Seberapa besar ketidakterbatasan?
-
0:14 - 0:17Ketika aku kelas empat SD,
suatu hari guru saya berkata: -
0:17 - 0:19"Jumlah bilangan genap sama dengan
bilangan bulat." -
0:20 - 0:21"Benarkah?", pikirku.
-
0:21 - 0:23Ya, ada jumlah yang tak terhingga
dari keduanya, -
0:23 - 0:26jadi aku pikir jumlah keduanya
adalah sama. -
0:26 - 0:29Tetapi bilangan genap hanyalah bagian
dari bilangan bulat, -
0:29 - 0:31semua bilangan ganjil sisanya,
-
0:31 - 0:34pasti lebih banyak bilangan bulat
daripada bilangan genap, kan? -
0:34 - 0:36Untuk melihat apa yang
dimaksud guruku, -
0:36 - 0:39pertama mari berpikir apa arti
dua himpunan dengan ukuran yang sama. -
0:39 - 0:42Apa yang kumaksud ketika
aku berkata jumlah jari -
0:42 - 0:44tangan kanan sama dengan tangan kiri?
-
0:44 - 0:48Tentu, lima jari di masing-masing tangan
tetapi sebenarnya ini lebih simpel. -
0:48 - 0:49Aku tidak perlu menghitungnya,
-
0:49 - 0:53aku hanya perlu memasangkannya,
satu sama lain. -
0:53 - 0:55Faktanya, kita berpikir bahwa orang kuno
-
0:55 - 0:58yang berbicara bahasa tanpa ada kata
untuk angka lebih besar dari tiga -
0:58 - 0:59menggunakan trik ini.
-
1:00 - 1:02Contoh, jika kamu membiarkan dombamu
keluar dari kandang, -
1:02 - 1:06kamu dapat melacak berapa yang keluar
dengan menyisihkan batu pada setiap domba, -
1:06 - 1:09dan meletakkannya kembali saat
domba kembali, -
1:09 - 1:12jadi kamu tahu berapa yang hilang tanpa
perlu menghitung. -
1:12 - 1:15Contoh lain bahwa mencocokkan lebih
sederhana daripada menghitung, -
1:15 - 1:17jika aku berbicara
di auditorium yang penuh, -
1:17 - 1:20setiap kursi diduduki dan
tidak ada yang berdiri, -
1:20 - 1:23aku tahu bahwa ada jumlah yang sama
antara kursi dan penonton, -
1:23 - 1:26walaupun aku tidak tahu ada berapa.
-
1:26 - 1:29Jadi, yang kita maksud dari
dua himpunan berukuran sama -
1:29 - 1:31adalah elemen dari dua
himpunan tersebut -
1:31 - 1:33dapat dicocokkan satu per satu
dengan suatu cara. -
1:33 - 1:35Guru kelas empatku menunjukkan
-
1:35 - 1:38bilangan bulat yang ditata berurutan
dan di bawahnya ada kelipatannya. -
1:38 - 1:41Lihat, baris bawah berisi
semua bilangan genap, -
1:41 - 1:42dan satu per satu dicocokkan.
-
1:42 - 1:45Yang mana, jumlah bilangan genap
sama dengan bilangan bulat. -
1:45 - 1:48Tetapi yang mengganggu kita adalah
kesulitan kita -
1:48 - 1:51melupakan fakta bahwa bilangan genap
merupakan bagian dari bilangan bulat. -
1:51 - 1:53Tetapi, apakah ini meyakinkanmu
-
1:53 - 1:55bahwa aku tidak memiliki jumlah jari
yang sama -
1:55 - 1:57pada tangan kanan dan kiri?
-
1:57 - 1:58Tentu tidak.
-
1:58 - 2:00Tidak masalah jika kamu mencoba
-
2:00 - 2:02mencocokkan elemen-elemen
dan tidak berhasil, -
2:02 - 2:04yang tidak meyakinkan kita.
-
2:04 - 2:05Jika kamu tahu satu cara
-
2:05 - 2:07yang elemen kedua himpunan cocok,
-
2:07 - 2:10barulah kita mengatakan jumlah elemen
keduanya adalah sama. -
2:10 - 2:12Bisakah kamu membuat daftar semua pecahan?
-
2:13 - 2:15Ini mungkin sulit, ada banyak sekali
pecahan! -
2:15 - 2:17Dan, tidak jelas mana yang pertama,
-
2:17 - 2:19atau bagaimana memastikan semuanya
ada di daftar. -
2:19 - 2:22Namun, ada cara pintar
-
2:22 - 2:24untuk membuat daftar semua pecahan.
-
2:24 - 2:28Ini pertama kali dilakukan oleh
Georg Cantor pada tahun 800-an. -
2:28 - 2:31Pertama, taruh pecahan dalam sebuah kisi.
-
2:31 - 2:32Semua ada di sana.
