Πόσο μεγάλο είναι το άπειρο;
-
0:14 - 0:17Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού,
ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα: -
0:17 - 0:19«Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί
όσοι αριθμοί συνολικά». -
0:20 - 0:21«Αλήθεια;» σκέφτηκα.
-
0:21 - 0:24Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα
πολλοί και από τους δύο, -
0:24 - 0:26άρα μάλλον είναι ίσοι.
-
0:26 - 0:29Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο
ένα μέρος των ακέραιων αριθμών, -
0:29 - 0:31απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί,
-
0:31 - 0:34άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι
ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά; -
0:34 - 0:36Για να δούμε πού το πήγαινε
ο δάσκαλός μου, -
0:36 - 0:39ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει
ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος. -
0:39 - 0:42Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω
τον ίδιο αριθμό δαχτύλων -
0:42 - 0:44στο δεξί και αριστερό μου χέρι;
-
0:44 - 0:48Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα,
αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό. -
0:48 - 0:52Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω
ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα. -
0:53 - 0:55Μάλιστα, πιστεύουμε
ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί -
0:55 - 0:58των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις
για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία, -
0:58 - 0:59έκαναν αυτό το κόλπο.
-
1:00 - 1:02Αν βγάλετε τα πρόβατά σας
από τη στρούγκα για να βοσκήσουν, -
1:02 - 1:06μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν,
παίρνοντας μία πέτρα για καθένα -
1:06 - 1:09και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία,
όταν επιστρέφουν τα πρόβατα, -
1:09 - 1:12ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο,
χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει. -
1:12 - 1:16Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα
είναι βασικότερο από το μέτρημα: -
1:16 - 1:18Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο,
-
1:18 - 1:20με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα
και κανέναν όρθιο, -
1:20 - 1:23γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος
καθισμάτων και ακροατών, -
1:24 - 1:25αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους.
-
1:26 - 1:28Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα
έχουν το ίδιο μέγεθος, -
1:28 - 1:30κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους
-
1:30 - 1:33μπορούν να συνταιριαστούν
ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο. -
1:33 - 1:35Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε
-
1:35 - 1:38τους ακεραίους στη σειρά
και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του. -
1:38 - 1:41Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή
περιέχει όλους τους άρτιους -
1:41 - 1:43και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση.
-
1:43 - 1:45Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι,
όσοι οι ακέραιοι. -
1:45 - 1:48Αλλά αυτό που μας ενοχλεί
ακόμα είναι η δυσφορία μας -
1:48 - 1:51για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται
να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών. -
1:51 - 1:53Αλλά σας πείθει αυτό
-
1:53 - 1:55ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων
-
1:55 - 1:56στα δύο μου χέρια;
-
1:57 - 1:58Όχι, βέβαια.
-
1:58 - 2:01Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε
να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία -
2:01 - 2:03και δεν μπορείτε,
αυτό δεν μας πείθει για τίποτα. -
2:03 - 2:05Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο
-
2:05 - 2:07με τον οποίο τα στοιχεία
των δύο συνόλων συνταιριάζουν, -
2:07 - 2:10τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα
έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. -
2:11 - 2:15Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα
κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά! -
2:15 - 2:17Και δεν είναι προφανές
ποιο να βάλουμε πρώτο -
2:17 - 2:20ή πώς θα εξασφαλίσουμε
ότι όλα είναι στη λίστα μας. -
2:20 - 2:22Παρόλα αυτά, υπάρχει
ένας πολύ έξυπνος τρόπος -
2:22 - 2:24για να φτιάξουμε μια λίστα
με όλα τα κλάσματα. -
2:25 - 2:28Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ
στα τέλη του 19ου αιώνα. -
2:28 - 2:31Πρώτα βάζουμε
όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα. -
2:31 - 2:32Είναι όλα εκεί.
-
2:32 - 2:36Για παράδειγμα, μπορείτε
να βρείτε τον 117/243 -
2:36 - 2:39στην 117η γραμμή και 243η στήλη.
