0:00:14.023,0:00:16.765
Quando eu estava na quarta classe,[br]o professor disse-nos:

0:00:16.765,0:00:19.824
"Há tantos números pares quanto números."

0:00:19.824,0:00:23.314
"A sério?", pensei eu. Realmente,[br]há um número infinito de ambos,

0:00:23.314,0:00:25.880
portanto suponho que[br]haja o mesmo número de ambos.

0:00:25.880,0:00:29.439
Por outro lado, os números pares [br]são apenas uma parte de todos os números.

0:00:29.439,0:00:30.856
Os ímpares ficam de fora,

0:00:30.856,0:00:33.615
portanto tem de haver mais números[br]do que números pares.

0:00:33.707,0:00:36.482
Para perceber o que o professor[br]queria dizer, vamos pensar

0:00:36.482,0:00:39.232
no que significa dois conjuntos[br]terem o mesmo tamanho.

0:00:39.232,0:00:41.031
O que é que significa quando digo

0:00:41.031,0:00:44.373
que tenho tantos dedos [br]na mão direita como na mão esquerda?

0:00:44.548,0:00:48.006
É óbvio que tenho cinco dedos em cada uma[br]mas é mais simples do que isso.

0:00:48.106,0:00:49.638
Não preciso de os contar,

0:00:49.638,0:00:52.772
só preciso de perceber[br]se os consigo combinar, um a um.

0:00:52.772,0:00:55.372
Pensa-se que alguns povos antigos,[br]que falavam línguas

0:00:55.372,0:00:58.040
que não tinham palavras[br]para números maiores do que três,

0:00:58.040,0:00:59.489
usavam este tipo de truque.

0:00:59.489,0:01:02.264
Por exemplo, se tirarem[br]as ovelhas do curral para pastar

0:01:02.264,0:01:04.455
conseguem não perder a conta[br]de quantas saíram

0:01:04.455,0:01:06.382
se puserem de lado[br]uma pedra por cada uma

0:01:06.382,0:01:08.473
e depois deitarem as pedras fora,[br]uma a uma,

0:01:08.473,0:01:09.982
quando as ovelhas regressarem.

0:01:09.982,0:01:12.608
Ficam a saber se falta alguma[br]sem precisarem de contar.

0:01:12.608,0:01:15.590
Outro exemplo de emparelhar[br]ser mais fundamental do que contar:

0:01:15.590,0:01:17.581
quando falo para um auditório lotado,

0:01:17.581,0:01:20.231
onde cada assento está ocupado[br]e não há ninguém de pé,

0:01:20.231,0:01:23.465
sei que há o mesmo número de assentos[br]e pessoas no auditório

0:01:23.465,0:01:26.116
apesar de não saber[br]quantos é que existem de cada.

0:01:26.116,0:01:28.648
Quando dizemos que dois conjuntos[br]têm o mesmo tamanho

0:01:28.648,0:01:30.606
é que os elementos desses conjuntos

0:01:30.606,0:01:32.978
podem ser combinados,[br]um a um, de certa forma.

0:01:32.978,0:01:35.177
O professor mostrou-nos[br]os números inteiros

0:01:35.177,0:01:37.877
dispostos numa linha e,[br]por baixo de cada, o seu dobro.

0:01:38.018,0:01:40.781
Como vemos, a linha de baixo[br]contém todos os números pares,

0:01:40.781,0:01:42.939
com correspondência de um para um.

0:01:42.939,0:01:45.599
Ou seja, há tantos números pares[br]como há números.

0:01:45.599,0:01:47.791
Mas o que nos incomoda é a angústia

0:01:47.791,0:01:51.191
porque os números pares parecerem[br]ser apenas parte dos números inteiros.

0:01:51.191,0:01:54.582
Isto convence-vos de que não tenho[br]o mesmo número de dedos

0:01:54.582,0:01:56.624
na mão esquerda e na mão direita?

0:01:56.624,0:01:59.232
Claro que não. Não importa[br]se tentamos combinar

0:01:59.232,0:02:01.391
os elementos de qualquer forma[br]e não resulta,

0:02:01.391,0:02:03.181
isso não nos convence de nada.

0:02:03.181,0:02:04.673
Se conseguirmos encontrar forma

0:02:04.673,0:02:06.867
de emparelhar elementos de dois conjuntos,

0:02:06.867,0:02:10.114
dizemos que esses dois conjuntos[br]têm o mesmo número de elementos.

0:02:10.114,0:02:12.328
Conseguem fazer uma lista[br]de todas as frações?

0:02:12.536,0:02:15.370
Vai ser difícil, há uma data de frações!

0:02:15.370,0:02:17.137
E não é óbvio qual escrever primeiro

0:02:17.137,0:02:19.645
ou ter a certeza[br]de que incluímos todas na lista.

0:02:19.645,0:02:22.146
De qualquer maneira,[br]há uma maneira muito inteligente

0:02:22.146,0:02:24.663
de fazer uma lista com todas as frações.

0:02:24.663,0:02:28.086
O primeiro a fazê-lo foi Georg Cantor,[br]no final do século XIX.

