0:00:13.999,0:00:16.762
Όταν ήμουν στην Δ' Δημοτικού,[br]ο δάσκαλος μάς είπε μια μέρα:

0:00:16.772,0:00:19.385
«Υπάρχουν τόσοι άρτιοι αριθμοί[br]όσοι αριθμοί συνολικά».

0:00:19.745,0:00:21.098
«Αλήθεια;» σκέφτηκα.

0:00:21.122,0:00:23.598
Λοιπόν, ναι, υπάρχουν άπειρα[br]πολλοί και από τους δύο,

0:00:23.598,0:00:25.878
άρα μάλλον είναι ίσοι.

0:00:25.902,0:00:28.953
Όμως οι άρτιοι αριθμοί είναι μόνο[br]ένα μέρος των ακέραιων αριθμών,

0:00:28.957,0:00:30.704
απομένουν όλοι οι περιττοί αριθμοί,

0:00:30.724,0:00:33.907
άρα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι[br]ακέραιοι από όσοι άρτιοι, σωστά;

0:00:33.907,0:00:35.909
Για να δούμε πού το πήγαινε[br]ο δάσκαλός μου,

0:00:35.909,0:00:39.111
ας σκεφτούμε πρώτα τι σημαίνει[br]ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος.

0:00:39.111,0:00:41.885
Τι εννοώ όταν λέω ότι έχω[br]τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

0:00:41.909,0:00:44.357
στο δεξί και αριστερό μου χέρι;

0:00:44.381,0:00:48.255
Φυσικά, έχω πέντε δάχτυλα σε καθένα,[br]αλλά στην ουσία είναι πολύ πιο απλό.

0:00:48.255,0:00:52.490
Δεν χρειάζεται να μετρήσω, παρά μόνο να δω[br]ότι μπορώ να τα συνταιριάξω ένα προς ένα.

0:00:52.514,0:00:54.850
Μάλιστα, πιστεύουμε[br]ότι κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί

0:00:54.850,0:00:58.287
των οποίων η γλώσσα δεν είχε λέξεις[br]για αριθμούς μεγαλύτερους του τρία,

0:00:58.287,0:00:59.483
έκαναν αυτό το κόλπο.

0:00:59.507,0:01:02.328
Αν βγάλετε τα πρόβατά σας[br]από τη στρούγκα για να βοσκήσουν,

0:01:02.328,0:01:05.938
μπορείτε να παρακολουθείτε πόσα βγήκαν,[br]παίρνοντας μία πέτρα για καθένα

0:01:05.962,0:01:09.092
και βάζοντας πίσω τις πέτρες μία-μία,[br]όταν επιστρέφουν τα πρόβατα,

0:01:09.116,0:01:12.299
ώστε γνωρίζετε αν λείπει κάποιο,[br]χωρίς πραγματικά να έχετε μετρήσει.

0:01:12.299,0:01:15.642
Άλλο παράδειγμα στο οποίο το ταίριασμα[br]είναι βασικότερο από το μέτρημα:

0:01:15.803,0:01:17.707
Αν μιλάω σε ένα γεμάτο αμφιθέατρο,

0:01:17.751,0:01:20.181
με όλα τα καθίσματα κατειλημμένα [br]και κανέναν όρθιο,

0:01:20.275,0:01:23.401
γνωρίζω ότι υπάρχουν το ίδιο πλήθος[br]καθισμάτων και ακροατών,

0:01:23.515,0:01:25.442
αν και δεν γνωρίζω το αριθμό τους.

0:01:25.672,0:01:28.390
Άρα, όταν λέμε ότι δύο σύνολα[br]έχουν το ίδιο μέγεθος,

0:01:28.390,0:01:30.389
κατά βάση εννοούμε ότι τα στοιχεία τους

0:01:30.389,0:01:33.006
μπορούν να συνταιριαστούν[br]ένα-προς-ένα με κάποιον τρόπο.

0:01:33.006,0:01:35.007
Ο δάσκαλός μου της Δ' Δημοτικού μας έδειξε

0:01:35.007,0:01:38.106
τους ακεραίους στη σειρά[br]και κάτω από τον καθένα τον διπλάσιό του.

