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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:14.02,0:00:16.38,Default,,0000,0000,0000,,Quando ero in quarta elementare, un giorno il maestro ci disse:
Dialogue: 0,0:00:16.38,0:00:19.30,Default,,0000,0000,0000,,"Ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri."
Dialogue: 0,0:00:19.30,0:00:25.26,Default,,0000,0000,0000,,"Davvero?", pensai. Bè, sono infiniti entrambi, quindi suppongo ce ne sia lo stesso numero totale.
Dialogue: 0,0:00:25.26,0:00:30.32,Default,,0000,0000,0000,,Ma, d'altra parte, i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi, tutti i numeri dispari sono esclusi,
Dialogue: 0,0:00:30.32,0:00:33.08,Default,,0000,0000,0000,,quindi ci devono essere più numeri interi che numeri pari, giusto?
Dialogue: 0,0:00:33.08,0:00:38.73,Default,,0000,0000,0000,,Per vedere dove il maestro volesse arrivare, pensiamo innanzitutto cosa voglia dire per due insiemi avere la stessa grandezza.
Dialogue: 0,0:00:38.73,0:00:44.30,Default,,0000,0000,0000,,Cosa intendo quando dico che ho lo stesso numero di dita nella mano destra e nella mano sinistra?
Dialogue: 0,0:00:44.30,0:00:47.88,Default,,0000,0000,0000,,Naturalmente, ne ho cinque su ognuna, ma in realtà è ancora più semplice di così.
Dialogue: 0,0:00:47.88,0:00:52.51,Default,,0000,0000,0000,,Non devo contare, ho solo bisogno di vedere che corrispondono una a una.
Dialogue: 0,0:00:52.51,0:00:56.26,Default,,0000,0000,0000,,Infatti, si pensa che alcune popolazioni antiche non avessero parole per indicare
Dialogue: 0,0:00:56.26,0:01:02.26,Default,,0000,0000,0000,,numeri più grandi del tre e che utilizzassero un qualche tipo di magia. Per esempio, se lasciamo pascolare le pecore fuori da un recinto,
Dialogue: 0,0:01:02.26,0:01:05.78,Default,,0000,0000,0000,,possiamo tenere traccia di quante escano posando ogni volta una pietra da parte,
Dialogue: 0,0:01:05.78,0:01:09.12,Default,,0000,0000,0000,,e poi mettendo via le pietre una a una man mano che le pecore rientrano,
Dialogue: 0,0:01:09.12,0:01:11.93,Default,,0000,0000,0000,,così sappiamo se ne mancano senza doverle contare.
Dialogue: 0,0:01:11.93,0:01:15.16,Default,,0000,0000,0000,,Vediamo un altro esempio di quanto la corrispondenza sia fondamentale più del contare,
Dialogue: 0,0:01:15.16,0:01:19.66,Default,,0000,0000,0000,,Se parlo a una sala gremita, dove tutti i posti sono occupati e nessuno è in piedi,
Dialogue: 0,0:01:19.66,0:01:23.20,Default,,0000,0000,0000,,so che ci sono lo stesso numero di sedie quante sono le persone del pubblico,
Dialogue: 0,0:01:23.20,0:01:25.72,Default,,0000,0000,0000,,pur non conoscendone il numero esatto.
Dialogue: 0,0:01:25.76,0:01:28.44,Default,,0000,0000,0000,,Allora, dicendo che due insiemi hanno la stessa dimensione intendiamo
Dialogue: 0,0:01:28.44,0:01:32.58,Default,,0000,0000,0000,,che gli elementi di tali insiemi possano in qualche modo corrispondere uno a uno.
Dialogue: 0,0:01:32.58,0:01:37.54,Default,,0000,0000,0000,,Il maestro di quarta elementare ci mostrò i numeri interi in fila e sotto ogni numero mise il suo doppio.
Dialogue: 0,0:01:37.54,0:01:42.48,Default,,0000,0000,0000,,Come potete vedere, la riga in basso contiene tutti i numeri pari, e c'è una corrispondenza uno a uno.
Dialogue: 0,0:01:42.48,0:01:45.34,Default,,0000,0000,0000,,Dunque, ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri.
Dialogue: 0,0:01:45.34,0:01:50.79,Default,,0000,0000,0000,,Eppure ci infastidisce ancora il pensiero che i numeri pari possano essere solo una parte dei numeri interi.