-
2:39 - 2:41Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα
-
2:41 - 2:44ξεκινώντας από πάνω αριστερά
και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως, -
2:44 - 2:46πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2,
-
2:47 - 2:50που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό
με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα. -
2:50 - 2:52Έτσι, παίρνουμε μια λίστα
με όλα τα κλάσματα, -
2:52 - 2:54δηλαδή, δημιουργήσαμε
μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα -
2:54 - 2:56ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα,
-
2:56 - 2:59παρά το ότι ίσως νομίζαμε
πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα. -
2:59 - 3:01Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον.
-
3:01 - 3:05Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα
όλοι οι πραγματικοί αριθμοί - -
3:05 - 3:07δηλαδή, όλοι οι αριθμοί
στην πραγματική ευθεία. -
3:07 - 3:09Για παράδειγμα η √2 και ο π.
-
3:09 - 3:11Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι.
-
3:12 - 3:14Όχι επειδή δεν μπορούμε
να τους αναφέρουμε, -
3:14 - 3:16αλλά επειδή τα κλάσματα
-οι λόγοι ακεραίων αριθμών- -
3:16 - 3:18ονομάζονται ρητοί,
-
3:18 - 3:21άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί,
δηλαδή άρρητοι. -
3:22 - 3:25Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου
πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς. -
3:26 - 3:29Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1
αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους -
3:29 - 3:31και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων,
-
3:31 - 3:32ρητών και αρρήτων;
-
3:32 - 3:35Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα
με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς; -
3:35 - 3:37Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε.
-
3:37 - 3:40Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς,
αλλά ότι δεν είναι δυνατό. -
3:41 - 3:44Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει
μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς. -
3:44 - 3:46Θα σας αποδείξω
ότι δεν τα έχετε καταφέρει, -
3:46 - 3:49εμφανίζοντας έναν δεκαδικό,
που δεν είναι στη λίστα σας. -
3:49 - 3:52Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου
ψηφίο προς ψηφίο ως εξής. -
3:52 - 3:54Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο
στον αριθμό μου, -
3:54 - 3:56θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο
στον πρώτο αριθμό σας. -
3:56 - 3:58Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,
-
3:59 - 4:00αλλιώς θα το κάνω 1.
-
4:01 - 4:03Για το δεύτερο δεκαδικό
στον αριθμό μου, -
4:03 - 4:05θα δω το δεύτερο δεκαδικό
στον δεύτερο αριθμό σας. -
4:05 - 4:07Πάλι αν το δικό σας είναι 1,
θα κάνω το δικό μου 2, -
4:07 - 4:10αλλιώς θα το κάνω 1.
-
4:10 - 4:11Βλέπετε που το πάω;
-
4:11 - 4:14Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει
δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας. -
4:15 - 4:17Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι,
π.χ. ο 143ος αριθμός; -
4:18 - 4:18Όχι.
-
4:19 - 4:21Διότι το 143ο δεκαδικό
ψηφίο του δεκαδικού μου -
4:21 - 4:24διαφέρει από το 143ο ψηφίο
του δικού σας 143ου αριθμού. -
4:25 - 4:26Έτσι τον έφτιαξα.
-
4:26 - 4:28Η λίστα σας είναι λειψή.
-
4:28 - 4:29Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό.
-
4:29 - 4:32Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε,
μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα -
4:32 - 4:35και να βρω έναν δεκαδικό,
που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα. -
4:35 - 4:37Έτσι, έχουμε φτάσει
σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα: -
4:38 - 4:41Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν
να καταγραφούν σε μία λίστα. -
4:41 - 4:44Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο
από το άπειρο των ακεραίων αριθμών. -
4:44 - 4:47Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι
με λίγους άρρητους, -
4:47 - 4:49όπως την √2 ή τον π,
-
4:49 - 4:50το άπειρο των άρρητων
-
4:50 - 4:53είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο
από το άπειρο των κλασμάτων. -
4:53 - 4:55Κάποιος είπε κάποτε
ότι οι ρητοί -τα κλάσματα- -
4:56 - 4:58είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό.
-
4:58 - 5:01Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα.
