Jak wielka jest nieskończoność?

Obejrzyj pełną lekcję: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

Używając podstaw teorii zbiorów, zapoznaj się z szokującą koncepcją „nieskończoności nieskończoności" i dowiedz się, jak doprowadziła ona matematyków do stwierdzenia, że matematyka stawia pytania, na które nie da się odpowiedzieć.

Lekcja: Dennis Wildfogel, animacja: Augenblick Studios.

Kiedy byłem w czwartej klasie,
nauczyciel powiedział nam:

"Liczb parzystych jest tyle samo,
co liczb w ogóle".

"Serio?" pomyślałem.

Jednych i drugich jest
nieskończenie wiele,

więc sądziłem, że to tyle samo.

Ale liczby parzyste to tylko część
zbioru liczb naturalnych,

liczb nieparzystych nie liczymy,

więc liczb naturalnych powinno być
więcej niż liczb parzystych.

Żeby zrozumieć,
co sugerował mój nauczyciel,

sprawdźmy, co to znaczy,
że dwa zbiory są równoliczne.

Co to znaczy, że mam tyle samo palców

u lewej i prawej dłoni?

Mam po pięć palców u każdej,
ale to właściwie jest jeszcze prostsze.

Nie muszę liczyć.

Wystarczy zauważyć,
że mogę je do siebie dopasować.

Niektóre starożytne ludy

mówiące językami pozbawionych
określeń dla liczb większych niż 3,

używały tego rodzaju magii.

Wypuszczając owce z zagrody,

wystarczy odkładać po kamieniu dla każdej,

i przełożyć znów je przy powrocie owiec.

Bez liczenia wiadomo, czy są wszystkie.

Oto inny przykład
porównania zamiast liczenia.

Kiedy mówię do pełnej sali,

gdzie wszystkie miejsca
są zajęte i nikt nie stoi,

to wiem, że na sali jest
tyle samo osób, co krzeseł,

choć nie wiem, ile jest jednych i drugich.

To, że dwa zbiory są tej samej
wielkości oznacza,

że elementy tych zbiorów

można jakoś do siebie dopasować.

Mój nauczyciel zapisał

liczby naturalne w rzędzie,
a pod nimi ich dwukrotności.

Niższy rząd zawierał tylko
liczby parzyste i tak powstało

dopasowanie jeden do jednego.

Liczb parzystych
jest tyle samo, co liczb w ogóle.

Ale co z kłopotliwym faktem,

że liczby parzyste to tylko część
liczb naturalnych?

Czy wtedy uznalibyście,

że mam mniej palców

u prawej niż u lewej dłoni?

Oczywiście, że nie.

Nie ma znaczenia, że nie uda się

dopasować elementów,

to nie dowiedzie niczego.

Jeśli znajdzie się sposób

na dopasowanie elementów dwóch zbiorów,

wtedy można powiedzieć,
że te dwa zbiory są takie same.

A czy da się spisać wszystkie ułamki?

To może być trudne,
ułamków jest przecież mnóstwo!

I nie do końca wiadomo od czego zacząć

albo jak ocenić,
czy wszystkie są na liście.

Jednak jest pewien sprytny sposób

na zrobienie listy wszystkich ułamków.

Po raz pierwszy dokonał tego
Georg Cantor pod koniec XIX wieku.

Najpierw trzeba utworzyć z nich siatkę.

Wszystkie tutaj są.

117/243 można znaleźć

w 117 rzędzie i 243 kolumnie.

Teraz trzeba zrobić listę,

zaczynając w lewym górnym rogu
i idąc na skos,

pomijając każdy ułamek, taki jak 2/2,

który jest równy temu,
co już zostało wybrane.

Lista wszystkich ułamków jest gotowa.

Czyli mamy dopasowanie jeden do jednego

między liczbami naturalnymi i ułamkami,

choć można pomyśleć,
że ułamków powinno być więcej.

Teraz robi się naprawdę interesująco.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste

znajdujące się na osi liczbowej
można zapisać jako ułamki.

Np. pierwiastka z dwóch albo liczby π

nie da się przedstawić w postaci ułamka,

bo są to liczby niewymierne.

Ułamki są ilorazami liczb naturalnych,

czyli liczbami wymiernymi,

wszystkie pozostałe są niewymierne.

Liczby niewymierne mają nieskończone,
nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

Czy możemy stworzyć
porównanie jeden do jeden

między liczbami naturalnymi
a ułamkami dziesiętnymi,

wymiernymi i niewymiernymi?