0:02:28.086,0:02:30.596
Primeiro, escrevemos[br]todas as frações numa grelha.

0:02:30.613,0:02:32.021
Estão todas lá.

0:02:32.238,0:02:36.428
Podemos encontrar, por exemplo, 117/243

0:02:36.428,0:02:39.020
na linha 117 e coluna 223.

0:02:39.195,0:02:40.853
Fazemos uma lista a partir disto,

0:02:40.853,0:02:42.670
começando no canto superior esquerdo

0:02:42.670,0:02:44.962
e andando para trás [br]e para a frente na diagonal,

0:02:44.962,0:02:46.795
saltando qualquer fração como 2/2

0:02:46.795,0:02:49.411
que representa um número[br]que já escrevemos.

0:02:49.411,0:02:51.528
Assim, obtemos uma lista[br]de todas as frações,

0:02:51.528,0:02:54.003
o que significa que criámos[br]uma correspondência 1:1

0:02:54.003,0:02:55.877
entre os números inteiros e as frações,

0:02:55.877,0:02:58.694
apesar de termos pensado[br]que talvez existissem mais frações.

0:02:58.710,0:03:01.061
Agora é que se torna[br]realmente interessante.

0:03:01.061,0:03:03.213
Talvez saibam que[br]nem todos os números reais

0:03:03.213,0:03:06.454
— isto é, todos os números[br]numa reta numérica — são frações.

0:03:06.454,0:03:08.844
A raiz quadrada de 2 e o π, por exemplo.

0:03:08.844,0:03:11.620
Quaisquer números como estes[br]chamam-se irracionais.

0:03:11.620,0:03:14.203
Não por serem doidos,[br]mas porque as frações

0:03:14.203,0:03:16.460
são a razão entre números inteiros,

0:03:16.460,0:03:18.243
portanto chamam-se racionais,

0:03:18.243,0:03:21.135
ou seja, o resto é não-racional,[br]ou irracional.

0:03:21.352,0:03:24.968
Os irracionais são representados[br]por decimais infinitos e não periódicos.

0:03:25.143,0:03:27.519
Será que conseguimos fazer[br]uma correspondência 1:1

0:03:27.519,0:03:30.402
entre os números inteiros[br]e o conjunto de todos os decimais,

0:03:30.402,0:03:32.052
tanto racionais como irracionais?

0:03:32.052,0:03:34.744
Isto é, conseguimos fazer uma lista[br]de todos os decimais?

0:03:34.744,0:03:36.385
Cantor mostrou que não é possível.

0:03:36.385,0:03:39.460
Não é que não saibamos,[br]mas não é possível fazê-lo.

0:03:39.460,0:03:43.399
Suponham que alegam que fizeram[br]uma lista de todos os decimais.

0:03:43.399,0:03:46.166
Vou mostrar-vos que [br]não o conseguiram,

0:03:46.166,0:03:48.445
gerando um decimal[br]que não está na vossa lista.

0:03:48.620,0:03:51.185
Vou construir o meu decimal,[br]algarismo a algarismo.

0:03:51.185,0:03:53.486
Para a primeira casa decimal[br]do meu número,

0:03:53.486,0:03:56.269
olho para a primeira casa decimal[br]do vosso primeiro número.

0:03:56.269,0:04:00.193
Se for um 1, a minha será um 2.[br]Caso contrário, a minha será um 1.

0:04:00.368,0:04:02.410
Para a segunda casa decimal[br]do meu número,

0:04:02.410,0:04:05.110
olho para a segunda casa decimal[br]do vosso segundo número.

0:04:05.110,0:04:07.502
De novo, se a vossa for um 1,[br]a minha será um 2.

0:04:07.502,0:04:09.727
Caso contrário, a minha será um 1.

0:04:09.869,0:04:11.577
Estão a ver onde vai dar?

0:04:11.577,0:04:14.226
O decimal que eu escrever[br]não pode estar na vossa lista.

0:04:14.226,0:04:17.737
Porquê? Poderia o vosso 143.º número?

0:04:17.803,0:04:21.137
Não, porque a 143.ª casa decimal[br]do meu número

0:04:21.137,0:04:24.202
é diferente da 143.ª casa decimal[br]do vosso 143.º número.

0:04:24.202,0:04:26.011
Foi assim que o defini.

0:04:26.052,0:04:27.777
A vossa lista estará incompleta.

0:04:27.777,0:04:29.695
Não contém o meu decimal.

0:04:29.695,0:04:31.386
Seja qual for a lista que me derem,

0:04:31.386,0:04:34.419
posso fazer o mesmo e produzir[br]um decimal que não está na lista.

0:04:34.627,0:04:37.360
Portanto, estamos perante[br]uma conclusão espantosa:

0:04:37.360,0:04:40.286
os números decimais[br]não podem ser listados.

0:04:40.427,0:04:43.694
Representam um infinito maior[br]do que o infinito dos números inteiros.

0:04:43.694,0:04:46.707
Embora estejamos familiarizados[br]apenas com alguns irracionais,

0:04:46.707,0:04:48.774
como a raiz quadrada e Pi,

0:04:48.774,0:04:50.516
a infinidade de todos os irracionais

0:04:50.516,0:04:52.634
é maior do que a infinidade das frações.