0:01:38.106,0:01:40.947
Όπως βλέπετε, η κάτω γραμμή[br]περιέχει όλους τους άρτιους

0:01:41.201,0:01:43.156
και έχουμε μία ένα-προς-ένα αντιστοίχιση.

0:01:43.160,0:01:45.420
Δηλαδή, υπάρχουν τόσοι άρτιοι,[br]όσοι οι ακέραιοι.

0:01:45.454,0:01:47.893
Αλλά αυτό που μας ενοχλεί[br]ακόμα είναι η δυσφορία μας

0:01:47.893,0:01:51.417
για το ότι οι άρτιοι αριθμοί φαίνεται[br]να είναι μόνο μέρος όλων των αριθμών.

0:01:51.417,0:01:53.342
Αλλά σας πείθει αυτό

0:01:53.342,0:01:55.318
ότι δεν έχω τον ίδιο αριθμό δαχτύλων

0:01:55.318,0:01:56.333
στα δύο μου χέρια;

0:01:56.613,0:01:57.776
Όχι, βέβαια.

0:01:57.776,0:02:00.675
Δεν έχει σημασία αν προσπαθείτε[br]να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία

0:02:00.675,0:02:03.007
και δεν μπορείτε,[br]αυτό δεν μας πείθει για τίποτα.

0:02:03.007,0:02:04.531
Αν μπορείτε να βρείτε έναν τρόπο

0:02:04.531,0:02:07.104
με τον οποίο τα στοιχεία[br]των δύο συνόλων συνταιριάζουν,

0:02:07.104,0:02:10.099
τότε λέμε ότι αυτά τα δύο σύνολα[br]έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

0:02:10.599,0:02:15.028
Μπορείτε να φτιάξετε μια λίστα με όλα τα[br]κλάσματα; Είναι δύσκολο, υπάρχουν πολλά!

0:02:15.221,0:02:17.264
Και δεν είναι προφανές[br]ποιο να βάλουμε πρώτο

0:02:17.264,0:02:19.690
ή πώς θα εξασφαλίσουμε[br]ότι όλα είναι στη λίστα μας.

0:02:19.690,0:02:21.863
Παρόλα αυτά, υπάρχει[br]ένας πολύ έξυπνος τρόπος

0:02:21.863,0:02:24.159
για να φτιάξουμε μια λίστα[br]με όλα τα κλάσματα.

0:02:24.519,0:02:28.027
Πρώτος το έκανε ο Γκέοργκ Κάντορ[br]στα τέλη του 19ου αιώνα.

0:02:28.397,0:02:30.917
Πρώτα βάζουμε[br]όλα τα κλάσματα σε ένα πλέγμα.

0:02:31.217,0:02:32.224
Είναι όλα εκεί.

0:02:32.356,0:02:35.936
Για παράδειγμα, μπορείτε[br]να βρείτε τον 117/243

0:02:36.320,0:02:38.971
στην 117η γραμμή και 243η στήλη.

0:02:39.405,0:02:41.135
Τώρα κάνουμε μια λίστα από το πλέγμα

0:02:41.279,0:02:44.326
ξεκινώντας από πάνω αριστερά[br]και σαρώνοντας μπρος πίσω διαγωνίως,

0:02:44.490,0:02:46.479
πηδώντας κλάσματα όπως το 2/2,

0:02:46.693,0:02:49.691
που αναπαριστά τον ίδιο αριθμό[br]με κάποιον που σαρώσαμε νωρίτερα.

0:02:49.691,0:02:51.784
Έτσι, παίρνουμε μια λίστα[br]με όλα τα κλάσματα,

0:02:51.784,0:02:54.162
δηλαδή, δημιουργήσαμε[br]μια αντιστοίχιση ένα-προς-ένα

0:02:54.162,0:02:56.073
ανάμεσα στους ακεραίους και τα κλάσματα,

0:02:56.073,0:02:58.880
παρά το ότι ίσως νομίζαμε[br]πως υπάρχουν περισσότερα κλάσματα.

0:02:58.880,0:03:01.215
Ωραία. Τώρα γίνεται πραγματικά ενδιαφέρον.

