0:00:14.023,0:00:16.382
Quando eu estava na quarta série, meu professor disse um dia:

0:00:16.382,0:00:19.299
"Existem tantos números pares quanto existem números inteiros."

0:00:19.299,0:00:25.264
"Sério?", pensei. Bem, pois é, existem infinitos dos dois, então suponho que exista a mesma quantidade.

0:00:25.264,0:00:30.315
Mas, por outro lado, números pares são somente uma parte dos números inteiros, sobram os ímpares.

0:00:30.315,0:00:33.082
Então, tem que existir mais números inteiros do que números pares, certo?

0:00:33.082,0:00:38.732
Para ilustrar o que meu professor disse, vamos pensar primeiro sobre o que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.

0:00:38.732,0:00:44.298
O que eu quero dizer quando digo que tenho o mesmo número de dedos na minha mão esquerda e direita?

0:00:44.298,0:00:47.881
Claro, eu tenho cinco dedos em cada, mas é mais simples que isso na verdade.

0:00:47.881,0:00:52.514
Eu não preciso contar, só preciso verificar se consigo fazer uma correspondência um para um.

0:00:52.514,0:00:56.265
De fato, pensamos que povos antigos cuja língua não tinha palavras

0:00:56.265,0:01:02.264
para números maiores que três usavam esse tipo de truque. Por exemplo, se você deixava sua ovelha sair do cercado para pastar,

0:01:02.264,0:01:05.782
você podia monitorar quantas saíram deixando uma pedrinha de lado para cada ovelha,

0:01:05.782,0:01:09.116
E as colocando de volta uma por uma quando as ovelhas retornassem,

0:01:09.116,0:01:11.933
Assim você saberia se estava faltando alguma sem precisar contar.

0:01:11.933,0:01:15.165
Um outro exemplo de que correspondência é mais fundamental do que contar,

0:01:15.165,0:01:19.665
se eu estou falando a um auditório cheio, onde todos os lugares estão ocupados e não há ninguém de pé,

0:01:19.665,0:01:23.199
eu sei que há o mesmo número de lugares e de pessoas na plateia,

0:01:23.199,0:01:25.725
mesmo que eu não saiba quantos há de cada.

0:01:25.756,0:01:28.440
Portanto, o que realmente queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho

0:01:28.440,0:01:32.578
é que os elementos desses conjuntos podem ser conectados um para um de alguma maneira.

0:01:32.578,0:01:37.544
Então meu professor da 4ª série colocou os números em uma fileira e em baixo de cada um o seu dobro.

0:01:37.544,0:01:42.481
Como vocês podem ver a linha de baixo contém todos os números pares e nós temos uma correpondência um para um.

0:01:42.481,0:01:45.341
Quer dizer, há a mesma quantidade de números pares que de números.

0:01:45.341,0:01:50.791
mas o que ainda nos incomoda é nossa angústia de que os números pares parecem ser somente uma parte dos números inteiros.

0:01:50.791,0:01:56.474
Mas isso te convence que eu tenho a mesma quantidade de dedos na minha direita e na esquerda?

0:01:56.474,0:02:00.666
Claro que não. Não importa se você tenta conectar os elementos de algum jeito e não funciona,

0:02:00.666,0:02:02.565
isso não nos convence de nada.

0:02:02.565,0:02:06.317
Se você puder achar um jeito de conectar os elementos de dois conjuntos,

0:02:06.317,0:02:09.864
Então dizemos que esses dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos.

0:02:10.049,0:02:14.787
Você consegue fazer uma lista de todas as frações? Pode ser difícil, há muitas frações!

0:02:14.787,0:02:18.954
E não é óbvio o que vem primeiro, ou como ter certeza que todas estão na lista.

0:02:18.954,0:02:23.988
Apesar disso, há uma maneira muito inteligente de se fazer uma lista de frações.

0:02:23.988,0:02:27.786
Isso foi feito primeiramente por Georg Cantor no final do século XIX.

0:02:27.786,0:02:35.805
Primeiro, colocamos todas as frações numa matriz. Todas estão lá. Por exemplo, você pode encontrar, digamos, 117/243,

0:02:35.805,0:02:39.020
na 117ª linha e na 243ª coluna.

0:02:39.020,0:02:44.287
Agora fazemos uma lista conmeçando no canto superior esquerdo e varrendo diagonalmente,

0:02:44.287,0:02:49.270
pulando qualquer fração, como 2/2, que represente um número que já tenhamos considerado.

0:02:49.270,0:02:53.320
E assim temos uma lista de todas as frações, o que significa que criamos uma correspondência um para um

0:02:53.320,0:02:58.369
entre os números inteiros e as frações, apesar de termos pensado que havia mais frações.

0:02:58.369,0:03:00.870
Ok, aqui é que fica interessante.

0:03:00.870,0:03:06.263
Você talvez saiba que nem todos os números reais — isto é, nem todos os números num eixo numérico — são frações.

0:03:06.263,0:03:08.586
A raíz quadrada de dois e pi, por exemplo.

0:03:08.586,0:03:14.620
Qualquer número como esses é chamado irracional. Não porque ele seja louco ou coisa parecida, mas porque frações são

0:03:14.620,0:03:20.852
razões entre números inteiros, e são portanto chamadas racionais; deixando o resto como não-racional, ou seja, irracional.

0:03:20.852,0:03:24.718
Irracionais são representados por decimais infinitos que não se repetem.

0:03:24.718,0:03:29.386
Portanto, podemos fazer uma correspondência um para um entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,

0:03:29.386,0:03:33.903
contendo os racionais e irracionais? Isto é, podemos criar uma lista de todos os números decimais?

0:03:33.903,0:03:39.352
Cantor mostrou que não. Não somente que não sabemos como, mas que não há como.

