Qual o tamanho do infinito?
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0:14 - 0:16Quando eu estava na quarta série, meu professor disse um dia:
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0:16 - 0:19"Existem tantos números pares quanto existem números inteiros."
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0:19 - 0:25"Sério?", pensei. Bem, pois é, existem infinitos dos dois, então suponho que exista a mesma quantidade.
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0:25 - 0:30Mas, por outro lado, números pares são somente uma parte dos números inteiros, sobram os ímpares.
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0:30 - 0:33Então, tem que existir mais números inteiros do que números pares, certo?
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0:33 - 0:39Para ilustrar o que meu professor disse, vamos pensar primeiro sobre o que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.
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0:39 - 0:44O que eu quero dizer quando digo que tenho o mesmo número de dedos na minha mão esquerda e direita?
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0:44 - 0:48Claro, eu tenho cinco dedos em cada, mas é mais simples que isso na verdade.
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0:48 - 0:53Eu não preciso contar, só preciso verificar se consigo fazer uma correspondência um para um.
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0:53 - 0:56De fato, pensamos que povos antigos cuja língua não tinha palavras
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0:56 - 1:02para números maiores que três usavam esse tipo de truque. Por exemplo, se você deixava sua ovelha sair do cercado para pastar,
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1:02 - 1:06você podia monitorar quantas saíram deixando uma pedrinha de lado para cada ovelha,
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1:06 - 1:09E as colocando de volta uma por uma quando as ovelhas retornassem,
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1:09 - 1:12Assim você saberia se estava faltando alguma sem precisar contar.
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1:12 - 1:15Um outro exemplo de que correspondência é mais fundamental do que contar,
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1:15 - 1:20se eu estou falando a um auditório cheio, onde todos os lugares estão ocupados e não há ninguém de pé,
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1:20 - 1:23eu sei que há o mesmo número de lugares e de pessoas na plateia,
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1:23 - 1:26mesmo que eu não saiba quantos há de cada.
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1:26 - 1:28Portanto, o que realmente queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho
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1:28 - 1:33é que os elementos desses conjuntos podem ser conectados um para um de alguma maneira.
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1:33 - 1:38Então meu professor da 4ª série colocou os números em uma fileira e em baixo de cada um o seu dobro.
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1:38 - 1:42Como vocês podem ver a linha de baixo contém todos os números pares e nós temos uma correpondência um para um.
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1:42 - 1:45Quer dizer, há a mesma quantidade de números pares que de números.
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1:45 - 1:51mas o que ainda nos incomoda é nossa angústia de que os números pares parecem ser somente uma parte dos números inteiros.
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1:51 - 1:56Mas isso te convence que eu tenho a mesma quantidade de dedos na minha direita e na esquerda?
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1:56 - 2:01Claro que não. Não importa se você tenta conectar os elementos de algum jeito e não funciona,
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2:01 - 2:03isso não nos convence de nada.
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2:03 - 2:06Se você puder achar um jeito de conectar os elementos de dois conjuntos,
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2:06 - 2:10Então dizemos que esses dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos.
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2:10 - 2:15Você consegue fazer uma lista de todas as frações? Pode ser difícil, há muitas frações!
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2:15 - 2:19E não é óbvio o que vem primeiro, ou como ter certeza que todas estão na lista.
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2:19 - 2:24Apesar disso, há uma maneira muito inteligente de se fazer uma lista de frações.
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2:24 - 2:28Isso foi feito primeiramente por Georg Cantor no final do século XIX.
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2:28 - 2:36Primeiro, colocamos todas as frações numa matriz. Todas estão lá. Por exemplo, você pode encontrar, digamos, 117/243,
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2:36 - 2:39na 117ª linha e na 243ª coluna.
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2:39 - 2:44Agora fazemos uma lista conmeçando no canto superior esquerdo e varrendo diagonalmente,
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2:44 - 2:49pulando qualquer fração, como 2/2, que represente um número que já tenhamos considerado.
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2:49 - 2:53E assim temos uma lista de todas as frações, o que significa que criamos uma correspondência um para um
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2:53 - 2:58entre os números inteiros e as frações, apesar de termos pensado que havia mais frações.
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2:58 - 3:01Ok, aqui é que fica interessante.
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3:01 - 3:06Você talvez saiba que nem todos os números reais — isto é, nem todos os números num eixo numérico — são frações.
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3:06 - 3:09A raíz quadrada de dois e pi, por exemplo.
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3:09 - 3:15Qualquer número como esses é chamado irracional. Não porque ele seja louco ou coisa parecida, mas porque frações são
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3:15 - 3:21razões entre números inteiros, e são portanto chamadas racionais; deixando o resto como não-racional, ou seja, irracional.
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3:21 - 3:25Irracionais são representados por decimais infinitos que não se repetem.
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3:25 - 3:29Portanto, podemos fazer uma correspondência um para um entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,
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3:29 - 3:34contendo os racionais e irracionais? Isto é, podemos criar uma lista de todos os números decimais?
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3:34 - 3:39Cantor mostrou que não. Não somente que não sabemos como, mas que não há como.
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3:39 - 3:46Olhe, suponha que você diga que criou uma lista de todos os decimais. Vou mostrar que você está errado
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3:46 - 3:48produzindo um decimal que não está na sua lista.
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3:48 - 3:51Vou construir meu decimal um dígito por vez.
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3:51 - 3:55Para o primeiro dígito do meu número, vou olhar para o primeiro dígito decimal do seu primeiro número.
