Ketika aku kelas empat SD, suatu hari guru saya berkata:
"Jumlah bilangan genap sama dengan bilangan bulat."
"Benarkah?", pikirku.
Ya, ada jumlah yang tak terhingga dari keduanya,
jadi aku pikir jumlah keduanya adalah sama.
Tetapi bilangan genap hanyalah bagian dari bilangan bulat,
semua bilangan ganjil sisanya,
pasti lebih banyak bilangan bulat daripada bilangan genap, kan?
Untuk melihat apa yang dimaksud guruku,
pertama mari berpikir apa arti dua himpunan dengan ukuran yang sama.
Apa yang kumaksud ketika aku berkata jumlah jari
tangan kanan sama dengan tangan kiri?
Tentu, lima jari di masing-masing tangan tetapi sebenarnya ini lebih simpel.
Aku tidak perlu menghitungnya,
aku hanya perlu memasangkannya, satu sama lain.
Faktanya, kita berpikir bahwa orang kuno
yang berbicara bahasa tanpa ada kata untuk angka lebih besar dari tiga
menggunakan trik ini.
Contoh, jika kamu membiarkan dombamu keluar dari kandang,
kamu dapat melacak berapa yang keluar dengan menyisihkan batu pada setiap domba,
dan meletakkannya kembali saat domba kembali,
jadi kamu tahu berapa yang hilang tanpa perlu menghitung.
Contoh lain bahwa mencocokkan lebih sederhana daripada menghitung,
jika aku berbicara di auditorium yang penuh,
setiap kursi diduduki dan tidak ada yang berdiri,
aku tahu bahwa ada jumlah yang sama antara kursi dan penonton,
walaupun aku tidak tahu ada berapa.
Jadi, yang kita maksud dari dua himpunan berukuran sama
adalah elemen dari dua himpunan tersebut
dapat dicocokkan satu per satu dengan suatu cara.
Guru kelas empatku menunjukkan
bilangan bulat yang ditata berurutan dan di bawahnya ada kelipatannya.
Lihat, baris bawah berisi semua bilangan genap,
dan satu per satu dicocokkan.
Yang mana, jumlah bilangan genap sama dengan bilangan bulat.
Tetapi yang mengganggu kita adalah kesulitan kita
melupakan fakta bahwa bilangan genap merupakan bagian dari bilangan bulat.
Tetapi, apakah ini meyakinkanmu
bahwa aku tidak memiliki jumlah jari yang sama
pada tangan kanan dan kiri?
Tentu tidak.
Tidak masalah jika kamu mencoba
mencocokkan elemen-elemen dan tidak berhasil,
yang tidak meyakinkan kita.
Jika kamu tahu satu cara
yang elemen kedua himpunan cocok,
barulah kita mengatakan jumlah elemen keduanya adalah sama.
Bisakah kamu membuat daftar semua pecahan?
Ini mungkin sulit, ada banyak sekali pecahan!
Dan, tidak jelas mana yang pertama,
atau bagaimana memastikan semuanya ada di daftar.
Namun, ada cara pintar
untuk membuat daftar semua pecahan.
Ini pertama kali dilakukan oleh Georg Cantor pada tahun 800-an.
Pertama, taruh pecahan dalam sebuah kisi.
Semua ada di sana.
Contoh, kamu dapat menemukan, misalnya, 117/243,
pada baris 117 dan kolom 234.
Sekarang kita membuat daftar dari ini
dengan mulai dari kiri atas lalu bolak-balik secara diagonal,
melompati pecahan, seperti 2/2,
yang melambangkan angka yang sama dengan yang sudah kita pilih.
Kita mendapatkan daftar semua pecahan,
kita telah membuat pencocokan satu per satu
antara keseluruhan angka dan pecahan,
walaupun kita pikir seharusnya lebih banyak pecahan.
Baik, ini lebih menarik.
Kamu tahu bahwa tidak semua bilangan riil
- yaitu tidak semua angka pada garis bilangan - adalah pecahan.
Akar kuadrat dari dua dan pi, contohnya.
Angka seperti ini disebut irasional.
Bukan karena ia gila, atau apapun,
tetapi karena bentuk pecahannya adalah rasio dari bilangan bulat,
dan disebut rasional;
berarti sisanya non-rasional, yaitu, irasional.
Irasional dilambangkan dengan desimal tak terbatas, tak terulang.
Jadi, bisakah kita mencocokkan satu per satu
antara bilangan bulat dan set dari semua desimal,
rasional dan irasional?
Bisakah kita membuat daftar semua bilangan desimal?
Cantor menunjukkan bahwa kamu tidak bisa.