0:03:39.352,0:03:46.166
Olhe, suponha que você diga que criou uma lista de todos os decimais. Vou mostrar que você está errado

0:03:46.166,0:03:48.220
produzindo um decimal que não está na sua lista.

0:03:48.220,0:03:50.819
Vou construir meu decimal um dígito por vez.

0:03:50.819,0:03:55.436
Para o primeiro dígito do meu número, vou olhar para o primeiro dígito decimal do seu primeiro número.

0:03:55.436,0:04:00.302
Se for um "um", colocarei no meu um "dois"; caso contrário, colocarei um "um".

0:04:00.302,0:04:04.569
Para o segundo dígito do meu número, vou olhar para o segundo dígito decimal do seu segundo número.

0:04:04.569,0:04:09.186
Novamente, se o seu for um "um", colocarei no meu um "dois", e caso contrário, colocarei no meu um "um".

0:04:09.186,0:04:13.585
Vê o que está acontecendo? O decimal que eu produzi não pode estar na sua lista.

0:04:13.585,0:04:20.737
Por quê? Poderia ser, digamos o seu 143º número? Não, pois o 143º dígito decimal do meu número

0:04:20.737,0:04:25.336
é diferente do 143º dígito do seu 143º número. Eu fiz desse jeito.

0:04:25.336,0:04:29.220
Sua lista está incompleta. Ela não contém o meu número decimal.

0:04:29.220,0:04:34.386
E, não importa qual lista você me entregue, eu posso fazer a mesmo coisa, e produzir um decimal que não esteja na lista.

0:04:34.386,0:04:37.219
Então, chegamos a esta conclusão incrível:

0:04:37.219,0:04:43.286
Os números decimais não podem ser colocados numa lista. Eles representam um infinito maior que o infinito dos números inteiros.

0:04:43.286,0:04:48.641
Então, mesmo que conheçamos somente algums irracionais, como a raíz quadrada de dois e pi,

0:04:48.641,0:04:52.176
o infinito dos irracionais é na verdade maior que o infinito das frações.

0:04:52.176,0:04:57.359
Alguém uma vez disse que os racionais — as frações — são como as estrelas do céu noturno;

0:04:57.359,0:05:01.143
os irracionais são como a escuridão;

0:05:01.143,0:05:06.943
Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito, se formarmos um novo conjunto com todos os subconjuntos do conjunto original

0:05:06.943,0:05:12.144
construimos um infinito maior que o do conjunto original. Isso quer dizer que, uma vez que se tenha um infinito,

0:05:12.144,0:05:18.276
pode-se sempre criar um maior pegando o conjunto de todos os subconjuntos do primeiro conjunto. E então um ainda maior

0:05:18.276,0:05:21.609
pegando o conjunto dos subconjuntos deste. E assim por diante.

0:05:21.609,0:05:25.625
Portanto, há uma quantidade infinita de infinitos de tamanhos diferentes.

0:05:25.625,0:05:31.092
Se essas ideias te deixam desconfortável, você não está sozinho. Alguns dos maiores matemáticos do tempo de Cantor

0:05:31.092,0:05:35.425
ficaram muito incomodados com isso. Tentaram tornar esses infinitos diferentes irrelevantes,

0:05:35.425,0:05:37.860
para fazer que a matemática funcionasse sem eles de algum jeito.

0:05:37.860,0:05:42.443
Cantor foi visto como vilão, e isso se tornou tão ruim para ele que ele sofreu de depressão severa,

0:05:42.443,0:05:45.910
e passou a última metade de sua vida entrando e saindo de instituições mentais.

0:05:45.910,0:05:51.492
Mas enfim suas ideias triunfaram. Hoje, elas são consideradas fundamentais e magníficas.

0:05:51.492,0:05:55.740
Todos matemáticso pesquisadores aceitam essas ideias, todo estudante de matemática as aprende,

0:05:55.740,0:05:58.143
E as expliquei para vocês em alguns minutos.

0:05:58.143,0:06:00.926
Algum dia, talvez, elas serão conhecimento comum.

0:06:00.926,0:06:06.006
E tem mais. Acabos de mostrar que o conjunto de números decimais — ou seja, os números reais — é um

0:06:06.006,0:06:09.660
infinito maior que o conjunto dos números inteiros. Cantor se perguntou se havia infinitos

0:06:09.660,0:06:14.125
de tamanhos diferentes entre esses dois infinitos. Ele acreditava que não, mas não conseguiu provar.

0:06:14.125,0:06:18.275
a hipótese de Cantor ficou conhecida como a hipótese do continuum.

0:06:18.275,0:06:23.959
Em 1900, o grande matemático David Hilvert listou a hipótese do continuum como o problema não resolvido

0:06:23.959,0:06:26.441
mais importante da matemática.

0:06:26.441,0:06:32.260
O século XX viu uma resolução desse problema, mas de um jeito inesperado e quebrando paradigmas.

0:06:32.260,0:06:37.892
Na década de 20, Kurt Gödel mostrou que não é possível provar a hipótese do continuum como falsa.

0:06:37.892,0:06:43.476
Depois, na década de 60, Paul J. Cohen mostrou que não é possível porvar a hipótese do continuum como verdadeira.

0:06:43.476,0:06:48.425
Em conjunto, esses resultados mostram que há perguntas na matemática pras quais não há respostas.

0:06:48.425,0:06:50.310
Uma conclusão atordoante.

0:06:50.310,0:06:53.459
Matemática é considerada o auge do raciocínio humano,

0:06:53.459,0:06:56.592
mas agora sabemos que até a matemática tem suas limitações.

0:06:56.592,0:07:00.809
Mesmo assim, matemática oferece algumas coisas impressionantes sobre o que se pensar.