WEBVTT

00:00:13.999 --> 00:00:16.722
Ketika aku kelas empat SD,
suatu hari guru saya berkata:

00:00:16.746 --> 00:00:19.275
"Jumlah bilangan genap sama dengan
bilangan bulat."

00:00:19.745 --> 00:00:21.098
"Benarkah?", pikirku.

00:00:21.122 --> 00:00:23.458
Ya, ada jumlah yang tak terhingga
dari keduanya,

00:00:23.482 --> 00:00:25.878
jadi aku pikir jumlah keduanya
adalah sama.

00:00:25.902 --> 00:00:28.933
Tetapi bilangan genap hanyalah bagian
dari bilangan bulat,

00:00:28.957 --> 00:00:30.584
semua bilangan ganjil sisanya,

00:00:30.608 --> 00:00:33.657
pasti lebih banyak bilangan bulat
daripada bilangan genap, kan?

00:00:33.681 --> 00:00:35.529
Untuk melihat apa yang
dimaksud guruku,

00:00:35.553 --> 00:00:39.061
pertama mari berpikir apa arti
dua himpunan dengan ukuran yang sama.

00:00:39.085 --> 00:00:41.885
Apa yang kumaksud ketika
aku berkata jumlah jari

00:00:41.909 --> 00:00:44.357
tangan kanan sama dengan tangan kiri?

00:00:44.381 --> 00:00:47.955
Tentu, lima jari di masing-masing tangan
tetapi sebenarnya ini lebih simpel.

00:00:47.955 --> 00:00:49.436
Aku tidak perlu menghitungnya,

00:00:49.436 --> 00:00:52.514
aku hanya perlu memasangkannya,
satu sama lain.

00:00:52.514 --> 00:00:54.620
Faktanya, kita berpikir bahwa orang kuno

00:00:54.644 --> 00:00:58.087
yang berbicara bahasa tanpa ada kata
untuk angka lebih besar dari tiga

00:00:58.111 --> 00:00:59.483
menggunakan trik ini.

00:00:59.507 --> 00:01:02.233
Contoh, jika kamu membiarkan dombamu
keluar dari kandang,

00:01:02.257 --> 00:01:06.022
kamu dapat melacak berapa yang keluar
dengan menyisihkan batu pada setiap domba,

00:01:06.022 --> 00:01:09.092
dan meletakkannya kembali saat
domba kembali,

00:01:09.116 --> 00:01:11.909
jadi kamu tahu berapa yang hilang tanpa
perlu menghitung.

00:01:11.933 --> 00:01:15.172
Contoh lain bahwa mencocokkan lebih
sederhana daripada menghitung,

00:01:15.196 --> 00:01:17.339
jika aku berbicara 
di auditorium yang penuh,

00:01:17.363 --> 00:01:19.667
setiap kursi diduduki dan
tidak ada yang berdiri,

00:01:19.691 --> 00:01:23.221
aku tahu bahwa ada jumlah yang sama
antara kursi dan penonton,

00:01:23.245 --> 00:01:25.771
walaupun aku tidak tahu ada berapa.

00:01:25.795 --> 00:01:28.848
Jadi, yang kita maksud dari 
dua himpunan berukuran sama

00:01:28.848 --> 00:01:30.714
adalah elemen dari dua
himpunan tersebut

00:01:30.714 --> 00:01:33.007
dapat dicocokkan satu per satu
dengan suatu cara.

00:01:33.007 --> 00:01:34.634
Guru kelas empatku menunjukkan

00:01:34.658 --> 00:01:37.999
bilangan bulat yang ditata berurutan
dan di bawahnya ada kelipatannya.

00:01:38.023 --> 00:01:40.892
Lihat, baris bawah berisi
semua bilangan genap,

00:01:40.916 --> 00:01:42.457
dan satu per satu dicocokkan.

00:01:42.481 --> 00:01:45.386
Yang mana, jumlah bilangan genap
sama dengan bilangan bulat.

00:01:45.410 --> 00:01:47.700
Tetapi yang mengganggu kita adalah
kesulitan kita

00:01:47.724 --> 00:01:51.203
melupakan fakta bahwa bilangan genap
merupakan bagian dari bilangan bulat.