-
2:32 - 2:36Contoh, kamu dapat menemukan,
misalnya, 117/243, -
2:36 - 2:39pada baris 117 dan kolom 234.
-
2:39 - 2:41Sekarang kita membuat daftar dari ini
-
2:41 - 2:44dengan mulai dari kiri atas lalu
bolak-balik secara diagonal, -
2:44 - 2:47melompati pecahan, seperti 2/2,
-
2:47 - 2:50yang melambangkan angka yang sama
dengan yang sudah kita pilih. -
2:50 - 2:52Kita mendapatkan daftar semua pecahan,
-
2:52 - 2:54kita telah membuat pencocokan
satu per satu -
2:54 - 2:56antara keseluruhan angka dan pecahan,
-
2:56 - 2:59walaupun kita pikir seharusnya lebih
banyak pecahan. -
2:59 - 3:01Baik, ini lebih menarik.
-
3:01 - 3:03Kamu tahu bahwa tidak
semua bilangan riil -
3:03 - 3:06- yaitu tidak semua angka pada
garis bilangan - adalah pecahan. -
3:07 - 3:09Akar kuadrat dari dua dan pi, contohnya.
-
3:09 - 3:11Angka seperti ini disebut irasional.
-
3:11 - 3:13Bukan karena ia gila, atau apapun,
-
3:13 - 3:16tetapi karena bentuk pecahannya adalah
rasio dari bilangan bulat, -
3:16 - 3:18dan disebut rasional;
-
3:18 - 3:21berarti sisanya non-rasional,
yaitu, irasional. -
3:21 - 3:25Irasional dilambangkan dengan
desimal tak terbatas, tak terulang. -
3:25 - 3:27Jadi, bisakah kita mencocokkan
satu per satu -
3:27 - 3:30antara bilangan bulat dan set
dari semua desimal, -
3:30 - 3:32rasional dan irasional?
-
3:32 - 3:34Bisakah kita membuat daftar semua
bilangan desimal? -
3:34 - 3:36Cantor menunjukkan bahwa kamu tidak bisa.
-
3:36 - 3:40Bukan kita tidak tahu bagaimana,
tetapi memang tidak bisa dilakukan. -
3:40 - 3:44Lihat, misalnya kamu berhasil membuat
daftar semua bilangan desimal. -
3:44 - 3:46Aku akan menunjukkan bahwa kamu gagal,
-
3:46 - 3:48dengan membuat desimal
yang tidak ada di daftarmu. -
3:48 - 3:51Aku akan membangun desimalku
satu tempat pada satu waktu -
3:51 - 3:53Untuk letak desimal angka pertamaku,
-
3:53 - 3:56aku akan melihat letak desimal pertama
dari angka pertamamu. -
3:56 - 3:58Jika punyamu satu, aku akan
membuat punyaku dua; -
3:58 - 4:00atau sebaliknya.
-
4:00 - 4:03Untuk letak angka keduaku,
-
4:03 - 4:05aku akan melihat letak angka keduamu.
-
4:05 - 4:08Lagi, jika punyamu satu, aku
akan membuat punyaku dua, -
4:08 - 4:10dan juga sebaliknya.
-
4:10 - 4:11Lihat bagaimana ini terjadi?
-
4:11 - 4:14Desimal yang kubuat tidak
ada di daftarmu. -
4:14 - 4:18Mengapa? Misalnya, angka ke-143 mu?
-
4:18 - 4:21Tidak, karena letak ke-143 dari desimalku
-
4:21 - 4:24berbeda dengan letak ke-143 dari angka
ke-143 mu. -
4:24 - 4:26Aku membuktikannya.
-
4:26 - 4:27Daftarmu tidak lengkap.
-
4:27 - 4:29Ia tidak memiliki angka desimalku.
-
4:29 - 4:33Dan, aku akan melakukan hal yang sama
pada daftar apa pun milikmu -
4:33 - 4:35dan membuat desimal yang tidak
ada pada daftarmu. -
4:35 - 4:37Jadi kita dihadapkan dengan
kesimpulan mengejutkan ini: -
4:37 - 4:40BIlangan desimal tidak bisa
dimasukkan dalam daftar. -
4:40 - 4:44Mereka melambangkan ketidakterbatasan
dari bilangan bulat. -
4:44 - 4:47Jadi, walaupun kita tahu beberapa
bilangan irasional, -
4:47 - 4:49seperti akar kuadrat dua dan pi,
-
4:49 - 4:50ketidakterbatasan bilangan
irasional -
4:50 - 4:53lebih besar dari ketidakterbatasan
pecahan. -
4:53 - 4:54Seseorang berkata bilangan irasional
-
4:54 - 4:57- pecahan - seperti bintang-bintang
di langit malam. -
4:58 - 5:01Bilangan irasional seperti kegelapan.
