1
00:00:13,999 --> 00:00:16,762
Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού,
ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα:

2
00:00:16,772 --> 00:00:19,385
«Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί
όσοι αριθμοί συνολικά».

3
00:00:19,745 --> 00:00:21,098
«Αλήθεια;» σκέφτηκα.

4
00:00:21,122 --> 00:00:23,598
Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα
πολλοί και από τους δύο,

5
00:00:23,598 --> 00:00:25,878
άρα μάλλον είναι ίσοι.

6
00:00:25,902 --> 00:00:28,953
Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο
ένα μέρος των ακέραιων αριθμών,

7
00:00:28,957 --> 00:00:30,704
απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί,

8
00:00:30,724 --> 00:00:33,907
άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι
ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά;

9
00:00:33,907 --> 00:00:35,909
Για να δούμε πού το πήγαινε
ο δάσκαλός μου,

10
00:00:35,909 --> 00:00:39,111
ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει
ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.

11
00:00:39,111 --> 00:00:41,885
Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω
τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

12
00:00:41,909 --> 00:00:44,357
στο δεξί και αριστερό μου χέρι;

13
00:00:44,381 --> 00:00:48,255
Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα,
αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό.

14
00:00:48,255 --> 00:00:52,490
Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω
ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα.

15
00:00:52,514 --> 00:00:54,850
Μάλιστα, πιστεύουμε
ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί

16
00:00:54,850 --> 00:00:58,287
των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις
για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία,

17
00:00:58,287 --> 00:00:59,483
έκαναν αυτό το κόλπο.

18
00:00:59,507 --> 00:01:02,328
Αν βγάλετε τα πρόβατά σας
από τη στρούγκα για να βοσκήσουν,

19
00:01:02,328 --> 00:01:05,938
μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν,
παίρνοντας μία πέτρα για καθένα

20
00:01:05,962 --> 00:01:09,092
και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία,
όταν επιστρέφουν τα πρόβατα,

21
00:01:09,116 --> 00:01:12,299
ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο,
χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει.

22
00:01:12,299 --> 00:01:15,642
Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα
είναι βασικότερο από το μέτρημα:

23
00:01:15,803 --> 00:01:17,707
Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο,

24
00:01:17,751 --> 00:01:20,181
με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα 
και κανέναν όρθιο,

25
00:01:20,275 --> 00:01:23,401
γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος
καθισμάτων και ακροατών,

26
00:01:23,515 --> 00:01:25,442
αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους.

27
00:01:25,672 --> 00:01:28,390
Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα
έχουν το ίδιο μέγεθος,

28
00:01:28,390 --> 00:01:30,389
κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους

29
00:01:30,389 --> 00:01:33,006
μπορούν να συνταιριαστούν
ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο.

30
00:01:33,006 --> 00:01:35,007
Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε

31
00:01:35,007 --> 00:01:38,106
τους ακεραίους στη σειρά
και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του.

32
00:01:38,106 --> 00:01:40,947
Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή
περιέχει όλους τους άρτιους

33
00:01:41,201 --> 00:01:43,156
και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση.

34
00:01:43,160 --> 00:01:45,420
Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι,
όσοι οι ακέραιοι.

35
00:01:45,454 --> 00:01:47,893
Αλλά αυτό που μας ενοχλεί
ακόμα είναι η δυσφορία μας

36
00:01:47,893 --> 00:01:51,417
για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται
να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών.

37
00:01:51,417 --> 00:01:53,342
Αλλά σας πείθει αυτό

38
00:01:53,342 --> 00:01:55,318
ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

39
00:01:55,318 --> 00:01:56,333
στα δύο μου χέρια;

40
00:01:56,613 --> 00:01:57,776
Όχι, βέβαια.

41
00:01:57,776 --> 00:02:00,675
Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε
να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία

42
00:02:00,675 --> 00:02:03,007
και δεν μπορείτε,
αυτό δεν μας πείθει για τίποτα.

43
00:02:03,007 --> 00:02:04,531
Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο

44
00:02:04,531 --> 00:02:07,104
με τον οποίο τα στοιχεία
των δύο συνόλων συνταιριάζουν,

45
00:02:07,104 --> 00:02:10,099
τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα
έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

46
00:02:10,599 --> 00:02:15,028
Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα
κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά!

47
00:02:15,221 --> 00:02:17,264
Και δεν είναι προφανές
ποιο να βάλουμε πρώτο

48
00:02:17,264 --> 00:02:19,690
ή πώς θα εξασφαλίσουμε
ότι όλα είναι στη λίστα μας.

49
00:02:19,690 --> 00:02:21,863
Παρόλα αυτά, υπάρχει
ένας πολύ έξυπνος τρόπος

50
00:02:21,863 --> 00:02:24,159
για να φτιάξουμε μια λίστα
με όλα τα κλάσματα.

51
00:02:24,519 --> 00:02:28,027
Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ
στα τέλη του 19ου αιώνα.

52
00:02:28,397 --> 00:02:30,917
Πρώτα βάζουμε
όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα.