00:01:51.227 --> 00:01:52.705
Tetapi, apakah ini meyakinkanmu

00:01:52.705 --> 00:01:54.880
bahwa aku tidak memiliki jumlah jari
yang sama

00:01:54.904 --> 00:01:56.630
pada tangan kanan dan kiri?

00:01:56.654 --> 00:01:57.669
Tentu tidak.

00:01:57.693 --> 00:01:59.536
Tidak masalah jika kamu mencoba

00:01:59.560 --> 00:02:01.729
mencocokkan elemen-elemen
dan tidak berhasil,

00:02:01.753 --> 00:02:03.515
yang tidak meyakinkan kita.

00:02:03.539 --> 00:02:04.730
Jika kamu tahu satu cara

00:02:04.754 --> 00:02:06.978
yang elemen kedua himpunan cocok,

00:02:07.002 --> 00:02:09.865
barulah kita mengatakan jumlah elemen
keduanya adalah sama.

00:02:10.472 --> 00:02:12.487
Bisakah kamu membuat daftar semua pecahan?

00:02:12.511 --> 00:02:15.170
Ini mungkin sulit, ada banyak sekali
pecahan!

00:02:15.194 --> 00:02:17.071
Dan, tidak jelas mana yang pertama,

00:02:17.095 --> 00:02:19.382
atau bagaimana memastikan semuanya
ada di daftar.

00:02:19.382 --> 00:02:21.918
Namun, ada cara pintar

00:02:21.942 --> 00:02:24.115
untuk membuat daftar semua pecahan.

00:02:24.139 --> 00:02:27.985
Ini pertama kali dilakukan oleh
Georg Cantor pada tahun 800-an.

00:02:28.009 --> 00:02:31.017
Pertama, taruh pecahan dalam sebuah kisi.

00:02:31.041 --> 00:02:32.131
Semua ada di sana.

00:02:32.155 --> 00:02:35.912
Contoh, kamu dapat menemukan,
misalnya, 117/243,

00:02:35.936 --> 00:02:38.996
pada baris 117 dan kolom 234.

00:02:39.020 --> 00:02:40.821
Sekarang kita membuat daftar dari ini

00:02:40.845 --> 00:02:44.245
dengan mulai dari kiri atas lalu
bolak-balik secara diagonal,

00:02:44.269 --> 00:02:46.596
melompati pecahan, seperti 2/2,

00:02:46.620 --> 00:02:49.659
yang melambangkan angka yang sama
dengan yang sudah kita pilih.

00:02:49.683 --> 00:02:51.561
Kita mendapatkan daftar semua pecahan,

00:02:51.585 --> 00:02:53.742
kita telah membuat pencocokan
satu per satu

00:02:53.742 --> 00:02:55.800
antara keseluruhan angka dan pecahan,

00:02:55.818 --> 00:02:59.199
walaupun kita pikir seharusnya lebih
banyak pecahan.

00:02:59.223 --> 00:03:01.330
Baik, ini lebih menarik.

00:03:01.354 --> 00:03:03.319
Kamu tahu bahwa tidak
semua bilangan riil

00:03:03.343 --> 00:03:06.491
- yaitu tidak semua angka pada
garis bilangan - adalah pecahan.

00:03:06.515 --> 00:03:08.662
Akar kuadrat dari dua dan pi, contohnya.

00:03:08.686 --> 00:03:11.113
Angka seperti ini disebut irasional.

00:03:11.113 --> 00:03:13.040
Bukan karena ia gila, atau apapun,

00:03:13.040 --> 00:03:16.150
tetapi karena bentuk pecahannya adalah 
rasio dari bilangan bulat,

00:03:16.150 --> 00:03:17.617
dan disebut rasional;

00:03:17.617 --> 00:03:20.828
berarti sisanya non-rasional,
yaitu, irasional.

00:03:20.852 --> 00:03:24.694
Irasional dilambangkan dengan
desimal tak terbatas, tak terulang.

00:03:24.718 --> 00:03:26.853
Jadi, bisakah kita mencocokkan
satu per satu

00:03:26.877 --> 00:03:29.606
antara bilangan bulat dan set 
dari semua desimal,

00:03:29.630 --> 00:03:31.518
rasional dan irasional?

00:03:31.542 --> 00:03:34.114
Bisakah kita membuat daftar semua
bilangan desimal?

