Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού, ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα:
«Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί όσοι αριθμοί συνολικά».
«Αλήθεια;» σκέφτηκα.
Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα πολλοί και από τους δύο,
άρα μάλλον είναι ίσοι.
Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο ένα μέρος των ακέραιων αριθμών,
απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί,
άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά;
Για να δούμε πού το πήγαινε ο δάσκαλός μου,
ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.
Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων
στο δεξί και αριστερό μου χέρι;
Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα, αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό.
Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα.
Μάλιστα, πιστεύουμε ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί
των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία,
έκαναν αυτό το κόλπο.
Αν βγάλετε τα πρόβατά σας από τη στρούγκα για να βοσκήσουν,
μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν, παίρνοντας μία πέτρα για καθένα
και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία, όταν επιστρέφουν τα πρόβατα,
ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο, χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει.
Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα είναι βασικότερο από το μέτρημα:
Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο,
με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα και κανέναν όρθιο,
γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος καθισμάτων και ακροατών,
αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους.
Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος,
κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους
μπορούν να συνταιριαστούν ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο.
Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε
τους ακεραίους στη σειρά και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του.
Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή περιέχει όλους τους άρτιους
και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση.
Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι, όσοι οι ακέραιοι.
Αλλά αυτό που μας ενοχλεί ακόμα είναι η δυσφορία μας
για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών.
Αλλά σας πείθει αυτό
ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων
στα δύο μου χέρια;
Όχι, βέβαια.
Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία
και δεν μπορείτε, αυτό δεν μας πείθει για τίποτα.
Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο
με τον οποίο τα στοιχεία των δύο συνόλων συνταιριάζουν,
τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.
Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά!
Και δεν είναι προφανές ποιο να βάλουμε πρώτο
ή πώς θα εξασφαλίσουμε ότι όλα είναι στη λίστα μας.
Παρόλα αυτά, υπάρχει ένας πολύ έξυπνος τρόπος
για να φτιάξουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα.
Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ στα τέλη του 19ου αιώνα.
Πρώτα βάζουμε όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα.
Είναι όλα εκεί.
Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε τον 117/243
στην 117η γραμμή και 243η στήλη.
Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα
ξεκινώντας από πάνω αριστερά και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως,
πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2,
που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα.
Έτσι, παίρνουμε μια λίστα με όλα τα κλάσματα,
δηλαδή, δημιουργήσαμε μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα
ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα,
παρά το ότι ίσως νομίζαμε πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα.
Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον.
Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα όλοι οι πραγματικοί αριθμοί -
δηλαδή, όλοι οι αριθμοί στην πραγματική ευθεία.
Για παράδειγμα η √2 και ο π.
Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι.
Όχι επειδή δεν μπορούμε να τους αναφέρουμε,
αλλά επειδή τα κλάσματα -οι λόγοι ακεραίων αριθμών-
ονομάζονται ρητοί,
άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί, δηλαδή άρρητοι.
Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς.
Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1 αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους
και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων,
ρητών και αρρήτων;
Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς;
Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε.
Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς, αλλά ότι δεν είναι δυνατό.
Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς.
Θα σας αποδείξω ότι δεν τα έχετε καταφέρει,
εμφανίζοντας έναν δεκαδικό, που δεν είναι στη λίστα σας.
Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου ψηφίο προς ψηφίο ως εξής.
Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον αριθμό μου,
θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο στον πρώτο αριθμό σας.
Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,
αλλιώς θα το κάνω 1.
Για το δεύτερο δεκαδικό στον αριθμό μου,
θα δω το δεύτερο δεκαδικό στον δεύτερο αριθμό σας.
Πάλι αν το δικό σας είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,
αλλιώς θα το κάνω 1.
Βλέπετε που το πάω;
Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας.
Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι, π.χ. ο 143ος αριθμός;
Όχι.
Διότι το 143ο δεκαδικό ψηφίο του δεκαδικού μου
διαφέρει από το 143ο ψηφίο του δικού σας 143ου αριθμού.
Έτσι τον έφτιαξα.
Η λίστα σας είναι λειψή.
Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό.
Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε, μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα
και να βρω έναν δεκαδικό, που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα.
Έτσι, έχουμε φτάσει σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα:
Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν να καταγραφούν σε μία λίστα.
Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο από το άπειρο των ακεραίων αριθμών.
Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι με λίγους άρρητους,
όπως την √2 ή τον π,
το άπειρο των άρρητων
είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο από το άπειρο των κλασμάτων.
Κάποιος είπε κάποτε ότι οι ρητοί -τα κλάσματα-
είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό.
Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα.
Ο Κάντορ επίσης έδειξε ότι για κάθε απειροσύνολο,
ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου,
αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο από αυτό του αρχικού συνόλου.
Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο,
μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο,
φτιάχνοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου.
Και ένα ακόμα μεγαλύτερο,
κατασκευάζοντας το σύνολο όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ.
Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος απείρων διαφορετικών μεγεθών.
Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι.
Μερικοί από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ
αναστατώθηκαν κι αυτοί.
Προσπάθησαν να καταστήσουν αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας,
να κάνουν τα Μαθηματικά να λειτουργούν χωρίς αυτά.
Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη
και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία.
Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν.
Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές.
Όλοι οι μαθηματικοί ερευνητές τις αποδέχονται,
κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει
και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά.
Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση.
Υπάρχει κάτι ακόμα.
Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο των δεκαδικών αριθμών,
δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο άπειρο από αυτό των ακεραίων.
Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν άπειρα διαφορετικού μεγέθους
ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα.
Πίστευε ότι δεν υπήρχαν, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει.
Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή ως η Υπόθεση του Συνεχούς.
Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός Ντάβιντ Χίλμπερτ
έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς
ως το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα στα Μαθηματικά.
Ο 20ος αιώνας απεφάνθη για αυτό το πρόβλημα,
αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο, ριζοσπαστικό τρόπο.
Στη δεκαετία του 1920, ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη.
Στη δεκαετία του 1960, ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής.
Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν
ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά, που είναι αδύνατο να απαντηθούν.
Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα.
Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης,
αλλά τώρα γνωρίζουμε ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς.
Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.