53
00:02:31,217 --> 00:02:32,224
Είναι όλα εκεί.

54
00:02:32,356 --> 00:02:35,936
Για παράδειγμα, μπορείτε
να βρείτε τον 117/243

55
00:02:36,320 --> 00:02:38,971
στην 117η γραμμή και 243η στήλη.

56
00:02:39,405 --> 00:02:41,135
Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα

57
00:02:41,279 --> 00:02:44,326
ξεκινώντας από πάνω αριστερά
και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως,

58
00:02:44,490 --> 00:02:46,479
πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2,

59
00:02:46,693 --> 00:02:49,691
που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό
με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα.

60
00:02:49,691 --> 00:02:51,784
Έτσι, παίρνουμε μια λίστα
με όλα τα κλάσματα,

61
00:02:51,784 --> 00:02:54,162
δηλαδή, δημιουργήσαμε
μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα

62
00:02:54,162 --> 00:02:56,073
ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα,

63
00:02:56,073 --> 00:02:58,880
παρά το ότι ίσως νομίζαμε
πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα.

64
00:02:58,880 --> 00:03:01,215
Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον.

65
00:03:01,373 --> 00:03:04,571
Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα
όλοι οι πραγματικοί αριθμοί -

66
00:03:04,571 --> 00:03:06,856
δηλαδή, όλοι οι αριθμοί
στην πραγματική ευθεία.

67
00:03:06,856 --> 00:03:08,893
Για παράδειγμα η √2 και ο π.

68
00:03:09,267 --> 00:03:11,194
Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι.

69
00:03:11,578 --> 00:03:13,582
Όχι επειδή δεν μπορούμε
να τους αναφέρουμε,

70
00:03:13,582 --> 00:03:16,279
αλλά επειδή τα κλάσματα
-οι λόγοι ακεραίων αριθμών-

71
00:03:16,297 --> 00:03:17,858
ονομάζονται ρητοί,

72
00:03:17,932 --> 00:03:20,814
άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί,
δηλαδή άρρητοι.

73
00:03:21,608 --> 00:03:25,273
Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου
πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς.

74
00:03:25,727 --> 00:03:28,776
Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1
αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους

75
00:03:28,776 --> 00:03:31,024
και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων,

76
00:03:31,024 --> 00:03:32,256
ρητών και αρρήτων;

77
00:03:32,318 --> 00:03:35,408
Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα
με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς;

78
00:03:35,408 --> 00:03:37,075
Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε.

79
00:03:37,075 --> 00:03:39,960
Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς,
αλλά ότι δεν είναι δυνατό.

80
00:03:40,624 --> 00:03:44,282
Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει
μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς.

81
00:03:44,282 --> 00:03:46,278
Θα σας αποδείξω
ότι δεν τα έχετε καταφέρει,

82
00:03:46,278 --> 00:03:48,897
εμφανίζοντας έναν δεκαδικό,
που δεν είναι στη λίστα σας.

83
00:03:48,977 --> 00:03:51,652
Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου
ψηφίο προς ψηφίο ως εξής.

84
00:03:51,652 --> 00:03:53,704
Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο
στον αριθμό μου,

85
00:03:53,704 --> 00:03:56,128
θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο
στον πρώτο αριθμό σας.

86
00:03:56,128 --> 00:03:58,314
Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,

87
00:03:58,594 --> 00:04:00,252
αλλιώς θα το κάνω 1.

88
00:04:00,784 --> 00:04:02,651
Για το δεύτερο δεκαδικό
στον αριθμό μου,

89
00:04:02,651 --> 00:04:04,986
θα δω το δεύτερο δεκαδικό
στον δεύτερο αριθμό σας.

90
00:04:05,076 --> 00:04:07,456
Πάλι αν το δικό σας είναι 1,
θα κάνω το δικό μου 2,

91
00:04:07,476 --> 00:04:09,619
αλλιώς θα το κάνω 1.

92
00:04:10,199 --> 00:04:11,214
Βλέπετε που το πάω;

93
00:04:11,274 --> 00:04:14,421
Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει
δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας.

94
00:04:14,565 --> 00:04:17,137
Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι,
π.χ. ο 143ος αριθμός;

95
00:04:17,567 --> 00:04:18,467
Όχι.

96
00:04:18,567 --> 00:04:20,854
Διότι το 143ο δεκαδικό
ψηφίο του δεκαδικού μου

97
00:04:20,854 --> 00:04:24,161
διαφέρει από το 143ο ψηφίο
του δικού σας 143ου αριθμού.

98
00:04:24,669 --> 00:04:25,896
Έτσι τον έφτιαξα.

99
00:04:26,116 --> 00:04:27,610
Η λίστα σας είναι λειψή.

100
00:04:27,610 --> 00:04:29,425
Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό.

101
00:04:29,425 --> 00:04:32,138
Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε,
μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα

102
00:04:32,154 --> 00:04:34,915
και να βρω έναν δεκαδικό,
που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα.

103
00:04:35,175 --> 00:04:37,470
Έτσι, έχουμε φτάσει
σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα:

104
00:04:37,668 --> 00:04:40,526
Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν
να καταγραφούν σε μία λίστα.

