WEBVTT

00:00:14.023 --> 00:00:16.382
Quando ero in quarta elementare, un giorno il maestro ci disse:

00:00:16.382 --> 00:00:19.299
"Ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri."

00:00:19.299 --> 00:00:25.264
"Davvero?", pensai. Bè, sono infiniti entrambi, quindi suppongo ce ne sia lo stesso numero totale.

00:00:25.264 --> 00:00:30.315
Ma, d'altra parte, i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi, tutti i numeri dispari sono esclusi,

00:00:30.315 --> 00:00:33.082
quindi ci devono essere più numeri interi che numeri pari, giusto?

00:00:33.082 --> 00:00:38.732
Per vedere dove il maestro volesse arrivare, pensiamo innanzitutto cosa voglia dire per due insiemi avere la stessa grandezza.

00:00:38.732 --> 00:00:44.298
Cosa intendo quando dico che ho lo stesso numero di dita nella mano destra e nella mano sinistra?

00:00:44.298 --> 00:00:47.881
Naturalmente, ne ho cinque su ognuna, ma in realtà è ancora più semplice di così.

00:00:47.881 --> 00:00:52.514
Non devo contare, ho solo bisogno di vedere che corrispondono una a una.

00:00:52.514 --> 00:00:56.265
Infatti, si pensa che alcune popolazioni antiche non avessero parole per indicare

00:00:56.265 --> 00:01:02.264
numeri più grandi del tre e che utilizzassero un qualche tipo di magia. Per esempio, se lasciamo pascolare le pecore fuori da un recinto,

00:01:02.264 --> 00:01:05.782
possiamo tenere traccia di quante escano posando ogni volta una pietra da parte,

00:01:05.782 --> 00:01:09.116
e poi mettendo via le pietre una a una man mano che le pecore rientrano,

00:01:09.116 --> 00:01:11.933
così sappiamo se ne mancano senza doverle contare.

00:01:11.933 --> 00:01:15.165
Vediamo un altro esempio di quanto la corrispondenza sia fondamentale più del contare,

00:01:15.165 --> 00:01:19.665
Se parlo a una sala gremita, dove tutti i posti sono occupati e nessuno è in piedi,

00:01:19.665 --> 00:01:23.199
so che ci sono lo stesso numero di sedie quante sono le persone del pubblico,

00:01:23.199 --> 00:01:25.725
pur non conoscendone il numero esatto.

00:01:25.756 --> 00:01:28.440
Allora, dicendo che due insiemi hanno la stessa dimensione intendiamo

00:01:28.440 --> 00:01:32.578
che gli elementi di tali insiemi possano in qualche modo corrispondere uno a uno.

00:01:32.578 --> 00:01:37.544
Il maestro di quarta elementare ci mostrò i numeri interi in fila e sotto ogni numero mise il suo doppio.

00:01:37.544 --> 00:01:42.481
Come potete vedere, la riga in basso contiene tutti i numeri pari, e c'è una corrispondenza uno a uno.

00:01:42.481 --> 00:01:45.341
Dunque, ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri.

00:01:45.341 --> 00:01:50.791
Eppure ci infastidisce ancora il pensiero che i numeri pari possano essere solo una parte dei numeri interi.

00:01:50.791 --> 00:01:56.474
Ma questo vi spinge forse a pensare che la mia mano destra non abbia lo stesso numero di dita della sinistra?

00:01:56.474 --> 00:02:00.666
No di certo. Non importa se cerchiamo di far corrispondere gli elementi in un modo che non funziona,

00:02:00.666 --> 00:02:02.565
questo non ci convince di nulla.

00:02:02.565 --> 00:02:06.317
Se si riesce a trovare un modo in cui gli elementi di due insiemi corrispondono,

00:02:06.317 --> 00:02:09.864
allora diciamo che questi due insiemi hanno lo stesso numero di elementi.

00:02:10.049 --> 00:02:14.787
Possiamo fare una lista di tutte le frazioni? Potrebbe essere difficile, ci sono una miriade di frazioni!

00:02:14.787 --> 00:02:18.954
E non è ovvio quali mettere per prime, o come accertarsi che ci siano tutte nella lista.