-
5:01 - 5:04Ο Κάντορ επίσης έδειξε
ότι για κάθε απειροσύνολο, -
5:04 - 5:07ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα
τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου, -
5:07 - 5:10αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο
από αυτό του αρχικού συνόλου. -
5:10 - 5:13Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο,
-
5:13 - 5:15μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο,
-
5:15 - 5:18φτιάχνοντας το σύνολο όλων
των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου. -
5:18 - 5:19Και ένα ακόμα μεγαλύτερο,
-
5:19 - 5:22κατασκευάζοντας το σύνολο
όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ. -
5:22 - 5:26Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος
απείρων διαφορετικών μεγεθών. -
5:26 - 5:29Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν
αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι. -
5:29 - 5:32Μερικοί από τους μεγαλύτερους
μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ -
5:32 - 5:33αναστατώθηκαν κι αυτοί.
-
5:33 - 5:36Προσπάθησαν να καταστήσουν
αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας, -
5:36 - 5:39να κάνουν τα Μαθηματικά
να λειτουργούν χωρίς αυτά. -
5:39 - 5:43Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε
και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη -
5:43 - 5:46και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του
μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία. -
5:46 - 5:48Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν.
-
5:49 - 5:52Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές.
-
5:52 - 5:54Όλοι οι μαθηματικοί
ερευνητές τις αποδέχονται, -
5:54 - 5:56κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει
-
5:56 - 5:58και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά.
-
5:58 - 6:01Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση.
-
6:01 - 6:02Υπάρχει κάτι ακόμα.
-
6:03 - 6:05Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο
των δεκαδικών αριθμών, -
6:05 - 6:09δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο
άπειρο από αυτό των ακεραίων. -
6:09 - 6:12Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν
άπειρα διαφορετικού μεγέθους -
6:12 - 6:13ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα.
-
6:13 - 6:16Πίστευε ότι δεν υπήρχαν,
αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. -
6:16 - 6:19Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή
ως η Υπόθεση του Συνεχούς. -
6:19 - 6:22Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός
Ντάβιντ Χίλμπερτ -
6:22 - 6:24έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς
-
6:24 - 6:26ως το πιο σημαντικό άλυτο
πρόβλημα στα Μαθηματικά. -
6:27 - 6:29Ο 20ος αιώνας απεφάνθη
για αυτό το πρόβλημα, -
6:29 - 6:33αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο,
ριζοσπαστικό τρόπο. -
6:33 - 6:35Στη δεκαετία του 1920,
ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε -
6:35 - 6:39ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι
η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη. -
6:39 - 6:41Στη δεκαετία του 1960,
ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε -
6:41 - 6:44ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί
ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής. -
6:44 - 6:46Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν
-
6:46 - 6:49ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά,
που είναι αδύνατο να απαντηθούν. -
6:49 - 6:51Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα.
-
6:51 - 6:54Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται
ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης, -
6:54 - 6:57αλλά τώρα γνωρίζουμε
ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς. -
6:57 - 7:01Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν
μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.
- Title:
- Πόσο μεγάλο είναι το άπειρο;
- Speaker:
- Ντένις Γουάιλντφογκελ
- Description:
-
Δείτε όλο το μάθημα: http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity
Χρησιμοποιώντας τα βασικά της Θεωρίας Συνόλων, εξερευνήστε την ασύλληπτη έννοια του «απείρου των απείρων» και πώς αυτή οδήγησε τους μαθηματικούς να συμπεράνουν ότι στα Μαθηματικά υπάρχουν ερωτήματα που δεν μπορούν να απαντηθούν.
Μάθημα: Ντένις Γουάιλντφογκελ. Γραφικά: Augenblick Studios.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 07:13
Chryssa R. Takahashi approved Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Chryssa R. Takahashi edited Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Lucas Kaimaras accepted Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Lucas Kaimaras edited Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Lucas Kaimaras edited Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Christos Selemeles edited Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Christos Selemeles edited Greek subtitles for How big is infinity? | ||
Christos Selemeles edited Greek subtitles for How big is infinity? |