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3:55 - 4:00Se for um "um", colocarei no meu um "dois"; caso contrário, colocarei um "um".
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4:00 - 4:05Para o segundo dígito do meu número, vou olhar para o segundo dígito decimal do seu segundo número.
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4:05 - 4:09Novamente, se o seu for um "um", colocarei no meu um "dois", e caso contrário, colocarei no meu um "um".
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4:09 - 4:14Vê o que está acontecendo? O decimal que eu produzi não pode estar na sua lista.
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4:14 - 4:21Por quê? Poderia ser, digamos o seu 143º número? Não, pois o 143º dígito decimal do meu número
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4:21 - 4:25é diferente do 143º dígito do seu 143º número. Eu fiz desse jeito.
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4:25 - 4:29Sua lista está incompleta. Ela não contém o meu número decimal.
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4:29 - 4:34E, não importa qual lista você me entregue, eu posso fazer a mesmo coisa, e produzir um decimal que não esteja na lista.
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4:34 - 4:37Então, chegamos a esta conclusão incrível:
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4:37 - 4:43Os números decimais não podem ser colocados numa lista. Eles representam um infinito maior que o infinito dos números inteiros.
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4:43 - 4:49Então, mesmo que conheçamos somente algums irracionais, como a raíz quadrada de dois e pi,
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4:49 - 4:52o infinito dos irracionais é na verdade maior que o infinito das frações.
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4:52 - 4:57Alguém uma vez disse que os racionais — as frações — são como as estrelas do céu noturno;
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4:57 - 5:01os irracionais são como a escuridão;
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5:01 - 5:07Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito, se formarmos um novo conjunto com todos os subconjuntos do conjunto original
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5:07 - 5:12construimos um infinito maior que o do conjunto original. Isso quer dizer que, uma vez que se tenha um infinito,
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5:12 - 5:18pode-se sempre criar um maior pegando o conjunto de todos os subconjuntos do primeiro conjunto. E então um ainda maior
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5:18 - 5:22pegando o conjunto dos subconjuntos deste. E assim por diante.
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5:22 - 5:26Portanto, há uma quantidade infinita de infinitos de tamanhos diferentes.
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5:26 - 5:31Se essas ideias te deixam desconfortável, você não está sozinho. Alguns dos maiores matemáticos do tempo de Cantor
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5:31 - 5:35ficaram muito incomodados com isso. Tentaram tornar esses infinitos diferentes irrelevantes,
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5:35 - 5:38para fazer que a matemática funcionasse sem eles de algum jeito.
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5:38 - 5:42Cantor foi visto como vilão, e isso se tornou tão ruim para ele que ele sofreu de depressão severa,
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5:42 - 5:46e passou a última metade de sua vida entrando e saindo de instituições mentais.
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5:46 - 5:51Mas enfim suas ideias triunfaram. Hoje, elas são consideradas fundamentais e magníficas.
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5:51 - 5:56Todos matemáticso pesquisadores aceitam essas ideias, todo estudante de matemática as aprende,
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5:56 - 5:58E as expliquei para vocês em alguns minutos.
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5:58 - 6:01Algum dia, talvez, elas serão conhecimento comum.
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6:01 - 6:06E tem mais. Acabos de mostrar que o conjunto de números decimais — ou seja, os números reais — é um
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6:06 - 6:10infinito maior que o conjunto dos números inteiros. Cantor se perguntou se havia infinitos
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6:10 - 6:14de tamanhos diferentes entre esses dois infinitos. Ele acreditava que não, mas não conseguiu provar.
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6:14 - 6:18a hipótese de Cantor ficou conhecida como a hipótese do continuum.
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6:18 - 6:24Em 1900, o grande matemático David Hilvert listou a hipótese do continuum como o problema não resolvido
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6:24 - 6:26mais importante da matemática.
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6:26 - 6:32O século XX viu uma resolução desse problema, mas de um jeito inesperado e quebrando paradigmas.
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6:32 - 6:38Na década de 20, Kurt Gödel mostrou que não é possível provar a hipótese do continuum como falsa.
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6:38 - 6:43Depois, na década de 60, Paul J. Cohen mostrou que não é possível porvar a hipótese do continuum como verdadeira.
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6:43 - 6:48Em conjunto, esses resultados mostram que há perguntas na matemática pras quais não há respostas.
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6:48 - 6:50Uma conclusão atordoante.
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6:50 - 6:53Matemática é considerada o auge do raciocínio humano,
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6:53 - 6:57mas agora sabemos que até a matemática tem suas limitações.
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6:57 - 7:01Mesmo assim, matemática oferece algumas coisas impressionantes sobre o que se pensar.
- Title:
- Qual o tamanho do infinito?
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
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Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Utilizando fundamentos de teoria dos conjuntos, explore o conceito intrigante do "infinito dos infinitos" — e como ele levou matemáticos à conclusão de que na matemática há perguntas para as quais não há respostas.
Lição por Dennis Wildfogel, animação por Augenblick Studios.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
Dimitra Papageorgiou approved Portuguese, Brazilian subtitles for How big is infinity? | ||
Wanderley Jesus accepted Portuguese, Brazilian subtitles for How big is infinity? | ||
Wanderley Jesus edited Portuguese, Brazilian subtitles for How big is infinity? | ||
Nadja Nathan edited Portuguese, Brazilian subtitles for How big is infinity? | ||
Gustavo Rocha edited Portuguese, Brazilian subtitles for How big is infinity? | ||
Gustavo Rocha added a translation |