00:03:34.138 --> 00:03:36.188
Cantor menunjukkan bahwa kamu tidak bisa.

00:03:36.212 --> 00:03:39.509
Bukan kita tidak tahu bagaimana,
tetapi memang tidak bisa dilakukan.

00:03:40.045 --> 00:03:43.900
Lihat, misalnya kamu berhasil membuat
daftar semua bilangan desimal.

00:03:43.924 --> 00:03:46.142
Aku akan menunjukkan bahwa kamu gagal,

00:03:46.166 --> 00:03:48.496
dengan membuat desimal
yang tidak ada di daftarmu.

00:03:48.496 --> 00:03:51.119
Aku akan membangun desimalku
satu tempat pada satu waktu

00:03:51.119 --> 00:03:53.144
Untuk letak desimal angka pertamaku,

00:03:53.168 --> 00:03:55.994
aku akan melihat letak desimal pertama
dari angka pertamamu.

00:03:55.994 --> 00:03:58.408
Jika punyamu satu, aku akan
membuat punyaku dua;

00:03:58.432 --> 00:04:00.388
atau sebaliknya.

00:04:00.412 --> 00:04:02.520
Untuk letak angka keduaku,

00:04:02.544 --> 00:04:05.021
aku akan melihat letak angka keduamu.

00:04:05.045 --> 00:04:07.584
Lagi, jika punyamu satu, aku
akan membuat punyaku dua,

00:04:07.584 --> 00:04:09.894
dan juga sebaliknya.

00:04:09.894 --> 00:04:11.245
Lihat bagaimana ini terjadi?

00:04:11.245 --> 00:04:14.220
Desimal yang kubuat tidak
ada di daftarmu.

00:04:14.244 --> 00:04:17.531
Mengapa? Misalnya, angka ke-143 mu?

00:04:17.555 --> 00:04:20.713
Tidak, karena letak ke-143 dari desimalku

00:04:20.737 --> 00:04:24.374
berbeda dengan letak ke-143 dari angka
ke-143 mu.

00:04:24.398 --> 00:04:25.965
Aku membuktikannya.

00:04:25.989 --> 00:04:27.466
Daftarmu tidak lengkap.

00:04:27.490 --> 00:04:29.484
Ia tidak memiliki angka desimalku.

00:04:29.484 --> 00:04:32.527
Dan, aku akan melakukan hal yang sama
pada daftar apa pun milikmu

00:04:32.527 --> 00:04:34.824
dan membuat desimal yang tidak
ada pada daftarmu.

00:04:34.824 --> 00:04:37.399
Jadi kita dihadapkan dengan
kesimpulan mengejutkan ini:

00:04:37.399 --> 00:04:40.108
BIlangan desimal tidak bisa
dimasukkan dalam daftar.

00:04:40.108 --> 00:04:44.026
Mereka melambangkan ketidakterbatasan
dari bilangan bulat.

00:04:44.050 --> 00:04:46.812
Jadi, walaupun kita tahu beberapa
bilangan irasional,

00:04:46.836 --> 00:04:48.617
seperti akar kuadrat dua dan pi,

00:04:48.641 --> 00:04:50.308
ketidakterbatasan bilangan
irasional

00:04:50.308 --> 00:04:52.594
lebih besar dari ketidakterbatasan
pecahan.

00:04:52.618 --> 00:04:54.387
Seseorang berkata bilangan irasional

00:04:54.411 --> 00:04:57.335
- pecahan - seperti bintang-bintang
di langit malam.

00:04:57.998 --> 00:05:01.119
Bilangan irasional seperti kegelapan.

00:05:01.143 --> 00:05:03.664
Cantor juga menunjukkan untuk
himpunan tidak terbatas,

00:05:03.688 --> 00:05:07.094
pembentukan himpunan baru dari semua
himpunan bagian dari himpunan asli

00:05:07.118 --> 00:05:10.386
mewakili ketidakterbatasan yang lebih
besar dari himpunan aslinya.

00:05:10.410 --> 00:05:12.459
Ini artinya, dengan
satu ketidakterbatasan,

00:05:12.483 --> 00:05:14.065
kamu dapat membuatnya lebih besar

00:05:14.065 --> 00:05:16.966
dengan membuat semua himpunan bagian
dari himpunan pertama.