Dialogue: 0,0:01:50.79,0:01:56.47,Default,,0000,0000,0000,,Ma questo vi spinge forse a pensare che la mia mano destra non abbia lo stesso numero di dita della sinistra?
Dialogue: 0,0:01:56.47,0:02:00.67,Default,,0000,0000,0000,,No di certo. Non importa se cerchiamo di far corrispondere gli elementi in un modo che non funziona,
Dialogue: 0,0:02:00.67,0:02:02.56,Default,,0000,0000,0000,,questo non ci convince di nulla.
Dialogue: 0,0:02:02.56,0:02:06.32,Default,,0000,0000,0000,,Se si riesce a trovare un modo in cui gli elementi di due insiemi corrispondono,
Dialogue: 0,0:02:06.32,0:02:09.86,Default,,0000,0000,0000,,allora diciamo che questi due insiemi hanno lo stesso numero di elementi.
Dialogue: 0,0:02:10.05,0:02:14.79,Default,,0000,0000,0000,,Possiamo fare una lista di tutte le frazioni? Potrebbe essere difficile, ci sono una miriade di frazioni!
Dialogue: 0,0:02:14.79,0:02:18.95,Default,,0000,0000,0000,,E non è ovvio quali mettere per prime, o come accertarsi che ci siano tutte nella lista.
Dialogue: 0,0:02:18.95,0:02:23.99,Default,,0000,0000,0000,,Eppure c'è un metodo ingegnoso per fare un elenco di tutte le frazioni.
Dialogue: 0,0:02:23.99,0:02:27.79,Default,,0000,0000,0000,,Il primo a usarlo fu Georg Cantor, a fine Ottocento.
Dialogue: 0,0:02:27.79,0:02:35.80,Default,,0000,0000,0000,,In primo luogo, abbiamo messo tutte le frazioni in una griglia. Ci sono tutte. Per esempio, abbiamo 117/243,
Dialogue: 0,0:02:35.80,0:02:39.02,Default,,0000,0000,0000,,riga 117, colonna 223.
Dialogue: 0,0:02:39.02,0:02:44.29,Default,,0000,0000,0000,,Ora da questa stiliamo un elenco partendo da in alto a sinistra e scorrendo avanti e indietro in diagonale,
Dialogue: 0,0:02:44.29,0:02:49.27,Default,,0000,0000,0000,,saltando tutte le frazioni che come 2/2 rappresentano un numero già inserito.
Dialogue: 0,0:02:49.27,0:02:53.32,Default,,0000,0000,0000,,Così abbiamo una lista di tutte le frazioni, in altre parole abbiamo creato una corrispondenza uno a uno
Dialogue: 0,0:02:53.32,0:02:58.37,Default,,0000,0000,0000,,tra i numeri interi e le frazioni, nonostante pensassimo che ci dovessero essere più frazioni.
Dialogue: 0,0:02:58.37,0:03:00.87,Default,,0000,0000,0000,,Ok, qui si fa tutto molto interessante.
Dialogue: 0,0:03:00.87,0:03:06.26,Default,,0000,0000,0000,,Come forse sapete, non tutti i numeri reali, ovvero non tutti i numeri su una retta, sono frazioni.
Dialogue: 0,0:03:06.26,0:03:08.59,Default,,0000,0000,0000,,Per esempio, l'elevazione al quadrato e il pi greco .
Dialogue: 0,0:03:08.59,0:03:14.62,Default,,0000,0000,0000,,Questo tipo di numeri sono chiamati irrazionali. Non perché siano pazzi, o altro, ma perché le frazioni sono
Dialogue: 0,0:03:14.62,0:03:20.85,Default,,0000,0000,0000,,rapporti di numeri interi, e perciò si chiamano razionali, ne consegue che i restanti siano non-razionali, ovvero irrazionali.
Dialogue: 0,0:03:20.85,0:03:24.72,Default,,0000,0000,0000,,I numeri irrazionali sono rappresentati da decimali infiniti e aperiodici.
Dialogue: 0,0:03:24.72,0:03:29.39,Default,,0000,0000,0000,,Allora possiamo creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e l'insieme di tutti i decimali,
Dialogue: 0,0:03:29.39,0:03:33.90,Default,,0000,0000,0000,,sia i razionali che gli irrazionali? Ovvero, si può creare una lista di tutti i numeri decimali?
