WEBVTT

00:00:13.999 --> 00:00:16.722
Kiedy byłem w czwartej klasie, 
nauczyciel powiedział nam:

00:00:16.746 --> 00:00:19.275
"Liczb parzystych jest tyle samo, 
co liczb w ogóle".

00:00:19.745 --> 00:00:21.098
"Serio?" pomyślałem.

00:00:21.122 --> 00:00:23.458
Jednych i drugich jest 
nieskończenie wiele,

00:00:23.482 --> 00:00:25.878
więc sądziłem, że to tyle samo.

00:00:25.902 --> 00:00:28.933
Ale liczby parzyste to tylko część
zbioru liczb naturalnych,

00:00:28.957 --> 00:00:30.584
liczb nieparzystych nie liczymy,

00:00:30.608 --> 00:00:33.657
więc liczb naturalnych powinno być 
więcej niż liczb parzystych.

00:00:33.681 --> 00:00:35.809
Żeby zrozumieć, 
co sugerował mój nauczyciel,

00:00:35.809 --> 00:00:39.061
sprawdźmy, co to znaczy, 
że dwa zbiory są równoliczne.

00:00:39.085 --> 00:00:41.885
Co to znaczy, że mam tyle samo palców

00:00:41.909 --> 00:00:44.357
u lewej i prawej dłoni?

00:00:44.381 --> 00:00:48.015
Mam po pięć palców u każdej,
ale to właściwie jest jeszcze prostsze.

00:00:48.039 --> 00:00:49.174
Nie muszę liczyć.

00:00:49.174 --> 00:00:52.514
Wystarczy zauważyć, 
że mogę je do siebie dopasować.

00:00:52.514 --> 00:00:54.620
Niektóre starożytne ludy

00:00:54.644 --> 00:00:58.087
mówiące językami pozbawionych
określeń dla liczb większych niż 3,

00:00:58.111 --> 00:00:59.483
używały tego rodzaju magii.

00:00:59.507 --> 00:01:02.233
Wypuszczając owce z zagrody,

00:01:02.257 --> 00:01:05.938
wystarczy odkładać po kamieniu dla każdej,

00:01:05.962 --> 00:01:09.092
i przełożyć znów je przy powrocie owiec.

00:01:09.116 --> 00:01:11.909
Bez liczenia wiadomo, czy są wszystkie.

00:01:11.933 --> 00:01:15.172
Oto inny przykład 
porównania zamiast liczenia.

00:01:15.196 --> 00:01:16.843
Kiedy mówię do pełnej sali,

00:01:16.843 --> 00:01:19.667
gdzie wszystkie miejsca 
są zajęte i nikt nie stoi,

00:01:19.691 --> 00:01:23.221
to wiem, że na sali jest 
tyle samo osób, co krzeseł,

00:01:23.245 --> 00:01:25.771
choć nie wiem, ile jest jednych i drugich.

00:01:25.795 --> 00:01:28.938
To, że dwa zbiory są tej samej
wielkości oznacza,

00:01:28.962 --> 00:01:30.690
że elementy tych zbiorów

00:01:30.714 --> 00:01:32.943
można jakoś do siebie dopasować.

00:01:32.967 --> 00:01:34.634
Mój nauczyciel zapisał

00:01:34.658 --> 00:01:37.999
liczby naturalne w rzędzie, 
a pod nimi ich dwukrotności.

00:01:38.023 --> 00:01:40.892
Niższy rząd zawierał tylko 
liczby parzyste i tak powstało

00:01:40.916 --> 00:01:42.457
dopasowanie jeden do jednego.

00:01:42.481 --> 00:01:45.386
Liczb parzystych 
jest tyle samo, co liczb w ogóle.

00:01:45.410 --> 00:01:47.700
Ale co z kłopotliwym faktem,

00:01:47.724 --> 00:01:51.203
że liczby parzyste to tylko część 
liczb naturalnych?

00:01:51.227 --> 00:01:52.681
Czy wtedy uznalibyście,

00:01:52.705 --> 00:01:54.880
że mam mniej palców

00:01:54.904 --> 00:01:56.630
u prawej niż u lewej dłoni?

