Seberapa besar ketidakterbatasan?

Simak materi selengkapnya: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity

Menggunakan teori himpunan dasar, telusuri konsep tak biasa dari "ketidakterbatasan dari ketidakterbatasan-ketidakterbatasan" -- dan bagaimana hal ini membuat ahli matematika menyimpulkan bahwa matematika memiliki pertanyaan yang tidak dapat dijawab.

Materi oleh Dennis Wildfogel, animasi oleh Augenblick Studios.

Ketika aku kelas empat SD,
suatu hari guru saya berkata:

"Jumlah bilangan genap sama dengan
bilangan bulat."

"Benarkah?", pikirku.

Ya, ada jumlah yang tak terhingga
dari keduanya,

jadi aku pikir jumlah keduanya
adalah sama.

Tetapi bilangan genap hanyalah bagian
dari bilangan bulat,

semua bilangan ganjil sisanya,

pasti lebih banyak bilangan bulat
daripada bilangan genap, kan?

Untuk melihat apa yang
dimaksud guruku,

pertama mari berpikir apa arti
dua himpunan dengan ukuran yang sama.

Apa yang kumaksud ketika
aku berkata jumlah jari

tangan kanan sama dengan tangan kiri?

Tentu, lima jari di masing-masing tangan
tetapi sebenarnya ini lebih simpel.

Aku tidak perlu menghitungnya,

aku hanya perlu memasangkannya,
satu sama lain.

Faktanya, kita berpikir bahwa orang kuno

yang berbicara bahasa tanpa ada kata
untuk angka lebih besar dari tiga

menggunakan trik ini.

Contoh, jika kamu membiarkan dombamu
keluar dari kandang,

kamu dapat melacak berapa yang keluar
dengan menyisihkan batu pada setiap domba,

dan meletakkannya kembali saat
domba kembali,

jadi kamu tahu berapa yang hilang tanpa
perlu menghitung.

Contoh lain bahwa mencocokkan lebih
sederhana daripada menghitung,

jika aku berbicara
di auditorium yang penuh,

setiap kursi diduduki dan
tidak ada yang berdiri,

aku tahu bahwa ada jumlah yang sama
antara kursi dan penonton,

walaupun aku tidak tahu ada berapa.

Jadi, yang kita maksud dari
dua himpunan berukuran sama

adalah elemen dari dua
himpunan tersebut

dapat dicocokkan satu per satu
dengan suatu cara.

Guru kelas empatku menunjukkan

bilangan bulat yang ditata berurutan
dan di bawahnya ada kelipatannya.

Lihat, baris bawah berisi
semua bilangan genap,

dan satu per satu dicocokkan.

Yang mana, jumlah bilangan genap
sama dengan bilangan bulat.

Tetapi yang mengganggu kita adalah
kesulitan kita

melupakan fakta bahwa bilangan genap
merupakan bagian dari bilangan bulat.

Tetapi, apakah ini meyakinkanmu

bahwa aku tidak memiliki jumlah jari
yang sama

pada tangan kanan dan kiri?

Tentu tidak.

Tidak masalah jika kamu mencoba

mencocokkan elemen-elemen
dan tidak berhasil,

yang tidak meyakinkan kita.

Jika kamu tahu satu cara

yang elemen kedua himpunan cocok,

barulah kita mengatakan jumlah elemen
keduanya adalah sama.

Bisakah kamu membuat daftar semua pecahan?

Ini mungkin sulit, ada banyak sekali
pecahan!

Dan, tidak jelas mana yang pertama,

atau bagaimana memastikan semuanya
ada di daftar.

Namun, ada cara pintar

untuk membuat daftar semua pecahan.

Ini pertama kali dilakukan oleh
Georg Cantor pada tahun 800-an.

Pertama, taruh pecahan dalam sebuah kisi.

Semua ada di sana.

Contoh, kamu dapat menemukan,
misalnya, 117/243,

pada baris 117 dan kolom 234.

Sekarang kita membuat daftar dari ini

dengan mulai dari kiri atas lalu
bolak-balik secara diagonal,

melompati pecahan, seperti 2/2,

yang melambangkan angka yang sama
dengan yang sudah kita pilih.

Kita mendapatkan daftar semua pecahan,

kita telah membuat pencocokan
satu per satu

antara keseluruhan angka dan pecahan,

walaupun kita pikir seharusnya lebih
banyak pecahan.

Baik, ini lebih menarik.

Kamu tahu bahwa tidak
semua bilangan riil

- yaitu tidak semua angka pada
garis bilangan - adalah pecahan.

Akar kuadrat dari dua dan pi, contohnya.

Angka seperti ini disebut irasional.

Bukan karena ia gila, atau apapun,

tetapi karena bentuk pecahannya adalah
rasio dari bilangan bulat,

dan disebut rasional;

berarti sisanya non-rasional,
yaitu, irasional.

