Kiedy byłem w czwartej klasie, nauczyciel powiedział nam:
"Liczb parzystych jest tyle samo, co liczb w ogóle".
"Serio?" pomyślałem.
Jednych i drugich jest nieskończenie wiele,
więc sądziłem, że to tyle samo.
Ale liczby parzyste to tylko część zbioru liczb naturalnych,
liczb nieparzystych nie liczymy,
więc liczb naturalnych powinno być więcej niż liczb parzystych.
Żeby zrozumieć, co sugerował mój nauczyciel,
sprawdźmy, co to znaczy, że dwa zbiory są równoliczne.
Co to znaczy, że mam tyle samo palców
u lewej i prawej dłoni?
Mam po pięć palców u każdej, ale to właściwie jest jeszcze prostsze.
Nie muszę liczyć.
Wystarczy zauważyć, że mogę je do siebie dopasować.
Niektóre starożytne ludy
mówiące językami pozbawionych określeń dla liczb większych niż 3,
używały tego rodzaju magii.
Wypuszczając owce z zagrody,
wystarczy odkładać po kamieniu dla każdej,
i przełożyć znów je przy powrocie owiec.
Bez liczenia wiadomo, czy są wszystkie.
Oto inny przykład porównania zamiast liczenia.
Kiedy mówię do pełnej sali,
gdzie wszystkie miejsca są zajęte i nikt nie stoi,
to wiem, że na sali jest tyle samo osób, co krzeseł,
choć nie wiem, ile jest jednych i drugich.
To, że dwa zbiory są tej samej wielkości oznacza,
że elementy tych zbiorów
można jakoś do siebie dopasować.
Mój nauczyciel zapisał
liczby naturalne w rzędzie, a pod nimi ich dwukrotności.
Niższy rząd zawierał tylko liczby parzyste i tak powstało
dopasowanie jeden do jednego.
Liczb parzystych jest tyle samo, co liczb w ogóle.
Ale co z kłopotliwym faktem,
że liczby parzyste to tylko część liczb naturalnych?
Czy wtedy uznalibyście,
że mam mniej palców
u prawej niż u lewej dłoni?
Oczywiście, że nie.
Nie ma znaczenia, że nie uda się
dopasować elementów,
to nie dowiedzie niczego.
Jeśli znajdzie się sposób
na dopasowanie elementów dwóch zbiorów,
wtedy można powiedzieć, że te dwa zbiory są takie same.
A czy da się spisać wszystkie ułamki?
To może być trudne, ułamków jest przecież mnóstwo!
I nie do końca wiadomo od czego zacząć
albo jak ocenić, czy wszystkie są na liście.
Jednak jest pewien sprytny sposób
na zrobienie listy wszystkich ułamków.
Po raz pierwszy dokonał tego Georg Cantor pod koniec XIX wieku.
Najpierw trzeba utworzyć z nich siatkę.
Wszystkie tutaj są.
117/243 można znaleźć
w 117 rzędzie i 243 kolumnie.
Teraz trzeba zrobić listę,
zaczynając w lewym górnym rogu i idąc na skos,
pomijając każdy ułamek, taki jak 2/2,
który jest równy temu, co już zostało wybrane.
Lista wszystkich ułamków jest gotowa.
Czyli mamy dopasowanie jeden do jednego
między liczbami naturalnymi i ułamkami,
choć można pomyśleć, że ułamków powinno być więcej.
Teraz robi się naprawdę interesująco.
Nie wszystkie liczby rzeczywiste
znajdujące się na osi liczbowej można zapisać jako ułamki.
Np. pierwiastka z dwóch albo liczby π
nie da się przedstawić w postaci ułamka,
bo są to liczby niewymierne.
Ułamki są ilorazami liczb naturalnych,
czyli liczbami wymiernymi,
wszystkie pozostałe są niewymierne.
Liczby niewymierne mają nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.
Czy możemy stworzyć porównanie jeden do jeden
między liczbami naturalnymi a ułamkami dziesiętnymi,
wymiernymi i niewymiernymi?
Czy da się spisać wszystkie ułamki dziesiętne?
Cantor pokazał, że się nie da.
Nie dlatego, że nie ma sposobu. Po prostu się nie da.
