de todos os irracionais
é maior do que a infinidade das frações.
Alguém disse uma vez que os racionais — as frações —
são como as estrelas no céu noturno;
os irracionais são como a escuridão.
Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito,
que forme um novo conjunto feito de todos os subconjuntos do conjunto original
representa um infinito maior do que o conjunto original.
Isto significa que, quando temos um infinito,
podemos sempre encontrar um maior
formando um conjunto com todos os subconjuntos do primeiro.
E depois um ainda maior
formando um conjunto com todos os subconjuntos desse.
E por aí adiante.
Ou seja, há um número infinito de infinitos com diferentes tamanhos.
Se estas ideias vos são desconfortáveis, não são os únicos.
Alguns dos maiores matemáticos contemporâneos de Cantor
ficaram muito perturbados com isto.
Tentaram tornar irrelevantes estes diferentes infinitos,
fazer com que a matemática funcionasse sem eles.
Cantor foi até pessoalmente difamado,
de tal maneira que sofreu uma grave depressão
e passou a última metade da sua vida
dentro e fora de instituições de saúde mental.
Mas, por fim, as suas ideias vingaram.
Atualmente, são consideradas fundamentais e magníficas.
Todos os investigadores matemáticos as aceitam,
qualquer aluno universitário de matemática as aprende
e eu expliquei-as aqui em poucos minutos.
Talvez um dia elas se tornem conhecimento geral.
E há mais.
Apenas destacámos que o conjunto dos números decimais
— os números reais —
é um infinito maior que o conjunto dos números inteiros.
Cantor questionava se haveria infinitos
de diferentes tamanhos entre estes dois infinitos.
Não acreditava que houvesse, mas não o conseguiu provar.
A sua conjetura ficou conhecida como a hipótese do "continuum".
Em 1900, o grande matemático David Hilbert
listou a hipótese do "continuum" como o mais importante
problema matemático por resolver.
O século XX assistiu à resolução deste problema,
mas de uma maneira totalmente inesperada e que abalou paradigmas.
Nos anos 20, Kurt Gödel demonstrou que nunca se poderá provar
que a hipótese do "continuum" seja falsa.
Mais tarde, nos anos 60, Paul J. Cohen demonstrou
que nunca se poderá provar que ela seja verdadeira.
Ou seja, estes resultados querem dizer que há questões na matemática
que não podem ser resolvidas.
Uma conclusão muito surpreendente.
Considera-se a matemática corretamente o pináculo do raciocínio humano,
mas sabemos agora que até a matemática tem as suas limitações.
Ainda assim, a matemática tem coisas verdadeiramente maravilhosas
para nos fazer pensar.