Irasional dilambangkan dengan
desimal tak terbatas, tak terulang.

Jadi, bisakah kita mencocokkan
satu per satu

antara bilangan bulat dan set
dari semua desimal,

rasional dan irasional?

Bisakah kita membuat daftar semua
bilangan desimal?

Cantor menunjukkan bahwa kamu tidak bisa.

Bukan kita tidak tahu bagaimana,
tetapi memang tidak bisa dilakukan.

Lihat, misalnya kamu berhasil membuat
daftar semua bilangan desimal.

Aku akan menunjukkan bahwa kamu gagal,

dengan membuat desimal
yang tidak ada di daftarmu.

Aku akan membangun desimalku
satu tempat pada satu waktu

Untuk letak desimal angka pertamaku,

aku akan melihat letak desimal pertama
dari angka pertamamu.

Jika punyamu satu, aku akan
membuat punyaku dua;

atau sebaliknya.

Untuk letak angka keduaku,

aku akan melihat letak angka keduamu.

Lagi, jika punyamu satu, aku
akan membuat punyaku dua,

dan juga sebaliknya.

Lihat bagaimana ini terjadi?

Desimal yang kubuat tidak
ada di daftarmu.

Mengapa? Misalnya, angka ke-143 mu?

Tidak, karena letak ke-143 dari desimalku

berbeda dengan letak ke-143 dari angka
ke-143 mu.

Aku membuktikannya.

Daftarmu tidak lengkap.

Ia tidak memiliki angka desimalku.

Dan, aku akan melakukan hal yang sama
pada daftar apa pun milikmu

dan membuat desimal yang tidak
ada pada daftarmu.

Jadi kita dihadapkan dengan
kesimpulan mengejutkan ini:

BIlangan desimal tidak bisa
dimasukkan dalam daftar.

Mereka melambangkan ketidakterbatasan
dari bilangan bulat.

Jadi, walaupun kita tahu beberapa
bilangan irasional,

seperti akar kuadrat dua dan pi,

ketidakterbatasan bilangan
irasional

lebih besar dari ketidakterbatasan
pecahan.

Seseorang berkata bilangan irasional

- pecahan - seperti bintang-bintang
di langit malam.

Bilangan irasional seperti kegelapan.

Cantor juga menunjukkan untuk
himpunan tidak terbatas,

pembentukan himpunan baru dari semua
himpunan bagian dari himpunan asli

mewakili ketidakterbatasan yang lebih
besar dari himpunan aslinya.

Ini artinya, dengan
satu ketidakterbatasan,

kamu dapat membuatnya lebih besar

dengan membuat semua himpunan bagian
dari himpunan pertama.

Dan yang lebih besar lagi

dengan membuat semua himpunan
bagian dari yang tadi.

Dan seterusnya.

Jadi, ada jumlah tak terbatas dari
ketidakterbatasan dari berbagai ukuran.

Jika ini membuatmu tak nyaman,
kamu tidak sendiri.

Beberapa ahli matematika besar pada
era Cantor

sangat kesal dengan hal ini.

Mereka mencoba membuat bilangan
tak terhingga tak relevan,

membuat matematika bekerja tanpa
adanya mereka.

Cantor bahkan diejek secara personal,

sangat buruk hingga ia depresi,

dan menghabiskan setengah hidupnya keluar
masuk rumah sakit jiwa.

Namun akhirnya, idenya berhasil.

Hari ini, idenya mengakar dan dianggap
luar biasa.

Semua ahli matematika menerimanya,

setiap jurusan matematika
mempelajarinya,

dan aku telah menjelaskannya padamu tadi.

Suatu saat, mungkin, ini akan
menjadi pengetahuan umum.

Ada lagi.

Kita baru belajar bahwa himpunan desimal

- yaitu pecahan - membentuk
ketidakterbatasan

daripada himpunan bilangan
bulat.

Cantor berpikir apakah ada
ketidakterbatasan

dari dua ukuran yang berbeda.

Ia percaya hal itu ada, namun
tidak dapat membuktikannya.

Dugaan Cantor dikenal sebagai
hipotesis kontinum.

Pada 1900, ahli matematika
David Hilbert

menyatakan hipotesis kontinum

sebagai permasalahan penting matematika
yang tak terpecahkan.

Abad ke-20 melihat solusi
dari permasalahan ini,

namun dengan cara yang benar-benar
tak terduga.

Pada 1920-an, Kurt Gödel menunjukkan

bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum salah.

Kemudian, pada 1960-an,
Paul J. Cohen menunjukkan

bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum benar.

Jika kita gabungkan, ini berarti

ada pertanyaan yang tidak bisa
dijawab dalam matematika.

Kesimpulan yang sangat menarik.

Matematika dianggap sebagai
puncak penalaran manusia,

namun kita tahu sekarang bahwa matematika
memiliki keterbatasan.

Namun, matematika memiliki hal-hal
luar biasa untuk kita pikirkan.