1
00:00:13,999 --> 00:00:16,722
Kiedy byłem w czwartej klasie, 
nauczyciel powiedział nam:

2
00:00:16,746 --> 00:00:19,275
"Liczb parzystych jest tyle samo, 
co liczb w ogóle".

3
00:00:19,745 --> 00:00:21,098
"Serio?" pomyślałem.

4
00:00:21,122 --> 00:00:23,458
Jednych i drugich jest 
nieskończenie wiele,

5
00:00:23,482 --> 00:00:25,878
więc sądziłem, że to tyle samo.

6
00:00:25,902 --> 00:00:28,933
Ale liczby parzyste to tylko część
zbioru liczb naturalnych,

7
00:00:28,957 --> 00:00:30,584
liczb nieparzystych nie liczymy,

8
00:00:30,608 --> 00:00:33,657
więc liczb naturalnych powinno być 
więcej niż liczb parzystych.

9
00:00:33,681 --> 00:00:35,809
Żeby zrozumieć, 
co sugerował mój nauczyciel,

10
00:00:35,809 --> 00:00:39,061
sprawdźmy, co to znaczy, 
że dwa zbiory są równoliczne.

11
00:00:39,085 --> 00:00:41,885
Co to znaczy, że mam tyle samo palców

12
00:00:41,909 --> 00:00:44,357
u lewej i prawej dłoni?

13
00:00:44,381 --> 00:00:48,015
Mam po pięć palców u każdej,
ale to właściwie jest jeszcze prostsze.

14
00:00:48,039 --> 00:00:49,174
Nie muszę liczyć.

15
00:00:49,174 --> 00:00:52,514
Wystarczy zauważyć, 
że mogę je do siebie dopasować.

16
00:00:52,514 --> 00:00:54,620
Niektóre starożytne ludy

17
00:00:54,644 --> 00:00:58,087
mówiące językami pozbawionych
określeń dla liczb większych niż 3,

18
00:00:58,111 --> 00:00:59,483
używały tego rodzaju magii.

19
00:00:59,507 --> 00:01:02,233
Wypuszczając owce z zagrody,

20
00:01:02,257 --> 00:01:05,938
wystarczy odkładać po kamieniu dla każdej,

21
00:01:05,962 --> 00:01:09,092
i przełożyć znów je przy powrocie owiec.

22
00:01:09,116 --> 00:01:11,909
Bez liczenia wiadomo, czy są wszystkie.

23
00:01:11,933 --> 00:01:15,172
Oto inny przykład 
porównania zamiast liczenia.

24
00:01:15,196 --> 00:01:16,843
Kiedy mówię do pełnej sali,

25
00:01:16,843 --> 00:01:19,667
gdzie wszystkie miejsca 
są zajęte i nikt nie stoi,

26
00:01:19,691 --> 00:01:23,221
to wiem, że na sali jest 
tyle samo osób, co krzeseł,

27
00:01:23,245 --> 00:01:25,771
choć nie wiem, ile jest jednych i drugich.

28
00:01:25,795 --> 00:01:28,938
To, że dwa zbiory są tej samej
wielkości oznacza,

29
00:01:28,962 --> 00:01:30,690
że elementy tych zbiorów

30
00:01:30,714 --> 00:01:32,943
można jakoś do siebie dopasować.

31
00:01:32,967 --> 00:01:34,634
Mój nauczyciel zapisał

32
00:01:34,658 --> 00:01:37,999
liczby naturalne w rzędzie, 
a pod nimi ich dwukrotności.

33
00:01:38,023 --> 00:01:40,892
Niższy rząd zawierał tylko 
liczby parzyste i tak powstało

34
00:01:40,916 --> 00:01:42,457
dopasowanie jeden do jednego.

35
00:01:42,481 --> 00:01:45,386
Liczb parzystych 
jest tyle samo, co liczb w ogóle.

36
00:01:45,410 --> 00:01:47,700
Ale co z kłopotliwym faktem,

37
00:01:47,724 --> 00:01:51,203
że liczby parzyste to tylko część 
liczb naturalnych?

38
00:01:51,227 --> 00:01:52,681
Czy wtedy uznalibyście,

39
00:01:52,705 --> 00:01:54,880
że mam mniej palców

40
00:01:54,904 --> 00:01:56,630
u prawej niż u lewej dłoni?