00:01:56.654 --> 00:01:57.694
Oczywiście, że nie.

00:01:57.694 --> 00:01:59.535
Nie ma znaczenia, że nie uda się

00:01:59.560 --> 00:02:01.729
dopasować elementów,

00:02:01.753 --> 00:02:03.515
to nie dowiedzie niczego.

00:02:03.539 --> 00:02:04.730
Jeśli znajdzie się sposób

00:02:04.754 --> 00:02:06.978
na dopasowanie elementów dwóch zbiorów,

00:02:07.002 --> 00:02:09.895
wtedy można powiedzieć, 
że te dwa zbiory są takie same.

00:02:10.472 --> 00:02:12.487
A czy da się spisać wszystkie ułamki?

00:02:12.511 --> 00:02:15.170
To może być trudne, 
ułamków jest przecież mnóstwo!

00:02:15.194 --> 00:02:17.071
I nie do końca wiadomo od czego zacząć

00:02:17.095 --> 00:02:19.238
albo jak ocenić,
czy wszystkie są na liście.

00:02:19.262 --> 00:02:21.918
Jednak jest pewien sprytny sposób

00:02:21.942 --> 00:02:24.115
na zrobienie listy wszystkich ułamków.

00:02:24.139 --> 00:02:27.985
Po raz pierwszy dokonał tego 
Georg Cantor pod koniec XIX wieku.

00:02:28.009 --> 00:02:31.017
Najpierw trzeba utworzyć z nich siatkę.

00:02:31.041 --> 00:02:32.131
Wszystkie tutaj są.

00:02:32.155 --> 00:02:35.912
117/243 można znaleźć

00:02:35.936 --> 00:02:38.996
w 117 rzędzie i 243 kolumnie.

00:02:39.020 --> 00:02:40.821
Teraz trzeba zrobić listę,

00:02:40.845 --> 00:02:44.245
zaczynając w lewym górnym rogu
i idąc na skos,

00:02:44.269 --> 00:02:46.596
pomijając każdy ułamek, taki jak 2/2,

00:02:46.620 --> 00:02:49.659
który jest równy temu, 
co już zostało wybrane.

00:02:49.683 --> 00:02:51.561
Lista wszystkich ułamków jest gotowa.

00:02:51.585 --> 00:02:53.698
Czyli mamy dopasowanie jeden do jednego

00:02:53.722 --> 00:02:55.800
między liczbami naturalnymi i ułamkami,

00:02:55.818 --> 00:02:59.199
choć można pomyśleć, 
że ułamków powinno być więcej.

00:02:59.223 --> 00:03:01.330
Teraz robi się naprawdę interesująco.

00:03:01.354 --> 00:03:03.319
Nie wszystkie liczby rzeczywiste

00:03:03.343 --> 00:03:06.491
znajdujące się na osi liczbowej
można zapisać jako ułamki.

00:03:06.515 --> 00:03:08.662
Np. pierwiastka z dwóch albo liczby π

00:03:08.686 --> 00:03:11.113
nie da się przedstawić w postaci ułamka,

00:03:11.137 --> 00:03:13.064
bo są to liczby niewymierne.

00:03:13.088 --> 00:03:16.102
Ułamki są ilorazami liczb naturalnych,

00:03:16.126 --> 00:03:17.593
czyli liczbami wymiernymi,

00:03:17.617 --> 00:03:20.828
wszystkie pozostałe są niewymierne.

00:03:20.852 --> 00:03:24.694
Liczby niewymierne mają nieskończone, 
nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

00:03:24.718 --> 00:03:26.853
Czy możemy stworzyć
porównanie jeden do jeden

00:03:26.877 --> 00:03:29.606
między liczbami naturalnymi
a ułamkami dziesiętnymi,

00:03:29.630 --> 00:03:31.518
wymiernymi i niewymiernymi?

00:03:31.542 --> 00:03:34.114
Czy da się spisać wszystkie 
ułamki dziesiętne?

00:03:34.138 --> 00:03:36.188
Cantor pokazał, że się nie da.