-
5:01 - 5:04Cantor juga menunjukkan untuk
himpunan tidak terbatas, -
5:04 - 5:07pembentukan himpunan baru dari semua
himpunan bagian dari himpunan asli -
5:07 - 5:10mewakili ketidakterbatasan yang lebih
besar dari himpunan aslinya. -
5:10 - 5:12Ini artinya, dengan
satu ketidakterbatasan, -
5:12 - 5:14kamu dapat membuatnya lebih besar
-
5:14 - 5:17dengan membuat semua himpunan bagian
dari himpunan pertama. -
5:17 - 5:18Dan yang lebih besar lagi
-
5:18 - 5:21dengan membuat semua himpunan
bagian dari yang tadi. -
5:21 - 5:22Dan seterusnya.
-
5:22 - 5:26Jadi, ada jumlah tak terbatas dari
ketidakterbatasan dari berbagai ukuran. -
5:26 - 5:29Jika ini membuatmu tak nyaman,
kamu tidak sendiri. -
5:29 - 5:32Beberapa ahli matematika besar pada
era Cantor -
5:32 - 5:33sangat kesal dengan hal ini.
-
5:33 - 5:36Mereka mencoba membuat bilangan
tak terhingga tak relevan, -
5:36 - 5:38membuat matematika bekerja tanpa
adanya mereka. -
5:38 - 5:40Cantor bahkan diejek secara personal,
-
5:40 - 5:43sangat buruk hingga ia depresi,
-
5:43 - 5:46dan menghabiskan setengah hidupnya keluar
masuk rumah sakit jiwa. -
5:46 - 5:49Namun akhirnya, idenya berhasil.
-
5:49 - 5:52Hari ini, idenya mengakar dan dianggap
luar biasa. -
5:52 - 5:54Semua ahli matematika menerimanya,
-
5:54 - 5:56setiap jurusan matematika
mempelajarinya, -
5:56 - 5:58dan aku telah menjelaskannya padamu tadi.
-
5:58 - 6:01Suatu saat, mungkin, ini akan
menjadi pengetahuan umum. -
6:01 - 6:02Ada lagi.
-
6:02 - 6:04Kita baru belajar bahwa himpunan desimal
-
6:05 - 6:07- yaitu pecahan - membentuk
ketidakterbatasan -
6:07 - 6:09daripada himpunan bilangan
bulat. -
6:09 - 6:11Cantor berpikir apakah ada
ketidakterbatasan -
6:11 - 6:13dari dua ukuran yang berbeda.
-
6:13 - 6:15Ia percaya hal itu ada, namun
tidak dapat membuktikannya. -
6:15 - 6:18Dugaan Cantor dikenal sebagai
hipotesis kontinum. -
6:19 - 6:22Pada 1900, ahli matematika
David Hilbert -
6:22 - 6:24menyatakan hipotesis kontinum
-
6:24 - 6:27sebagai permasalahan penting matematika
yang tak terpecahkan. -
6:27 - 6:29Abad ke-20 melihat solusi
dari permasalahan ini, -
6:29 - 6:32namun dengan cara yang benar-benar
tak terduga. -
6:33 - 6:35Pada 1920-an, Kurt Gödel menunjukkan
-
6:35 - 6:38bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum salah. -
6:38 - 6:41Kemudian, pada 1960-an,
Paul J. Cohen menunjukkan -
6:41 - 6:44bahwa kamu tidak dapat membuktikan
hipotesis kontinum benar. -
6:44 - 6:46Jika kita gabungkan, ini berarti
-
6:46 - 6:49ada pertanyaan yang tidak bisa
dijawab dalam matematika. -
6:49 - 6:50Kesimpulan yang sangat menarik.
-
6:50 - 6:53Matematika dianggap sebagai
puncak penalaran manusia, -
6:53 - 6:57namun kita tahu sekarang bahwa matematika
memiliki keterbatasan. -
6:57 - 7:01Namun, matematika memiliki hal-hal
luar biasa untuk kita pikirkan.
- Title:
- Seberapa besar ketidakterbatasan?
- Speaker:
- Dennis Wildfogel
- Description:
-
Simak materi selengkapnya: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Menggunakan teori himpunan dasar, telusuri konsep tak biasa dari "ketidakterbatasan dari ketidakterbatasan-ketidakterbatasan" -- dan bagaimana hal ini membuat ahli matematika menyimpulkan bahwa matematika memiliki pertanyaan yang tidak dapat dijawab.
Materi oleh Dennis Wildfogel, animasi oleh Augenblick Studios.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
Ade Indarta approved Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Ade Indarta edited Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Bias A R Sukma accepted Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Bias A R Sukma edited Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Bias A R Sukma edited Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Bias A R Sukma edited Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Maria Nainggolan edited Indonesian subtitles for How big is infinity? | ||
Maria Nainggolan edited Indonesian subtitles for How big is infinity? |