41
00:01:56,654 --> 00:01:57,694
Oczywiście, że nie.

42
00:01:57,694 --> 00:01:59,535
Nie ma znaczenia, że nie uda się

43
00:01:59,560 --> 00:02:01,729
dopasować elementów,

44
00:02:01,753 --> 00:02:03,515
to nie dowiedzie niczego.

45
00:02:03,539 --> 00:02:04,730
Jeśli znajdzie się sposób

46
00:02:04,754 --> 00:02:06,978
na dopasowanie elementów dwóch zbiorów,

47
00:02:07,002 --> 00:02:09,895
wtedy można powiedzieć, 
że te dwa zbiory są takie same.

48
00:02:10,472 --> 00:02:12,487
A czy da się spisać wszystkie ułamki?

49
00:02:12,511 --> 00:02:15,170
To może być trudne, 
ułamków jest przecież mnóstwo!

50
00:02:15,194 --> 00:02:17,071
I nie do końca wiadomo od czego zacząć

51
00:02:17,095 --> 00:02:19,238
albo jak ocenić,
czy wszystkie są na liście.

52
00:02:19,262 --> 00:02:21,918
Jednak jest pewien sprytny sposób

53
00:02:21,942 --> 00:02:24,115
na zrobienie listy wszystkich ułamków.

54
00:02:24,139 --> 00:02:27,985
Po raz pierwszy dokonał tego 
Georg Cantor pod koniec XIX wieku.

55
00:02:28,009 --> 00:02:31,017
Najpierw trzeba utworzyć z nich siatkę.

56
00:02:31,041 --> 00:02:32,131
Wszystkie tutaj są.

57
00:02:32,155 --> 00:02:35,912
117/243 można znaleźć

58
00:02:35,936 --> 00:02:38,996
w 117 rzędzie i 243 kolumnie.

59
00:02:39,020 --> 00:02:40,821
Teraz trzeba zrobić listę,

60
00:02:40,845 --> 00:02:44,245
zaczynając w lewym górnym rogu
i idąc na skos,

61
00:02:44,269 --> 00:02:46,596
pomijając każdy ułamek, taki jak 2/2,

62
00:02:46,620 --> 00:02:49,659
który jest równy temu, 
co już zostało wybrane.

63
00:02:49,683 --> 00:02:51,561
Lista wszystkich ułamków jest gotowa.

64
00:02:51,585 --> 00:02:53,698
Czyli mamy dopasowanie jeden do jednego

65
00:02:53,722 --> 00:02:55,800
między liczbami naturalnymi i ułamkami,

66
00:02:55,818 --> 00:02:59,199
choć można pomyśleć, 
że ułamków powinno być więcej.

67
00:02:59,223 --> 00:03:01,330
Teraz robi się naprawdę interesująco.

68
00:03:01,354 --> 00:03:03,319
Nie wszystkie liczby rzeczywiste

69
00:03:03,343 --> 00:03:06,491
znajdujące się na osi liczbowej
można zapisać jako ułamki.

70
00:03:06,515 --> 00:03:08,662
Np. pierwiastka z dwóch albo liczby π

71
00:03:08,686 --> 00:03:11,113
nie da się przedstawić w postaci ułamka,

72
00:03:11,137 --> 00:03:13,064
bo są to liczby niewymierne.

73
00:03:13,088 --> 00:03:16,102
Ułamki są ilorazami liczb naturalnych,

74
00:03:16,126 --> 00:03:17,593
czyli liczbami wymiernymi,

75
00:03:17,617 --> 00:03:20,828
wszystkie pozostałe są niewymierne.

76
00:03:20,852 --> 00:03:24,694
Liczby niewymierne mają nieskończone, 
nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

77
00:03:24,718 --> 00:03:26,853
Czy możemy stworzyć
porównanie jeden do jeden

78
00:03:26,877 --> 00:03:29,606
między liczbami naturalnymi
a ułamkami dziesiętnymi,

79
00:03:29,630 --> 00:03:31,518
wymiernymi i niewymiernymi?

80
00:03:31,542 --> 00:03:34,114
Czy da się spisać wszystkie 
ułamki dziesiętne?

81
00:03:34,138 --> 00:03:36,188
Cantor pokazał, że się nie da.