Dialogue: 0,0:03:33.90,0:03:39.35,Default,,0000,0000,0000,,Candor ha dimostrato che non è possibile. Non solo che non si sa come farlo, ma che proprio non può essere fatto.
Dialogue: 0,0:03:39.35,0:03:46.17,Default,,0000,0000,0000,,Per esempio, supponiamo di aver creato una lista di tutti i decimali. Vi dimosterò che il tentativo è fallito,
Dialogue: 0,0:03:46.17,0:03:48.22,Default,,0000,0000,0000,,producendo un decimale che non è nella lista.
Dialogue: 0,0:03:48.22,0:03:50.82,Default,,0000,0000,0000,,Costruisco il mio decimale in un punto alla volta.
Dialogue: 0,0:03:50.82,0:03:55.44,Default,,0000,0000,0000,,Per la prima cifra decimale del mio numero, prendo la prima cifra decimale del primo numero nella lista.
Dialogue: 0,0:03:55.44,0:04:00.30,Default,,0000,0000,0000,,Se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.
Dialogue: 0,0:04:00.30,0:04:04.57,Default,,0000,0000,0000,,Per la seconda cifra del mio numero, prendo la seconda cifra del secondo numero nella lista.
Dialogue: 0,0:04:04.57,0:04:09.19,Default,,0000,0000,0000,,Ancora, se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.
Dialogue: 0,0:04:09.19,0:04:13.58,Default,,0000,0000,0000,,Vedete cosa succede? il decimale che ho creato non può essere nella lista.
Dialogue: 0,0:04:13.58,0:04:20.74,Default,,0000,0000,0000,,Perché? Potrebbe essere il 143° numero? No, perché il 143° posto del mio decimale
Dialogue: 0,0:04:20.74,0:04:25.34,Default,,0000,0000,0000,,è diverso dal 143° posto del 143° numero della lista. Ho fatto così.
Dialogue: 0,0:04:25.34,0:04:29.22,Default,,0000,0000,0000,,La lista è incompleta. Non contiene il mio numero decimale.
Dialogue: 0,0:04:29.22,0:04:34.39,Default,,0000,0000,0000,,E, non ha importanza quale lista creiate, posso fare la stessa cosa, e produrre un decimale che non è su quella lista.
Dialogue: 0,0:04:34.39,0:04:37.22,Default,,0000,0000,0000,,Così ci troviamo di fronte a una conclusione sorprendente:
Dialogue: 0,0:04:37.22,0:04:43.29,Default,,0000,0000,0000,,i numeri decimali non possono essere elencati: rappresentano un infinito più grande dell'infinità di tutti i numeri.
Dialogue: 0,0:04:43.29,0:04:48.64,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, anche se conosciamo qualche numero irrazionale, come la radice quadrata di due e il "p" greco,
Dialogue: 0,0:04:48.64,0:04:52.18,Default,,0000,0000,0000,,l'infinità dei numeri irrazionali è anche più grande dell'infinità delle frazioni.
Dialogue: 0,0:04:52.18,0:04:57.36,Default,,0000,0000,0000,,Una volta qualcuno disse che i numeri razionali - le frazioni - sono come le stelle in un cielo stellato:
Dialogue: 0,0:04:57.36,0:05:01.14,Default,,0000,0000,0000,,i numeri irrazionali sono come l'oscurità.
Dialogue: 0,0:05:01.14,0:05:06.94,Default,,0000,0000,0000,,Cantor dimostrò anche che, per ogni gruppo di numeri infiniti, formare un nuovo gruppo composto da ogni sotto gruppo del gruppo originale
Dialogue: 0,0:05:06.94,0:05:12.14,Default,,0000,0000,0000,,rappresenta un'infinità maggiore del gruppo originale. Questo significa che, una volta ottenuta una infinità,
Dialogue: 0,0:05:12.14,0:05:18.28,Default,,0000,0000,0000,,puoi sempre ottenerne una più grande componendo un gruppo di tutti i sottogruppi di quel primo gruppo. E anche uno più grande
Dialogue: 0,0:05:18.28,0:05:21.61,Default,,0000,0000,0000,,combinando il gruppo di tutti i sottogruppi del primo. E così via.