00:05:16.990 --> 00:05:18.406
Dan yang lebih besar lagi

00:05:18.430 --> 00:05:20.903
dengan membuat semua himpunan
bagian dari yang tadi.

00:05:20.903 --> 00:05:21.989
Dan seterusnya.

00:05:22.013 --> 00:05:25.601
Jadi, ada jumlah tak terbatas dari
ketidakterbatasan dari berbagai ukuran.

00:05:25.625 --> 00:05:29.090
Jika ini membuatmu tak nyaman,
kamu tidak sendiri.

00:05:29.114 --> 00:05:31.505
Beberapa ahli matematika besar pada
era Cantor

00:05:31.529 --> 00:05:33.053
sangat kesal dengan hal ini.

00:05:33.077 --> 00:05:35.801
Mereka mencoba membuat bilangan
tak terhingga tak relevan,

00:05:35.801 --> 00:05:38.013
membuat matematika bekerja tanpa
adanya mereka.

00:05:38.037 --> 00:05:40.070
Cantor bahkan diejek secara personal,

00:05:40.094 --> 00:05:42.999
sangat buruk hingga ia depresi,

00:05:43.023 --> 00:05:46.309
dan menghabiskan setengah hidupnya keluar
masuk rumah sakit jiwa.

00:05:46.333 --> 00:05:48.662
Namun akhirnya, idenya berhasil.

00:05:48.686 --> 00:05:51.644
Hari ini, idenya mengakar dan dianggap
luar biasa.

00:05:51.668 --> 00:05:54.245
Semua ahli matematika menerimanya,

00:05:54.269 --> 00:05:56.178
setiap jurusan matematika
mempelajarinya,

00:05:56.178 --> 00:05:58.327
dan aku telah menjelaskannya padamu tadi.

00:05:58.351 --> 00:06:00.928
Suatu saat, mungkin, ini akan
menjadi pengetahuan umum.

00:06:00.928 --> 00:06:02.042
Ada lagi.

00:06:02.066 --> 00:06:04.496
Kita baru belajar bahwa himpunan desimal

00:06:04.520 --> 00:06:06.970
- yaitu pecahan - membentuk
ketidakterbatasan

00:06:06.994 --> 00:06:08.523
daripada himpunan bilangan
bulat.

00:06:08.523 --> 00:06:10.594
Cantor berpikir apakah ada
ketidakterbatasan

00:06:10.594 --> 00:06:12.794
dari dua ukuran yang berbeda.

00:06:12.794 --> 00:06:15.469
Ia percaya hal itu ada, namun
tidak dapat membuktikannya.

00:06:15.469 --> 00:06:18.250
Dugaan Cantor dikenal sebagai
hipotesis kontinum.

00:06:19.402 --> 00:06:21.859
Pada 1900, ahli matematika
David Hilbert

00:06:21.883 --> 00:06:23.634
menyatakan hipotesis kontinum

00:06:23.658 --> 00:06:26.511
sebagai permasalahan penting matematika
yang tak terpecahkan.

00:06:26.511 --> 00:06:29.254
Abad ke-20 melihat solusi
dari permasalahan ini,

00:06:29.278 --> 00:06:32.236
namun dengan cara yang benar-benar
tak terduga.

00:06:32.942 --> 00:06:34.899
Pada 1920-an, Kurt Gödel menunjukkan

00:06:34.923 --> 00:06:37.923
bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum salah.

00:06:37.947 --> 00:06:41.003
Kemudian, pada 1960-an,
Paul J. Cohen menunjukkan

00:06:41.027 --> 00:06:44.027
bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum benar.

00:06:44.051 --> 00:06:46.200
Jika kita gabungkan, ini berarti

00:06:46.224 --> 00:06:48.852
ada pertanyaan yang tidak bisa
dijawab dalam matematika.

00:06:48.852 --> 00:06:50.330
Kesimpulan yang sangat menarik.

00:06:50.330 --> 00:06:53.435
Matematika dianggap sebagai
puncak penalaran manusia,

00:06:53.459 --> 00:06:56.568
namun kita tahu sekarang bahwa matematika
memiliki keterbatasan.

00:06:57.094 --> 00:07:00.809
Namun, matematika memiliki hal-hal
luar biasa untuk kita pikirkan.