82
00:03:36,212 --> 00:03:39,509
Nie dlatego, że nie ma sposobu. 
Po prostu się nie da.

83
00:03:40,045 --> 00:03:43,900
Przypuśćmy, że stworzono listę 
wszystkich ułamków dziesiętnych.

84
00:03:43,924 --> 00:03:46,142
Udowodnię, że lista jest niekompletna,

85
00:03:46,166 --> 00:03:48,452
tworząc ułamek, którego na niej nie ma.

86
00:03:48,476 --> 00:03:50,795
W moim ułamku będę zapełniał

87
00:03:50,819 --> 00:03:53,144
kolejne miejsca po przecinku,
jedno po drugim.

88
00:03:53,170 --> 00:03:56,566
Jeśli pierwsza liczba z listy 
na pierwszym miejscu po przecinku

89
00:03:56,566 --> 00:03:58,414
ma 1, to w mojej wstawię 2;

90
00:03:58,432 --> 00:04:00,388
w przeciwnym razie, wstawię 1.

91
00:04:00,412 --> 00:04:02,520
Przy drugim miejscu po przecinku

92
00:04:02,544 --> 00:04:05,021
sprawdzę drugie miejsce 
po przecinku drugiej liczby

93
00:04:05,045 --> 00:04:07,560
I znowu, jeśli będzie to 1, ja wpiszę 2,

94
00:04:07,584 --> 00:04:09,894
w przeciwnym razie wpiszę 1.

95
00:04:09,918 --> 00:04:11,221
Rozumiecie, jak to działa?

96
00:04:11,245 --> 00:04:14,220
Ułamka dziesiętnego, który stworzę,
nie może być na liście.

97
00:04:14,244 --> 00:04:17,531
Dlaczego? Czy mogłaby to być 
143 liczba z kolei?

98
00:04:17,555 --> 00:04:20,713
Nie, ponieważ 143 miejsce 
po przecinku mojego ułamka

99
00:04:20,737 --> 00:04:24,374
różni się od 143 miejsca 
po przecinku 143 liczby na liście.

100
00:04:24,398 --> 00:04:25,965
Tak to urządziłem.

101
00:04:25,989 --> 00:04:27,466
Ta lista jest niekompletna.

102
00:04:27,490 --> 00:04:29,484
Nie ma na niej mojej liczby.

103
00:04:29,508 --> 00:04:32,413
Zrobię to samo z dowolną listą

104
00:04:32,437 --> 00:04:34,650
i stworzę liczbę, której na liście nie ma.

105
00:04:34,674 --> 00:04:37,195
Stąd zdumiewający wniosek:

106
00:04:37,219 --> 00:04:40,084
nie da się stworzyć listy 
ułamków dziesiętnych.

107
00:04:40,108 --> 00:04:44,026
To jeszcze większa nieskończoność 
niż nieskończoność liczb naturalnych.

108
00:04:44,050 --> 00:04:46,812
Nawet jeśli znamy tylko kilka 
liczb niewymiernych,

109
00:04:46,836 --> 00:04:48,617
jak pierwiastek z dwóch i liczbę π,

110
00:04:48,641 --> 00:04:50,134
to ich nieskończoność

111
00:04:50,158 --> 00:04:52,594
jest większa niż nieskończoność ułamków.

112
00:04:52,618 --> 00:04:54,387
Ktoś powiedział, że liczby wymierne

113
00:04:54,411 --> 00:04:57,335
- ułamki - są tak liczne, 
jak gwiazdy na niebie.

114
00:04:57,998 --> 00:05:01,119
Liczby niewymierne są jak ciemność.

115
00:05:01,143 --> 00:05:03,664
Cantor udowodnił również, 
że każdy zbiór nieskończony

116
00:05:03,688 --> 00:05:07,094
jest mniej liczny

117
00:05:07,118 --> 00:05:10,386
niż zbiór jego podzbiorów.

118
00:05:10,410 --> 00:05:12,459
To oznacza, że mając jedną nieskończoność,

119
00:05:12,483 --> 00:05:14,041
możesz zawsze mieć większą

120
00:05:14,065 --> 00:05:16,790
przez stworzenie zbioru jej podzbiorów.

121
00:05:16,790 --> 00:05:18,406
A potem nawet jeszcze większą,

122
00:05:18,430 --> 00:05:20,739
tworząc zbiór podzbiorów tej ostatniej.

