Quanto è grande l'infinito?

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Usando la teoria degli insiemi, esplora il complicato concetto di "infinità degli infiniti", e di come abbia condotto i matematici a concludere che la matematica stessa contenga delle domande senza risposte.

Lezione di Dennis Wildfogel, animazione di Augenblick Studios.

Quando ero in quarta elementare, un giorno il maestro ci disse:

"Ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri."

"Davvero?", pensai. Bè, sono infiniti entrambi, quindi suppongo ce ne sia lo stesso numero totale.

Ma, d'altra parte, i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi, tutti i numeri dispari sono esclusi,

quindi ci devono essere più numeri interi che numeri pari, giusto?

Per vedere dove il maestro volesse arrivare, pensiamo innanzitutto cosa voglia dire per due insiemi avere la stessa grandezza.

Cosa intendo quando dico che ho lo stesso numero di dita nella mano destra e nella mano sinistra?

Naturalmente, ne ho cinque su ognuna, ma in realtà è ancora più semplice di così.

Non devo contare, ho solo bisogno di vedere che corrispondono una a una.

Infatti, si pensa che alcune popolazioni antiche non avessero parole per indicare

numeri più grandi del tre e che utilizzassero un qualche tipo di magia. Per esempio, se lasciamo pascolare le pecore fuori da un recinto,

possiamo tenere traccia di quante escano posando ogni volta una pietra da parte,

e poi mettendo via le pietre una a una man mano che le pecore rientrano,

così sappiamo se ne mancano senza doverle contare.

Vediamo un altro esempio di quanto la corrispondenza sia fondamentale più del contare,

Se parlo a una sala gremita, dove tutti i posti sono occupati e nessuno è in piedi,

so che ci sono lo stesso numero di sedie quante sono le persone del pubblico,

pur non conoscendone il numero esatto.

Allora, dicendo che due insiemi hanno la stessa dimensione intendiamo

che gli elementi di tali insiemi possano in qualche modo corrispondere uno a uno.

Il maestro di quarta elementare ci mostrò i numeri interi in fila e sotto ogni numero mise il suo doppio.

Come potete vedere, la riga in basso contiene tutti i numeri pari, e c'è una corrispondenza uno a uno.

Dunque, ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri.

Eppure ci infastidisce ancora il pensiero che i numeri pari possano essere solo una parte dei numeri interi.

Ma questo vi spinge forse a pensare che la mia mano destra non abbia lo stesso numero di dita della sinistra?

No di certo. Non importa se cerchiamo di far corrispondere gli elementi in un modo che non funziona,

questo non ci convince di nulla.

Se si riesce a trovare un modo in cui gli elementi di due insiemi corrispondono,

allora diciamo che questi due insiemi hanno lo stesso numero di elementi.

Possiamo fare una lista di tutte le frazioni? Potrebbe essere difficile, ci sono una miriade di frazioni!

E non è ovvio quali mettere per prime, o come accertarsi che ci siano tutte nella lista.

Eppure c'è un metodo ingegnoso per fare un elenco di tutte le frazioni.

Il primo a usarlo fu Georg Cantor, a fine Ottocento.

In primo luogo, abbiamo messo tutte le frazioni in una griglia. Ci sono tutte. Per esempio, abbiamo 117/243,

riga 117, colonna 223.

Ora da questa stiliamo un elenco partendo da in alto a sinistra e scorrendo avanti e indietro in diagonale,

saltando tutte le frazioni che come 2/2 rappresentano un numero già inserito.

Così abbiamo una lista di tutte le frazioni, in altre parole abbiamo creato una corrispondenza uno a uno

tra i numeri interi e le frazioni, nonostante pensassimo che ci dovessero essere più frazioni.

Ok, qui si fa tutto molto interessante.

Come forse sapete, non tutti i numeri reali, ovvero non tutti i numeri su una retta, sono frazioni.

Per esempio, l'elevazione al quadrato e il pi greco .

Questo tipo di numeri sono chiamati irrazionali. Non perché siano pazzi, o altro, ma perché le frazioni sono

rapporti di numeri interi, e perciò si chiamano razionali, ne consegue che i restanti siano non-razionali, ovvero irrazionali.