00:02:18.954 --> 00:02:23.988
Eppure c'è un metodo ingegnoso per fare un elenco di tutte le frazioni.

00:02:23.988 --> 00:02:27.786
Il primo a usarlo fu Georg Cantor, a fine Ottocento.

00:02:27.786 --> 00:02:35.805
In primo luogo, abbiamo messo tutte le frazioni in una griglia. Ci sono tutte. Per esempio, abbiamo 117/243,

00:02:35.805 --> 00:02:39.020
riga 117, colonna 223.

00:02:39.020 --> 00:02:44.287
Ora da questa stiliamo un elenco partendo da in alto a sinistra e scorrendo avanti e indietro in diagonale,

00:02:44.287 --> 00:02:49.270
saltando tutte le frazioni che come 2/2 rappresentano un numero già inserito.

00:02:49.270 --> 00:02:53.320
Così abbiamo una lista di tutte le frazioni, in altre parole abbiamo creato una corrispondenza uno a uno

00:02:53.320 --> 00:02:58.369
tra i numeri interi e le frazioni, nonostante pensassimo che ci dovessero essere più frazioni.

00:02:58.369 --> 00:03:00.870
Ok, qui si fa tutto molto interessante.

00:03:00.870 --> 00:03:06.263
Come forse sapete, non tutti i numeri reali, ovvero non tutti i numeri su una retta, sono frazioni.

00:03:06.263 --> 00:03:08.586
Per esempio, l'elevazione al quadrato e il pi greco .

00:03:08.586 --> 00:03:14.620
Questo tipo di numeri sono chiamati irrazionali. Non perché siano pazzi, o altro, ma perché le frazioni sono

00:03:14.620 --> 00:03:20.852
rapporti di numeri interi, e perciò si chiamano razionali, ne consegue che i restanti siano non-razionali, ovvero irrazionali.

00:03:20.852 --> 00:03:24.718
I numeri irrazionali sono rappresentati da decimali infiniti e aperiodici.

00:03:24.718 --> 00:03:29.386
Allora possiamo creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e l'insieme di tutti i decimali,

00:03:29.386 --> 00:03:33.903
sia i razionali che gli irrazionali? Ovvero, si può creare una lista di tutti i numeri decimali?

00:03:33.903 --> 00:03:39.352
Candor ha dimostrato che non è possibile. Non solo che non si sa come farlo, ma che proprio non può essere fatto.

00:03:39.352 --> 00:03:46.166
Per esempio, supponiamo di aver creato una lista di tutti i decimali. Vi dimosterò che il tentativo è fallito,

00:03:46.166 --> 00:03:48.220
producendo un decimale che non è nella lista.

00:03:48.220 --> 00:03:50.819
Costruisco il mio decimale in un punto alla volta.

00:03:50.819 --> 00:03:55.436
Per la prima cifra decimale del mio numero, prendo la prima cifra decimale del primo numero nella lista.

00:03:55.436 --> 00:04:00.302
Se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

00:04:00.302 --> 00:04:04.569
Per la seconda cifra del mio numero, prendo la seconda cifra del secondo numero nella lista.

00:04:04.569 --> 00:04:09.186
Ancora, se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

00:04:09.186 --> 00:04:13.585
Vedete cosa succede? il decimale che ho creato non può essere nella lista.

00:04:13.585 --> 00:04:20.737
Perché? Potrebbe essere il 143° numero? No, perché il 143° posto del mio decimale

00:04:20.737 --> 00:04:25.336
è diverso dal 143° posto del 143° numero della lista. Ho fatto così.

00:04:25.336 --> 00:04:29.220
La lista è incompleta. Non contiene il mio numero decimale.

00:04:29.220 --> 00:04:34.386
E, non ha importanza quale lista creiate, posso fare la stessa cosa, e produrre un decimale che non è su quella lista.

00:04:34.386 --> 00:04:37.219
Così ci troviamo di fronte a una conclusione sorprendente:

00:04:37.219 --> 00:04:43.286
i numeri decimali non possono essere elencati: rappresentano un infinito più grande dell'infinità di tutti i numeri.