Przypuśćmy, że stworzono listę wszystkich ułamków dziesiętnych.
Udowodnię, że lista jest niekompletna,
tworząc ułamek, którego na niej nie ma.
W moim ułamku będę zapełniał
kolejne miejsca po przecinku, jedno po drugim.
Jeśli pierwsza liczba z listy na pierwszym miejscu po przecinku
ma 1, to w mojej wstawię 2;
w przeciwnym razie, wstawię 1.
Przy drugim miejscu po przecinku
sprawdzę drugie miejsce po przecinku drugiej liczby
I znowu, jeśli będzie to 1, ja wpiszę 2,
w przeciwnym razie wpiszę 1.
Rozumiecie, jak to działa?
Ułamka dziesiętnego, który stworzę, nie może być na liście.
Dlaczego? Czy mogłaby to być 143 liczba z kolei?
Nie, ponieważ 143 miejsce po przecinku mojego ułamka
różni się od 143 miejsca po przecinku 143 liczby na liście.
Tak to urządziłem.
Ta lista jest niekompletna.
Nie ma na niej mojej liczby.
Zrobię to samo z dowolną listą
i stworzę liczbę, której na liście nie ma.
Stąd zdumiewający wniosek:
nie da się stworzyć listy ułamków dziesiętnych.
To jeszcze większa nieskończoność niż nieskończoność liczb naturalnych.
Nawet jeśli znamy tylko kilka liczb niewymiernych,
jak pierwiastek z dwóch i liczbę π,
to ich nieskończoność
jest większa niż nieskończoność ułamków.
Ktoś powiedział, że liczby wymierne
- ułamki - są tak liczne, jak gwiazdy na niebie.
Liczby niewymierne są jak ciemność.
Cantor udowodnił również, że każdy zbiór nieskończony
jest mniej liczny
niż zbiór jego podzbiorów.
To oznacza, że mając jedną nieskończoność,
możesz zawsze mieć większą
przez stworzenie zbioru jej podzbiorów.
A potem nawet jeszcze większą,
tworząc zbiór podzbiorów tej ostatniej.
I tak dalej.
Istnieje nieskończona liczba nieskończoności różnych rozmiarów.
Jeśli nie jesteś do końca przekonany, to nie jesteś w tym sam.
Wielu wielkich matematyków współczesnych Cantorowi
również nie było przekonanych.
Starali się unieważnić te różne nieskończoności
myśląc, że matematyka będzie działała bez nich.
Szkalowali Cantora,
przez co wpadł co skw głęboką depresję
i spędził drugą połowę życia w szpitalach psychiatrycznych.
Ale ostatecznie to jego pomysły wygrały.
Dzisiaj uchodzą za fundamentalne i niezwykłe.
Akceptują je wszyscy matematycy,
każdy wykładowca matematyki ich uczy,
a ja wytłumaczyłem je wam w kilka minut.
Być może pewnego dnia będzie to wiedza powszechna.
Ale jest tego więcej.
Udowodniliśmy, że zbiór ułamków dziesiętnych
- liczby rzeczywiste - to większa nieskończoność
niż zbiór liczb naturalnych.
Cantor rozważał, czy między nimi
są inne nieskończoności różnych rozmiarów.
Sądził, że nie, ale nie mógł tego udowodnić.
Przypuszczenie Cantora jest znane, jako hipoteza continuum.
W 1900 roku wielki matematyk David Hilbert
nazwał hipotezę continuum
najważniejszym nierozwiązanym problemem w matematyce.
W XX wieku udało się go rozwiązać,
ale w zupełnie nieoczekiwany sposób.
W latach 20. Kurt Gödel pokazał,
że nie da się zaprzeczyć hipotezie continuum.
Później, w latach 60. Paul J. Cohen udowodnił,
że nie da się potwierdzić hipotezy continuum.
Razem te wyniki oznaczają,
że w matematyce istnieją pytania bez odpowiedzi.
Szokująca konkluzja.
Matematyka jest uznawana za szczyt możliwości ludzkiego umysłu,
ale teraz wiemy, że nawet matematyka ma swoje ograniczenia.
Matematyka wciąż nam daje do myślenia.