I numeri irrazionali sono rappresentati da decimali infiniti e aperiodici.

Allora possiamo creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e l'insieme di tutti i decimali,

sia i razionali che gli irrazionali? Ovvero, si può creare una lista di tutti i numeri decimali?

Candor ha dimostrato che non è possibile. Non solo che non si sa come farlo, ma che proprio non può essere fatto.

Per esempio, supponiamo di aver creato una lista di tutti i decimali. Vi dimosterò che il tentativo è fallito,

producendo un decimale che non è nella lista.

Costruisco il mio decimale in un punto alla volta.

Per la prima cifra decimale del mio numero, prendo la prima cifra decimale del primo numero nella lista.

Se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

Per la seconda cifra del mio numero, prendo la seconda cifra del secondo numero nella lista.

Ancora, se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

Vedete cosa succede? il decimale che ho creato non può essere nella lista.

Perché? Potrebbe essere il 143° numero? No, perché il 143° posto del mio decimale

è diverso dal 143° posto del 143° numero della lista. Ho fatto così.

La lista è incompleta. Non contiene il mio numero decimale.

E, non ha importanza quale lista creiate, posso fare la stessa cosa, e produrre un decimale che non è su quella lista.

Così ci troviamo di fronte a una conclusione sorprendente:

i numeri decimali non possono essere elencati: rappresentano un infinito più grande dell'infinità di tutti i numeri.

Quindi, anche se conosciamo qualche numero irrazionale, come la radice quadrata di due e il "p" greco,

l'infinità dei numeri irrazionali è anche più grande dell'infinità delle frazioni.

Una volta qualcuno disse che i numeri razionali - le frazioni - sono come le stelle in un cielo stellato:

i numeri irrazionali sono come l'oscurità.

Cantor dimostrò anche che, per ogni gruppo di numeri infiniti, formare un nuovo gruppo composto da ogni sotto gruppo del gruppo originale

rappresenta un'infinità maggiore del gruppo originale. Questo significa che, una volta ottenuta una infinità,

puoi sempre ottenerne una più grande componendo un gruppo di tutti i sottogruppi di quel primo gruppo. E anche uno più grande

combinando il gruppo di tutti i sottogruppi del primo. E così via.

Quindi, vi sono infiniti numeri di infinite grandezze differenti.

Se questa idea vi rende inquieti, non siete i soli. Alcuni dei più grandi matematici del periodo di Cantor

erano irritati da questa cosa. Provarono a rendere questi differenti infiniti irrilevanti,

per far lavorar i matematici senza di essi.

Cantor si avvili personalmente e stette talmente male che soffri di una depressione profonda

e passò l'ultima metà della sua vita dentro e fuori da ospedali psichiatrici.

Ma alla fine le sue idee vinsero. Oggi sono considerate fondamentali e magnifiche.

Tutti i ricercatori matematici le accettano al giorno d'oggi, tutti gli studenti universitari le imparano,

e io ve le ho spiegate in qualche minuto.

Un giorno forse, saranno conosciute da tutti.

C'è di più. Abbiamo solo accennato che il gruppo di numeri decimali - che sono i numeri reali - è

una infinità più grande del gruppo di tutti i numeri. Candor si chiedeva se vi sono infinità

di grandezze differenti tra queste due infinità. Non credeva ve ne fossero, ma poté provarlo.

La congettura di Candor divenne nota come l'ipotesi del continuo.

Nel 1900 il grande matematico David Hilbert postulò che l'ipotesi del continuo fosse il più importante

problema non risolto della matematica.

Il 20esimo secolo vide la soluzione di questo problema ma in una maniera completamente inaspettata che distrusse il paradigma iniziale.

Negli anni Venti, Kurt Gödel dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo è falsa.

Poi negli anni Sessanta, Paul J. Cohen dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo sia vera.

Considerati insieme, questi risultati significano che vi sono delle domande della matematica senza risposta.

Una conclusione stupefacente.

La matematica è considerata a ragione il picco del ragionamento umano

ma adesso sappiamo anche che anche la matematica ha dei limiti.

Tuttavia, la matematica ci offre ancora cose veramente meravigliose su cui riflettere.