123
00:05:20,763 --> 00:05:21,989
I tak dalej.

124
00:05:22,013 --> 00:05:25,601
Istnieje nieskończona liczba 
nieskończoności różnych rozmiarów.

125
00:05:25,625 --> 00:05:29,090
Jeśli nie jesteś do końca przekonany, 
to nie jesteś w tym sam.

126
00:05:29,114 --> 00:05:31,505
Wielu wielkich matematyków 
współczesnych Cantorowi

127
00:05:31,529 --> 00:05:33,053
również nie było przekonanych.

128
00:05:33,077 --> 00:05:35,697
Starali się unieważnić 
te różne nieskończoności

129
00:05:35,721 --> 00:05:38,013
myśląc, że matematyka 
będzie działała bez nich.

130
00:05:38,037 --> 00:05:40,070
Szkalowali Cantora,

131
00:05:40,094 --> 00:05:42,999
przez co wpadł co skw głęboką depresję

132
00:05:43,023 --> 00:05:46,309
i spędził drugą połowę życia 
w szpitalach psychiatrycznych.

133
00:05:46,333 --> 00:05:48,662
Ale ostatecznie to jego pomysły wygrały.

134
00:05:48,686 --> 00:05:51,644
Dzisiaj uchodzą 
za fundamentalne i niezwykłe.

135
00:05:51,668 --> 00:05:54,245
Akceptują je wszyscy matematycy,

136
00:05:54,269 --> 00:05:56,064
każdy wykładowca matematyki ich uczy,

137
00:05:56,088 --> 00:05:58,327
a ja wytłumaczyłem je wam w kilka minut.

138
00:05:58,351 --> 00:06:00,844
Być może pewnego dnia 
będzie to wiedza powszechna.

139
00:06:00,868 --> 00:06:02,042
Ale jest tego więcej.

140
00:06:02,066 --> 00:06:04,496
Udowodniliśmy, że zbiór 
ułamków dziesiętnych

141
00:06:04,520 --> 00:06:06,970
- liczby rzeczywiste - 
to większa nieskończoność

142
00:06:06,994 --> 00:06:08,429
niż zbiór liczb naturalnych.

143
00:06:08,453 --> 00:06:10,530
Cantor rozważał, czy między nimi

144
00:06:10,530 --> 00:06:12,794
są inne nieskończoności różnych rozmiarów.

145
00:06:12,818 --> 00:06:15,315
Sądził, że nie, 
ale nie mógł tego udowodnić.

146
00:06:15,339 --> 00:06:19,340
Przypuszczenie Cantora jest znane, 
jako hipoteza continuum.

147
00:06:19,402 --> 00:06:21,859
W 1900 roku wielki matematyk David Hilbert

148
00:06:21,883 --> 00:06:23,634
nazwał hipotezę continuum

149
00:06:23,658 --> 00:06:26,417
najważniejszym nierozwiązanym
problemem w matematyce.

150
00:06:26,441 --> 00:06:29,254
W XX wieku udało się go rozwiązać,

151
00:06:29,278 --> 00:06:32,236
ale w zupełnie nieoczekiwany sposób.

152
00:06:32,942 --> 00:06:34,899
W latach 20. Kurt Gödel pokazał,

153
00:06:34,923 --> 00:06:37,923
że nie da się zaprzeczyć
hipotezie continuum.

154
00:06:37,947 --> 00:06:41,003
Później, w latach 60. 
Paul J. Cohen udowodnił,

155
00:06:41,027 --> 00:06:44,027
że nie da się potwierdzić
hipotezy continuum.

156
00:06:44,051 --> 00:06:46,200
Razem te wyniki oznaczają,

157
00:06:46,224 --> 00:06:48,748
że w matematyce istnieją 
pytania bez odpowiedzi.

158
00:06:48,772 --> 00:06:50,286
Szokująca konkluzja.

159
00:06:50,310 --> 00:06:53,432
Matematyka jest uznawana 
za szczyt możliwości ludzkiego umysłu,

160
00:06:53,462 --> 00:06:57,048
ale teraz wiemy, że nawet matematyka 
ma swoje ograniczenia.

161
00:06:57,087 --> 00:07:00,545
Matematyka wciąż nam daje do myślenia.