Dialogue: 0,0:05:21.61,0:05:25.62,Default,,0000,0000,0000,,Quindi, vi sono infiniti numeri di infinite grandezze differenti.
Dialogue: 0,0:05:25.62,0:05:31.09,Default,,0000,0000,0000,,Se questa idea vi rende inquieti, non siete i soli. Alcuni dei più grandi matematici del periodo di Cantor
Dialogue: 0,0:05:31.09,0:05:35.42,Default,,0000,0000,0000,,erano irritati da questa cosa. Provarono a rendere questi differenti infiniti irrilevanti,
Dialogue: 0,0:05:35.42,0:05:37.86,Default,,0000,0000,0000,,per far lavorar i matematici senza di essi.
Dialogue: 0,0:05:37.86,0:05:42.44,Default,,0000,0000,0000,,Cantor si avvili personalmente e stette talmente male che soffri di una depressione profonda
Dialogue: 0,0:05:42.44,0:05:45.91,Default,,0000,0000,0000,,e passò l'ultima metà della sua vita dentro e fuori da ospedali psichiatrici.
Dialogue: 0,0:05:45.91,0:05:51.49,Default,,0000,0000,0000,,Ma alla fine le sue idee vinsero. Oggi sono considerate fondamentali e magnifiche.
Dialogue: 0,0:05:51.49,0:05:55.74,Default,,0000,0000,0000,,Tutti i ricercatori matematici le accettano al giorno d'oggi, tutti gli studenti universitari le imparano,
Dialogue: 0,0:05:55.74,0:05:58.14,Default,,0000,0000,0000,,e io ve le ho spiegate in qualche minuto.
Dialogue: 0,0:05:58.14,0:06:00.93,Default,,0000,0000,0000,,Un giorno forse, saranno conosciute da tutti.
Dialogue: 0,0:06:00.93,0:06:06.01,Default,,0000,0000,0000,,C'è di più. Abbiamo solo accennato che il gruppo di numeri decimali - che sono i numeri reali - è
Dialogue: 0,0:06:06.01,0:06:09.66,Default,,0000,0000,0000,,una infinità più grande del gruppo di tutti i numeri. Candor si chiedeva se vi sono infinità
Dialogue: 0,0:06:09.66,0:06:14.12,Default,,0000,0000,0000,,di grandezze differenti tra queste due infinità. Non credeva ve ne fossero, ma poté provarlo.
Dialogue: 0,0:06:14.12,0:06:18.28,Default,,0000,0000,0000,,La congettura di Candor divenne nota come l'ipotesi del continuo.
Dialogue: 0,0:06:18.28,0:06:23.96,Default,,0000,0000,0000,,Nel 1900 il grande matematico David Hilbert postulò che l'ipotesi del continuo fosse il più importante
Dialogue: 0,0:06:23.96,0:06:26.44,Default,,0000,0000,0000,,problema non risolto della matematica.
Dialogue: 0,0:06:26.44,0:06:32.26,Default,,0000,0000,0000,,Il 20esimo secolo vide la soluzione di questo problema ma in una maniera completamente inaspettata che distrusse il paradigma iniziale.
Dialogue: 0,0:06:32.26,0:06:37.89,Default,,0000,0000,0000,,Negli anni Venti, Kurt Gödel dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo è falsa.
Dialogue: 0,0:06:37.89,0:06:43.48,Default,,0000,0000,0000,,Poi negli anni Sessanta, Paul J. Cohen dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo sia vera.
Dialogue: 0,0:06:43.48,0:06:48.42,Default,,0000,0000,0000,,Considerati insieme, questi risultati significano che vi sono delle domande della matematica senza risposta.
Dialogue: 0,0:06:48.42,0:06:50.31,Default,,0000,0000,0000,,Una conclusione stupefacente.
Dialogue: 0,0:06:50.31,0:06:53.46,Default,,0000,0000,0000,,La matematica è considerata a ragione il picco del ragionamento umano
Dialogue: 0,0:06:53.46,0:06:56.59,Default,,0000,0000,0000,,ma adesso sappiamo anche che anche la matematica ha dei limiti.
Dialogue: 0,0:06:56.59,0:07:00.81,Default,,0000,0000,0000,,Tuttavia, la matematica ci offre ancora cose veramente meravigliose su cui riflettere.