Quando eu estava na quarta série, meu professor disse um dia:
"Existem tantos números pares quanto existem números inteiros."
"Sério?", pensei. Bem, pois é, existem infinitos dos dois, então suponho que exista a mesma quantidade.
Mas, por outro lado, números pares são somente uma parte dos números inteiros, sobram os ímpares.
Então, tem que existir mais números inteiros do que números pares, certo?
Para ilustrar o que meu professor disse, vamos pensar primeiro sobre o que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.
O que eu quero dizer quando digo que tenho o mesmo número de dedos na minha mão esquerda e direita?
Claro, eu tenho cinco dedos em cada, mas é mais simples que isso na verdade.
Eu não preciso contar, só preciso verificar se consigo fazer uma correspondência um para um.
De fato, pensamos que povos antigos cuja língua não tinha palavras
para números maiores que três usavam esse tipo de truque. Por exemplo, se você deixava sua ovelha sair do cercado para pastar,
você podia monitorar quantas saíram deixando uma pedrinha de lado para cada ovelha,
E as colocando de volta uma por uma quando as ovelhas retornassem,
Assim você saberia se estava faltando alguma sem precisar contar.
Um outro exemplo de que correspondência é mais fundamental do que contar,
se eu estou falando a um auditório cheio, onde todos os lugares estão ocupados e não há ninguém de pé,
eu sei que há o mesmo número de lugares e de pessoas na plateia,
mesmo que eu não saiba quantos há de cada.
Portanto, o que realmente queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho
é que os elementos desses conjuntos podem ser conectados um para um de alguma maneira.
Então meu professor da 4ª série colocou os números em uma fileira e em baixo de cada um o seu dobro.
Como vocês podem ver a linha de baixo contém todos os números pares e nós temos uma correpondência um para um.
Quer dizer, há a mesma quantidade de números pares que de números.
mas o que ainda nos incomoda é nossa angústia de que os números pares parecem ser somente uma parte dos números inteiros.
Mas isso te convence que eu tenho a mesma quantidade de dedos na minha direita e na esquerda?
Claro que não. Não importa se você tenta conectar os elementos de algum jeito e não funciona,
isso não nos convence de nada.
Se você puder achar um jeito de conectar os elementos de dois conjuntos,
Então dizemos que esses dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos.
Você consegue fazer uma lista de todas as frações? Pode ser difícil, há muitas frações!
E não é óbvio o que vem primeiro, ou como ter certeza que todas estão na lista.
Apesar disso, há uma maneira muito inteligente de se fazer uma lista de frações.
Isso foi feito primeiramente por Georg Cantor no final do século XIX.
Primeiro, colocamos todas as frações numa matriz. Todas estão lá. Por exemplo, você pode encontrar, digamos, 117/243,
na 117ª linha e na 243ª coluna.
Agora fazemos uma lista conmeçando no canto superior esquerdo e varrendo diagonalmente,
pulando qualquer fração, como 2/2, que represente um número que já tenhamos considerado.
E assim temos uma lista de todas as frações, o que significa que criamos uma correspondência um para um
entre os números inteiros e as frações, apesar de termos pensado que havia mais frações.
Ok, aqui é que fica interessante.
Você talvez saiba que nem todos os números reais — isto é, nem todos os números num eixo numérico — são frações.
A raíz quadrada de dois e pi, por exemplo.
Qualquer número como esses é chamado irracional. Não porque ele seja louco ou coisa parecida, mas porque frações são
razões entre números inteiros, e são portanto chamadas racionais; deixando o resto como não-racional, ou seja, irracional.
Irracionais são representados por decimais infinitos que não se repetem.
Portanto, podemos fazer uma correspondência um para um entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,
contendo os racionais e irracionais? Isto é, podemos criar uma lista de todos os números decimais?
Cantor mostrou que não. Não somente que não sabemos como, mas que não há como.