Bukan kita tidak tahu bagaimana, tetapi memang tidak bisa dilakukan.
Lihat, misalnya kamu berhasil membuat daftar semua bilangan desimal.
Aku akan menunjukkan bahwa kamu gagal,
dengan membuat desimal yang tidak ada di daftarmu.
Aku akan membangun desimalku satu tempat pada satu waktu
Untuk letak desimal angka pertamaku,
aku akan melihat letak desimal pertama dari angka pertamamu.
Jika punyamu satu, aku akan membuat punyaku dua;
atau sebaliknya.
Untuk letak angka keduaku,
aku akan melihat letak angka keduamu.
Lagi, jika punyamu satu, aku akan membuat punyaku dua,
dan juga sebaliknya.
Lihat bagaimana ini terjadi?
Desimal yang kubuat tidak ada di daftarmu.
Mengapa? Misalnya, angka ke-143 mu?
Tidak, karena letak ke-143 dari desimalku
berbeda dengan letak ke-143 dari angka ke-143 mu.
Aku membuktikannya.
Daftarmu tidak lengkap.
Ia tidak memiliki angka desimalku.
Dan, aku akan melakukan hal yang sama pada daftar apa pun milikmu
dan membuat desimal yang tidak ada pada daftarmu.
Jadi kita dihadapkan dengan kesimpulan mengejutkan ini:
BIlangan desimal tidak bisa dimasukkan dalam daftar.
Mereka melambangkan ketidakterbatasan dari bilangan bulat.
Jadi, walaupun kita tahu beberapa bilangan irasional,
seperti akar kuadrat dua dan pi,
ketidakterbatasan bilangan irasional
lebih besar dari ketidakterbatasan pecahan.
Seseorang berkata bilangan irasional
- pecahan - seperti bintang-bintang di langit malam.
Bilangan irasional seperti kegelapan.
Cantor juga menunjukkan untuk himpunan tidak terbatas,
pembentukan himpunan baru dari semua himpunan bagian dari himpunan asli
mewakili ketidakterbatasan yang lebih besar dari himpunan aslinya.
Ini artinya, dengan satu ketidakterbatasan,
kamu dapat membuatnya lebih besar
dengan membuat semua himpunan bagian dari himpunan pertama.
Dan yang lebih besar lagi
dengan membuat semua himpunan bagian dari yang tadi.
Dan seterusnya.
Jadi, ada jumlah tak terbatas dari ketidakterbatasan dari berbagai ukuran.
Jika ini membuatmu tak nyaman, kamu tidak sendiri.
Beberapa ahli matematika besar pada era Cantor
sangat kesal dengan hal ini.
Mereka mencoba membuat bilangan tak terhingga tak relevan,
membuat matematika bekerja tanpa adanya mereka.
Cantor bahkan diejek secara personal,
sangat buruk hingga ia depresi,
dan menghabiskan setengah hidupnya keluar masuk rumah sakit jiwa.
Namun akhirnya, idenya berhasil.
Hari ini, idenya mengakar dan dianggap luar biasa.
Semua ahli matematika menerimanya,
setiap jurusan matematika mempelajarinya,
dan aku telah menjelaskannya padamu tadi.
Suatu saat, mungkin, ini akan menjadi pengetahuan umum.
Ada lagi.
Kita baru belajar bahwa himpunan desimal
- yaitu pecahan - membentuk ketidakterbatasan
daripada himpunan bilangan bulat.
Cantor berpikir apakah ada ketidakterbatasan
dari dua ukuran yang berbeda.
Ia percaya hal itu ada, namun tidak dapat membuktikannya.
Dugaan Cantor dikenal sebagai hipotesis kontinum.
Pada 1900, ahli matematika David Hilbert
menyatakan hipotesis kontinum
sebagai permasalahan penting matematika yang tak terpecahkan.
Abad ke-20 melihat solusi dari permasalahan ini,
namun dengan cara yang benar-benar tak terduga.
Pada 1920-an, Kurt Gödel menunjukkan
bahwa kamu tidak dapat membuktikan hipotesis kontinum salah.
Kemudian, pada 1960-an, Paul J. Cohen menunjukkan
bahwa kamu tidak dapat membuktikan hipotesis kontinum benar.
Jika kita gabungkan, ini berarti
ada pertanyaan yang tidak bisa dijawab dalam matematika.
Kesimpulan yang sangat menarik.
Matematika dianggap sebagai puncak penalaran manusia,
namun kita tahu sekarang bahwa matematika memiliki keterbatasan.
Namun, matematika memiliki hal-hal luar biasa untuk kita pikirkan.