0:03:01.373,0:03:04.571
Ίσως γνωρίζετε ότι δεν είναι κλάσματα[br]όλοι οι πραγματικοί αριθμοί -

0:03:04.571,0:03:06.856
δηλαδή, όλοι οι αριθμοί[br]στην πραγματική ευθεία.

0:03:06.856,0:03:08.893
Για παράδειγμα η √2 και ο π.

0:03:09.267,0:03:11.194
Αριθμοί σαν αυτούς ονομάζονται άρρητοι.

0:03:11.578,0:03:13.582
Όχι επειδή δεν μπορούμε[br]να τους αναφέρουμε,

0:03:13.582,0:03:16.279
αλλά επειδή τα κλάσματα[br]-οι λόγοι ακεραίων αριθμών-

0:03:16.297,0:03:17.858
ονομάζονται ρητοί,

0:03:17.932,0:03:20.814
άρα οι υπόλοιποι είναι μη ρητοί,[br]δηλαδή άρρητοι.

0:03:21.608,0:03:25.273
Οι άρρητοι αναπαριστώνται με άπειρου[br]πλήθους μη επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς.

0:03:25.727,0:03:28.776
Μπορούμε, να βρούμε μία 1-1[br]αντιστοίχιση ανάμεσα στους ακεραίους

0:03:28.776,0:03:31.024
και το σύνολο όλων των δεκαδικών ψηφίων,

0:03:31.024,0:03:32.256
ρητών και αρρήτων;

0:03:32.318,0:03:35.408
Μπορούμε να φτιάξουμε μία λίστα[br]με όλους τους δεκαδικούς αριθμούς;

0:03:35.408,0:03:37.075
Ο Κάντορ απέδειξε ότι δεν μπορούμε.

0:03:37.075,0:03:39.960
Όχι ότι δεν ξέρουμε πώς,[br]αλλά ότι δεν είναι δυνατό.

0:03:40.624,0:03:44.282
Ας πούμε ότι ισχυρίζεστε πως έχετε φτιάξει[br]μία λίστα με όλους τους δεκαδικούς.

0:03:44.282,0:03:46.278
Θα σας αποδείξω[br]ότι δεν τα έχετε καταφέρει,

0:03:46.278,0:03:48.897
εμφανίζοντας έναν δεκαδικό,[br]που δεν είναι στη λίστα σας.

0:03:48.977,0:03:51.652
Θα κατασκευάσω τον δεκαδικό μου[br]ψηφίο προς ψηφίο ως εξής.

0:03:51.652,0:03:53.704
Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο[br]στον αριθμό μου,

0:03:53.704,0:03:56.128
θα δω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο[br]στον πρώτο αριθμό σας.

0:03:56.128,0:03:58.314
Αν είναι 1, θα κάνω το δικό μου 2,

0:03:58.594,0:04:00.252
αλλιώς θα το κάνω 1.

0:04:00.784,0:04:02.651
Για το δεύτερο δεκαδικό[br]στον αριθμό μου,

0:04:02.651,0:04:04.986
θα δω το δεύτερο δεκαδικό[br]στον δεύτερο αριθμό σας.

0:04:05.076,0:04:07.456
Πάλι αν το δικό σας είναι 1,[br]θα κάνω το δικό μου 2,

0:04:07.476,0:04:09.619
αλλιώς θα το κάνω 1.

0:04:10.199,0:04:11.214
Βλέπετε που το πάω;

0:04:11.274,0:04:14.421
Ο δεκαδικός που έχω δημιουργήσει[br]δεν μπορεί να είναι στη λίστα σας.

0:04:14.565,0:04:17.137
Γιατί; Δεν θα μπορούσε να είναι,[br]π.χ. ο 143ος αριθμός;

0:04:17.567,0:04:18.467
Όχι.

0:04:18.567,0:04:20.854
Διότι το 143ο δεκαδικό[br]ψηφίο του δεκαδικού μου

0:04:20.854,0:04:24.161
διαφέρει από το 143ο ψηφίο[br]του δικού σας 143ου αριθμού.

0:04:24.669,0:04:25.896
Έτσι τον έφτιαξα.

0:04:26.116,0:04:27.610
Η λίστα σας είναι λειψή.

0:04:27.610,0:04:29.425
Δεν περιέχει τον δεκαδικό μου αριθμό.