00:03:36.212 --> 00:03:39.509
Nie dlatego, że nie ma sposobu. 
Po prostu się nie da.

00:03:40.045 --> 00:03:43.900
Przypuśćmy, że stworzono listę 
wszystkich ułamków dziesiętnych.

00:03:43.924 --> 00:03:46.142
Udowodnię, że lista jest niekompletna,

00:03:46.166 --> 00:03:48.452
tworząc ułamek, którego na niej nie ma.

00:03:48.476 --> 00:03:50.795
W moim ułamku będę zapełniał

00:03:50.819 --> 00:03:53.144
kolejne miejsca po przecinku,
jedno po drugim.

00:03:53.170 --> 00:03:56.566
Jeśli pierwsza liczba z listy 
na pierwszym miejscu po przecinku

00:03:56.566 --> 00:03:58.414
ma 1, to w mojej wstawię 2;

00:03:58.432 --> 00:04:00.388
w przeciwnym razie, wstawię 1.

00:04:00.412 --> 00:04:02.520
Przy drugim miejscu po przecinku

00:04:02.544 --> 00:04:05.021
sprawdzę drugie miejsce 
po przecinku drugiej liczby

00:04:05.045 --> 00:04:07.560
I znowu, jeśli będzie to 1, ja wpiszę 2,

00:04:07.584 --> 00:04:09.894
w przeciwnym razie wpiszę 1.

00:04:09.918 --> 00:04:11.221
Rozumiecie, jak to działa?

00:04:11.245 --> 00:04:14.220
Ułamka dziesiętnego, który stworzę,
nie może być na liście.

00:04:14.244 --> 00:04:17.531
Dlaczego? Czy mogłaby to być 
143 liczba z kolei?

00:04:17.555 --> 00:04:20.713
Nie, ponieważ 143 miejsce 
po przecinku mojego ułamka

00:04:20.737 --> 00:04:24.374
różni się od 143 miejsca 
po przecinku 143 liczby na liście.

00:04:24.398 --> 00:04:25.965
Tak to urządziłem.

00:04:25.989 --> 00:04:27.466
Ta lista jest niekompletna.

00:04:27.490 --> 00:04:29.484
Nie ma na niej mojej liczby.

00:04:29.508 --> 00:04:32.413
Zrobię to samo z dowolną listą

00:04:32.437 --> 00:04:34.650
i stworzę liczbę, której na liście nie ma.

00:04:34.674 --> 00:04:37.195
Stąd zdumiewający wniosek:

00:04:37.219 --> 00:04:40.084
nie da się stworzyć listy 
ułamków dziesiętnych.

00:04:40.108 --> 00:04:44.026
To jeszcze większa nieskończoność 
niż nieskończoność liczb naturalnych.

00:04:44.050 --> 00:04:46.812
Nawet jeśli znamy tylko kilka 
liczb niewymiernych,

00:04:46.836 --> 00:04:48.617
jak pierwiastek z dwóch i liczbę π,

00:04:48.641 --> 00:04:50.134
to ich nieskończoność

00:04:50.158 --> 00:04:52.594
jest większa niż nieskończoność ułamków.

00:04:52.618 --> 00:04:54.387
Ktoś powiedział, że liczby wymierne

00:04:54.411 --> 00:04:57.335
- ułamki - są tak liczne, 
jak gwiazdy na niebie.

00:04:57.998 --> 00:05:01.119
Liczby niewymierne są jak ciemność.

00:05:01.143 --> 00:05:03.664
Cantor udowodnił również, 
że każdy zbiór nieskończony

00:05:03.688 --> 00:05:07.094
jest mniej liczny

00:05:07.118 --> 00:05:10.386
niż zbiór jego podzbiorów.

00:05:10.410 --> 00:05:12.459
To oznacza, że mając jedną nieskończoność,

00:05:12.483 --> 00:05:14.041
możesz zawsze mieć większą

00:05:14.065 --> 00:05:16.790
przez stworzenie zbioru jej podzbiorów.

00:05:16.790 --> 00:05:18.406
A potem nawet jeszcze większą,

00:05:18.430 --> 00:05:20.739
tworząc zbiór podzbiorów tej ostatniej.