00:04:43.286 --> 00:04:48.641
Quindi, anche se conosciamo qualche numero irrazionale, come la radice quadrata di due e il "p" greco,

00:04:48.641 --> 00:04:52.176
l'infinità dei numeri irrazionali è anche più grande dell'infinità delle frazioni.

00:04:52.176 --> 00:04:57.359
Una volta qualcuno disse che i numeri razionali - le frazioni - sono come le stelle in un cielo stellato:

00:04:57.359 --> 00:05:01.143
i numeri irrazionali sono come l'oscurità.

00:05:01.143 --> 00:05:06.943
Cantor dimostrò anche che, per ogni gruppo di numeri infiniti, formare un nuovo gruppo composto da ogni sotto gruppo del gruppo originale

00:05:06.943 --> 00:05:12.144
rappresenta un'infinità maggiore del gruppo originale. Questo significa che, una volta ottenuta una infinità,

00:05:12.144 --> 00:05:18.276
puoi sempre ottenerne una più grande componendo un gruppo di tutti i sottogruppi di quel primo gruppo. E anche uno più grande

00:05:18.276 --> 00:05:21.609
combinando il gruppo di tutti i sottogruppi del primo. E così via.

00:05:21.609 --> 00:05:25.625
Quindi, vi sono infiniti numeri di infinite grandezze differenti.

00:05:25.625 --> 00:05:31.092
Se questa idea vi rende inquieti, non siete i soli. Alcuni dei più grandi matematici del periodo di Cantor

00:05:31.092 --> 00:05:35.425
erano irritati da questa cosa. Provarono a rendere questi differenti infiniti irrilevanti,

00:05:35.425 --> 00:05:37.860
per far lavorar i matematici senza di essi.

00:05:37.860 --> 00:05:42.443
Cantor si avvili personalmente e stette talmente male che soffri di una depressione profonda

00:05:42.443 --> 00:05:45.910
e passò l'ultima metà della sua vita dentro e fuori da ospedali psichiatrici.

00:05:45.910 --> 00:05:51.492
Ma alla fine le sue idee vinsero. Oggi sono considerate fondamentali e magnifiche.

00:05:51.492 --> 00:05:55.740
Tutti i ricercatori matematici le accettano al giorno d'oggi, tutti gli studenti universitari le imparano,

00:05:55.740 --> 00:05:58.143
e io ve le ho spiegate in qualche minuto.

00:05:58.143 --> 00:06:00.926
Un giorno forse, saranno conosciute da tutti.

00:06:00.926 --> 00:06:06.006
C'è di più. Abbiamo solo accennato che il gruppo di numeri decimali - che sono i numeri reali - è

00:06:06.006 --> 00:06:09.660
una infinità più grande del gruppo di tutti i numeri. Candor si chiedeva se vi sono infinità

00:06:09.660 --> 00:06:14.125
di grandezze differenti tra queste due infinità. Non credeva ve ne fossero, ma poté provarlo.

00:06:14.125 --> 00:06:18.275
La congettura di Candor divenne nota come l'ipotesi del continuo.

00:06:18.275 --> 00:06:23.959
Nel 1900 il grande matematico David Hilbert postulò che l'ipotesi del continuo fosse il più importante

00:06:23.959 --> 00:06:26.441
problema non risolto della matematica.

00:06:26.441 --> 00:06:32.260
Il 20esimo secolo vide la soluzione di questo problema ma in una maniera completamente inaspettata che distrusse il paradigma iniziale.

00:06:32.260 --> 00:06:37.892
Negli anni Venti, Kurt Gödel dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo è falsa.

00:06:37.892 --> 00:06:43.476
Poi negli anni Sessanta, Paul J. Cohen dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo sia vera.

00:06:43.476 --> 00:06:48.425
Considerati insieme, questi risultati significano che vi sono delle domande della matematica senza risposta.

00:06:48.425 --> 00:06:50.310
Una conclusione stupefacente.

00:06:50.310 --> 00:06:53.459
La matematica è considerata a ragione il picco del ragionamento umano

00:06:53.459 --> 00:06:56.592
ma adesso sappiamo anche che anche la matematica ha dei limiti.

00:06:56.592 --> 00:07:00.809
Tuttavia, la matematica ci offre ancora cose veramente meravigliose su cui riflettere.