Olhe, suponha que você diga que criou uma lista de todos os decimais. Vou mostrar que você está errado
produzindo um decimal que não está na sua lista.
Vou construir meu decimal um dígito por vez.
Para o primeiro dígito do meu número, vou olhar para o primeiro dígito decimal do seu primeiro número.
Se for um "um", colocarei no meu um "dois"; caso contrário, colocarei um "um".
Para o segundo dígito do meu número, vou olhar para o segundo dígito decimal do seu segundo número.
Novamente, se o seu for um "um", colocarei no meu um "dois", e caso contrário, colocarei no meu um "um".
Vê o que está acontecendo? O decimal que eu produzi não pode estar na sua lista.
Por quê? Poderia ser, digamos o seu 143º número? Não, pois o 143º dígito decimal do meu número
é diferente do 143º dígito do seu 143º número. Eu fiz desse jeito.
Sua lista está incompleta. Ela não contém o meu número decimal.
E, não importa qual lista você me entregue, eu posso fazer a mesmo coisa, e produzir um decimal que não esteja na lista.
Então, chegamos a esta conclusão incrível:
Os números decimais não podem ser colocados numa lista. Eles representam um infinito maior que o infinito dos números inteiros.
Então, mesmo que conheçamos somente algums irracionais, como a raíz quadrada de dois e pi,
o infinito dos irracionais é na verdade maior que o infinito das frações.
Alguém uma vez disse que os racionais — as frações — são como as estrelas do céu noturno;
os irracionais são como a escuridão;
Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito, se formarmos um novo conjunto com todos os subconjuntos do conjunto original
construimos um infinito maior que o do conjunto original. Isso quer dizer que, uma vez que se tenha um infinito,
pode-se sempre criar um maior pegando o conjunto de todos os subconjuntos do primeiro conjunto. E então um ainda maior
pegando o conjunto dos subconjuntos deste. E assim por diante.
Portanto, há uma quantidade infinita de infinitos de tamanhos diferentes.
Se essas ideias te deixam desconfortável, você não está sozinho. Alguns dos maiores matemáticos do tempo de Cantor
ficaram muito incomodados com isso. Tentaram tornar esses infinitos diferentes irrelevantes,
para fazer que a matemática funcionasse sem eles de algum jeito.
Cantor foi visto como vilão, e isso se tornou tão ruim para ele que ele sofreu de depressão severa,
e passou a última metade de sua vida entrando e saindo de instituições mentais.
Mas enfim suas ideias triunfaram. Hoje, elas são consideradas fundamentais e magníficas.
Todos matemáticso pesquisadores aceitam essas ideias, todo estudante de matemática as aprende,
E as expliquei para vocês em alguns minutos.
Algum dia, talvez, elas serão conhecimento comum.
E tem mais. Acabos de mostrar que o conjunto de números decimais — ou seja, os números reais — é um
infinito maior que o conjunto dos números inteiros. Cantor se perguntou se havia infinitos
de tamanhos diferentes entre esses dois infinitos. Ele acreditava que não, mas não conseguiu provar.
a hipótese de Cantor ficou conhecida como a hipótese do continuum.
Em 1900, o grande matemático David Hilvert listou a hipótese do continuum como o problema não resolvido
mais importante da matemática.
O século XX viu uma resolução desse problema, mas de um jeito inesperado e quebrando paradigmas.
Na década de 20, Kurt Gödel mostrou que não é possível provar a hipótese do continuum como falsa.
Depois, na década de 60, Paul J. Cohen mostrou que não é possível porvar a hipótese do continuum como verdadeira.
Em conjunto, esses resultados mostram que há perguntas na matemática pras quais não há respostas.
Uma conclusão atordoante.
Matemática é considerada o auge do raciocínio humano,
mas agora sabemos que até a matemática tem suas limitações.
Mesmo assim, matemática oferece algumas coisas impressionantes sobre o que se pensar.