Czy da się spisać wszystkie
ułamki dziesiętne?

Cantor pokazał, że się nie da.

Nie dlatego, że nie ma sposobu.
Po prostu się nie da.

Przypuśćmy, że stworzono listę
wszystkich ułamków dziesiętnych.

Udowodnię, że lista jest niekompletna,

tworząc ułamek, którego na niej nie ma.

W moim ułamku będę zapełniał

kolejne miejsca po przecinku,
jedno po drugim.

Jeśli pierwsza liczba z listy
na pierwszym miejscu po przecinku

ma 1, to w mojej wstawię 2;

w przeciwnym razie, wstawię 1.

Przy drugim miejscu po przecinku

sprawdzę drugie miejsce
po przecinku drugiej liczby

I znowu, jeśli będzie to 1, ja wpiszę 2,

w przeciwnym razie wpiszę 1.

Rozumiecie, jak to działa?

Ułamka dziesiętnego, który stworzę,
nie może być na liście.

Dlaczego? Czy mogłaby to być
143 liczba z kolei?

Nie, ponieważ 143 miejsce
po przecinku mojego ułamka

różni się od 143 miejsca
po przecinku 143 liczby na liście.

Tak to urządziłem.

Ta lista jest niekompletna.

Nie ma na niej mojej liczby.

Zrobię to samo z dowolną listą

i stworzę liczbę, której na liście nie ma.

Stąd zdumiewający wniosek:

nie da się stworzyć listy
ułamków dziesiętnych.

To jeszcze większa nieskończoność
niż nieskończoność liczb naturalnych.

Nawet jeśli znamy tylko kilka
liczb niewymiernych,

jak pierwiastek z dwóch i liczbę π,

to ich nieskończoność

jest większa niż nieskończoność ułamków.

Ktoś powiedział, że liczby wymierne

- ułamki - są tak liczne,
jak gwiazdy na niebie.

Liczby niewymierne są jak ciemność.

Cantor udowodnił również,
że każdy zbiór nieskończony

jest mniej liczny

niż zbiór jego podzbiorów.

To oznacza, że mając jedną nieskończoność,

możesz zawsze mieć większą

przez stworzenie zbioru jej podzbiorów.

A potem nawet jeszcze większą,

tworząc zbiór podzbiorów tej ostatniej.

I tak dalej.

Istnieje nieskończona liczba
nieskończoności różnych rozmiarów.

Jeśli nie jesteś do końca przekonany,
to nie jesteś w tym sam.

Wielu wielkich matematyków
współczesnych Cantorowi

również nie było przekonanych.

Starali się unieważnić
te różne nieskończoności

myśląc, że matematyka
będzie działała bez nich.

Szkalowali Cantora,

przez co wpadł co skw głęboką depresję

i spędził drugą połowę życia
w szpitalach psychiatrycznych.

Ale ostatecznie to jego pomysły wygrały.

Dzisiaj uchodzą
za fundamentalne i niezwykłe.

Akceptują je wszyscy matematycy,

każdy wykładowca matematyki ich uczy,

a ja wytłumaczyłem je wam w kilka minut.

Być może pewnego dnia
będzie to wiedza powszechna.

Ale jest tego więcej.

Udowodniliśmy, że zbiór
ułamków dziesiętnych

- liczby rzeczywiste -
to większa nieskończoność

niż zbiór liczb naturalnych.

Cantor rozważał, czy między nimi

są inne nieskończoności różnych rozmiarów.

Sądził, że nie,
ale nie mógł tego udowodnić.

Przypuszczenie Cantora jest znane,
jako hipoteza continuum.

W 1900 roku wielki matematyk David Hilbert

nazwał hipotezę continuum

najważniejszym nierozwiązanym
problemem w matematyce.

W XX wieku udało się go rozwiązać,

ale w zupełnie nieoczekiwany sposób.

W latach 20. Kurt Gödel pokazał,

że nie da się zaprzeczyć
hipotezie continuum.

Później, w latach 60.
Paul J. Cohen udowodnił,

że nie da się potwierdzić
hipotezy continuum.

Razem te wyniki oznaczają,

że w matematyce istnieją
pytania bez odpowiedzi.

Szokująca konkluzja.

Matematyka jest uznawana
za szczyt możliwości ludzkiego umysłu,

ale teraz wiemy, że nawet matematyka
ma swoje ograniczenia.

Matematyka wciąż nam daje do myślenia.