0:04:52.634,0:04:55.342
Alguém disse uma vez[br]que os racionais — as frações —

0:04:55.342,0:04:57.759
são como as estrelas no céu noturno;

0:04:58.067,0:05:01.143
os irracionais são como a escuridão.

0:05:01.159,0:05:03.993
Cantor também mostrou que,[br]para qualquer conjunto infinito,

0:05:03.993,0:05:07.709
que forme um novo conjunto feito de[br]todos os subconjuntos do conjunto original

0:05:07.709,0:05:10.327
representa um infinito maior[br]do que o conjunto original.

0:05:10.327,0:05:12.519
Isto significa que,[br]quando temos um infinito,

0:05:12.519,0:05:14.517
podemos sempre encontrar um maior

0:05:14.517,0:05:17.309
formando um conjunto com todos[br]os subconjuntos do primeiro.

0:05:17.334,0:05:18.562
E depois um ainda maior

0:05:18.562,0:05:21.073
formando um conjunto[br]com todos os subconjuntos desse.

0:05:21.073,0:05:22.534
E por aí adiante.

0:05:22.534,0:05:26.041
Ou seja, há um número infinito[br]de infinitos com diferentes tamanhos.

0:05:26.183,0:05:28.950
Se estas ideias vos são desconfortáveis,[br]não são os únicos.

0:05:28.950,0:05:31.558
Alguns dos maiores matemáticos[br]contemporâneos de Cantor

0:05:31.558,0:05:33.350
ficaram muito perturbados com isto.

0:05:33.350,0:05:36.001
Tentaram tornar irrelevantes[br]estes diferentes infinitos,

0:05:36.001,0:05:38.310
fazer com que a matemática [br]funcionasse sem eles.

0:05:38.310,0:05:40.176
Cantor foi até[br]pessoalmente difamado,

0:05:40.176,0:05:42.443
de tal maneira que sofreu[br]uma grave depressão

0:05:42.443,0:05:44.301
e passou a última metade da sua vida

0:05:44.301,0:05:46.543
dentro e fora de instituições[br]de saúde mental.

0:05:46.543,0:05:48.725
Mas, por fim, as suas ideias vingaram.

0:05:48.725,0:05:51.742
Atualmente, são consideradas[br]fundamentais e magníficas.

0:05:51.742,0:05:53.992
Todos os investigadores matemáticos[br]as aceitam,

0:05:53.992,0:05:56.531
qualquer aluno universitário[br]de matemática as aprende

0:05:56.531,0:05:58.751
e eu expliquei-as aqui em poucos minutos.

0:05:58.751,0:06:01.467
Talvez um dia elas[br]se tornem conhecimento geral.

0:06:01.467,0:06:02.764
E há mais.

0:06:02.781,0:06:05.281
Apenas destacámos que o conjunto[br]dos números decimais

0:06:05.281,0:06:06.405
— os números reais —

0:06:06.405,0:06:09.080
é um infinito maior[br]que o conjunto dos números inteiros.

0:06:09.080,0:06:10.951
Cantor questionava se haveria infinitos

0:06:10.951,0:06:13.374
de diferentes tamanhos[br]entre estes dois infinitos.

0:06:13.374,0:06:16.075
Não acreditava que houvesse,[br]mas não o conseguiu provar.

0:06:16.075,0:06:19.083
A sua conjetura ficou conhecida[br]como a hipótese do "continuum".

0:06:19.200,0:06:21.375
Em 1900, o grande matemático[br]David Hilbert

0:06:21.375,0:06:24.467
listou a hipótese do "continuum"[br]como o mais importante

0:06:24.467,0:06:26.607
problema matemático por resolver.

0:06:26.607,0:06:28.968
O século XX assistiu à resolução[br]deste problema,

0:06:28.968,0:06:32.268
mas de uma maneira totalmente inesperada[br]e que abalou paradigmas.

0:06:32.376,0:06:35.658
Nos anos 20, Kurt Gödel demonstrou[br]que nunca se poderá provar

0:06:35.658,0:06:38.142
que a hipótese do "continuum" seja falsa.

0:06:38.142,0:06:40.684
Mais tarde, nos anos 60,[br]Paul J. Cohen demonstrou

0:06:40.684,0:06:43.476
que nunca se poderá provar[br]que ela seja verdadeira.

0:06:43.692,0:06:46.908
Ou seja, estes resultados querem dizer[br]que há questões na matemática

0:06:46.908,0:06:48.716
que não podem ser resolvidas.

0:06:48.716,0:06:50.593
Uma conclusão muito surpreendente.

0:06:50.593,0:06:54.018
Considera-se a matemática corretamente[br]o pináculo do raciocínio humano,

0:06:54.018,0:06:57.283
mas sabemos agora que até a matemática[br]tem as suas limitações.

0:06:57.408,0:07:00.509
Ainda assim, a matemática[br]tem coisas verdadeiramente maravilhosas

0:07:00.509,0:07:02.189
para nos fazer pensar.