00:05:20.763 --> 00:05:21.989
I tak dalej.

00:05:22.013 --> 00:05:25.601
Istnieje nieskończona liczba 
nieskończoności różnych rozmiarów.

00:05:25.625 --> 00:05:29.090
Jeśli nie jesteś do końca przekonany, 
to nie jesteś w tym sam.

00:05:29.114 --> 00:05:31.505
Wielu wielkich matematyków 
współczesnych Cantorowi

00:05:31.529 --> 00:05:33.053
również nie było przekonanych.

00:05:33.077 --> 00:05:35.697
Starali się unieważnić 
te różne nieskończoności

00:05:35.721 --> 00:05:38.013
myśląc, że matematyka 
będzie działała bez nich.

00:05:38.037 --> 00:05:40.070
Szkalowali Cantora,

00:05:40.094 --> 00:05:42.999
przez co wpadł co skw głęboką depresję

00:05:43.023 --> 00:05:46.309
i spędził drugą połowę życia 
w szpitalach psychiatrycznych.

00:05:46.333 --> 00:05:48.662
Ale ostatecznie to jego pomysły wygrały.

00:05:48.686 --> 00:05:51.644
Dzisiaj uchodzą 
za fundamentalne i niezwykłe.

00:05:51.668 --> 00:05:54.245
Akceptują je wszyscy matematycy,

00:05:54.269 --> 00:05:56.064
każdy wykładowca matematyki ich uczy,

00:05:56.088 --> 00:05:58.327
a ja wytłumaczyłem je wam w kilka minut.

00:05:58.351 --> 00:06:00.844
Być może pewnego dnia 
będzie to wiedza powszechna.

00:06:00.868 --> 00:06:02.042
Ale jest tego więcej.

00:06:02.066 --> 00:06:04.496
Udowodniliśmy, że zbiór 
ułamków dziesiętnych

00:06:04.520 --> 00:06:06.970
- liczby rzeczywiste - 
to większa nieskończoność

00:06:06.994 --> 00:06:08.429
niż zbiór liczb naturalnych.

00:06:08.453 --> 00:06:10.530
Cantor rozważał, czy między nimi

00:06:10.530 --> 00:06:12.794
są inne nieskończoności różnych rozmiarów.

00:06:12.818 --> 00:06:15.315
Sądził, że nie, 
ale nie mógł tego udowodnić.

00:06:15.339 --> 00:06:19.340
Przypuszczenie Cantora jest znane, 
jako hipoteza continuum.

00:06:19.402 --> 00:06:21.859
W 1900 roku wielki matematyk David Hilbert

00:06:21.883 --> 00:06:23.634
nazwał hipotezę continuum

00:06:23.658 --> 00:06:26.417
najważniejszym nierozwiązanym
problemem w matematyce.

00:06:26.441 --> 00:06:29.254
W XX wieku udało się go rozwiązać,

00:06:29.278 --> 00:06:32.236
ale w zupełnie nieoczekiwany sposób.

00:06:32.942 --> 00:06:34.899
W latach 20. Kurt Gödel pokazał,

00:06:34.923 --> 00:06:37.923
że nie da się zaprzeczyć
hipotezie continuum.

00:06:37.947 --> 00:06:41.003
Później, w latach 60. 
Paul J. Cohen udowodnił,

00:06:41.027 --> 00:06:44.027
że nie da się potwierdzić
hipotezy continuum.

00:06:44.051 --> 00:06:46.200
Razem te wyniki oznaczają,

00:06:46.224 --> 00:06:48.748
że w matematyce istnieją 
pytania bez odpowiedzi.

00:06:48.772 --> 00:06:50.286
Szokująca konkluzja.

00:06:50.310 --> 00:06:53.432
Matematyka jest uznawana 
za szczyt możliwości ludzkiego umysłu,

00:06:53.462 --> 00:06:57.048
ale teraz wiemy, że nawet matematyka 
ma swoje ograniczenia.

00:06:57.087 --> 00:07:00.545
Matematyka wciąż nam daje do myślenia.