105
00:04:40,526 --> 00:04:43,808
Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο
από το άπειρο των ακεραίων αριθμών.

106
00:04:44,136 --> 00:04:46,807
Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι
με λίγους άρρητους,

107
00:04:46,901 --> 00:04:48,554
όπως την √2 ή τον π,

108
00:04:48,698 --> 00:04:49,954
το άπειρο των άρρητων

109
00:04:49,954 --> 00:04:52,753
είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο
από το άπειρο των κλασμάτων.

110
00:04:52,981 --> 00:04:55,285
Κάποιος είπε κάποτε
ότι οι ρητοί -τα κλάσματα-

111
00:04:55,615 --> 00:04:57,576
είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό.

112
00:04:58,323 --> 00:05:01,044
Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα.

113
00:05:01,468 --> 00:05:03,754
Ο Κάντορ επίσης έδειξε
ότι για κάθε απειροσύνολο,

114
00:05:03,858 --> 00:05:07,126
ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα
τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου,

115
00:05:07,240 --> 00:05:10,139
αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο
από αυτό του αρχικού συνόλου.

116
00:05:10,473 --> 00:05:12,621
Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο,

117
00:05:12,825 --> 00:05:14,826
μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο,

118
00:05:14,826 --> 00:05:17,742
φτιάχνοντας το σύνολο όλων
των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου.

119
00:05:17,742 --> 00:05:18,931
Και ένα ακόμα μεγαλύτερο,

120
00:05:18,931 --> 00:05:21,787
κατασκευάζοντας το σύνολο
όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ.

121
00:05:22,035 --> 00:05:25,930
Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος
απείρων διαφορετικών μεγεθών.

122
00:05:26,444 --> 00:05:29,205
Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν
αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι.

123
00:05:29,239 --> 00:05:32,233
Μερικοί από τους μεγαλύτερους
μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ

124
00:05:32,233 --> 00:05:33,473
αναστατώθηκαν κι αυτοί.

125
00:05:33,473 --> 00:05:36,253
Προσπάθησαν να καταστήσουν
αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας,

126
00:05:36,253 --> 00:05:38,586
να κάνουν τα Μαθηματικά
να λειτουργούν χωρίς αυτά.

127
00:05:38,586 --> 00:05:42,561
Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε
και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη

128
00:05:42,631 --> 00:05:45,970
και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του
μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία.

129
00:05:46,376 --> 00:05:48,424
Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν.

130
00:05:48,764 --> 00:05:51,811
Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές.

131
00:05:51,961 --> 00:05:54,106
Όλοι οι μαθηματικοί
ερευνητές τις αποδέχονται,

132
00:05:54,228 --> 00:05:56,067
κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει

133
00:05:56,067 --> 00:05:58,030
και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά.

134
00:05:58,178 --> 00:06:00,512
Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση.

135
00:06:01,246 --> 00:06:02,476
Υπάρχει κάτι ακόμα.

136
00:06:02,760 --> 00:06:05,280
Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο
των δεκαδικών αριθμών,

137
00:06:05,280 --> 00:06:08,615
δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο
άπειρο από αυτό των ακεραίων.

138
00:06:08,615 --> 00:06:11,505
Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν
άπειρα διαφορετικού μεγέθους

139
00:06:11,505 --> 00:06:13,132
ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα.

140
00:06:13,132 --> 00:06:15,893
Πίστευε ότι δεν υπήρχαν,
αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει.

141
00:06:15,893 --> 00:06:18,700
Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή
ως η Υπόθεση του Συνεχούς.

142
00:06:19,360 --> 00:06:21,861
Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός
Ντάβιντ Χίλμπερτ

143
00:06:21,861 --> 00:06:23,500
έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς

144
00:06:23,500 --> 00:06:26,303
ως το πιο σημαντικό άλυτο
πρόβλημα στα Μαθηματικά.

145
00:06:26,894 --> 00:06:29,402
Ο 20ος αιώνας απεφάνθη
για αυτό το πρόβλημα,

146
00:06:29,402 --> 00:06:32,609
αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο,
ριζοσπαστικό τρόπο.

147
00:06:32,973 --> 00:06:35,113
Στη δεκαετία του 1920,
ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε

148
00:06:35,113 --> 00:06:38,639
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι
η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη.

149
00:06:38,639 --> 00:06:40,939
Στη δεκαετία του 1960,
ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε

150
00:06:40,939 --> 00:06:44,318
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί
ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής.

151
00:06:44,364 --> 00:06:45,608
Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν

152
00:06:45,608 --> 00:06:48,942
ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά,
που είναι αδύνατο να απαντηθούν.

153
00:06:48,942 --> 00:06:50,655
Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα.

154
00:06:51,199 --> 00:06:54,478
Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται
ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης,

155
00:06:54,478 --> 00:06:57,237
αλλά τώρα γνωρίζουμε
ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς.

156
00:06:57,237 --> 00:07:01,227
Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν
μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.