0:04:29.425,0:04:32.138
Ό,τι λίστα κι αν μου δώσετε,[br]μπορώ να κάνω το ίδιο πράγμα

0:04:32.154,0:04:34.915
και να βρω έναν δεκαδικό,[br]που δεν ανήκει σε αυτήν τη λίστα.

0:04:35.175,0:04:37.470
Έτσι, έχουμε φτάσει[br]σε ένα εκπληκτικό συμπέρασμα:

0:04:37.668,0:04:40.526
Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν μπορούν[br]να καταγραφούν σε μία λίστα.

0:04:40.526,0:04:43.808
Αναπαριστούν ένα μεγαλύτερο άπειρο[br]από το άπειρο των ακεραίων αριθμών.

0:04:44.136,0:04:46.807
Άρα αν και είμαστε εξοικειωμένοι[br]με λίγους άρρητους,

0:04:46.901,0:04:48.554
όπως την √2 ή τον π,

0:04:48.698,0:04:49.954
το άπειρο των άρρητων

0:04:49.954,0:04:52.753
είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο[br]από το άπειρο των κλασμάτων.

0:04:52.981,0:04:55.285
Κάποιος είπε κάποτε[br]ότι οι ρητοί -τα κλάσματα-

0:04:55.615,0:04:57.576
είναι σαν τα άστρα στον νυχτερινό ουρανό.

0:04:58.323,0:05:01.044
Οι άρρητοι είναι σαν τη μαυρίλα.

0:05:01.468,0:05:03.754
Ο Κάντορ επίσης έδειξε[br]ότι για κάθε απειροσύνολο,

0:05:03.858,0:05:07.126
ένα νέο σύνολο, που περιέχει όλα[br]τα υποσύνολα του αρχικού συνόλου,

0:05:07.240,0:05:10.139
αναπαριστά ένα μεγαλύτερο άπειρο[br]από αυτό του αρχικού συνόλου.

0:05:10.473,0:05:12.621
Δηλαδή, άπαξ και έχετε ένα άπειρο,

0:05:12.825,0:05:14.826
μπορείτε πάντα να φτιάξετε ένα μεγαλύτερο,

0:05:14.826,0:05:17.742
φτιάχνοντας το σύνολο όλων[br]των υποσυνόλων του αρχικού συνόλου.

0:05:17.742,0:05:18.931
Και ένα ακόμα μεγαλύτερο,

0:05:18.931,0:05:21.787
κατασκευάζοντας το σύνολο[br]όλων των υποσυνόλων αυτού κ.ο.κ.

0:05:22.035,0:05:25.930
Έτσι, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος[br]απείρων διαφορετικών μεγεθών.

0:05:26.444,0:05:29.205
Αν αυτές οι ιδέες σας φέρνουν[br]αμηχανία, δεν είστε οι μόνοι.

0:05:29.239,0:05:32.233
Μερικοί από τους μεγαλύτερους[br]μαθηματικούς της εποχής του Κάντορ

0:05:32.233,0:05:33.473
αναστατώθηκαν κι αυτοί.

0:05:33.473,0:05:36.253
Προσπάθησαν να καταστήσουν[br]αυτά τα άπειρα άνευ σημασίας,

0:05:36.253,0:05:38.586
να κάνουν τα Μαθηματικά[br]να λειτουργούν χωρίς αυτά.

0:05:38.586,0:05:42.561
Ο ίδιος ο Κάντορ κατακρίθηκε[br]και έπεσε σε βαθιά κατάθλιψη

0:05:42.631,0:05:45.970
και πέρασε το δεύτερο μισό της ζωής του[br]μπαινοβγαίνοντας σε ψυχιατρεία.

0:05:46.376,0:05:48.424
Τελικά όμως, οι ιδέες του επικράτησαν.

0:05:48.764,0:05:51.811
Σήμερα θεωρούνται θεμελιώδεις και λαμπρές.

0:05:51.961,0:05:54.106
Όλοι οι μαθηματικοί[br]ερευνητές τις αποδέχονται,

0:05:54.228,0:05:56.067
κάθε φοιτητής Μαθηματικών τις μαθαίνει

0:05:56.067,0:05:58.030
και σας τις εξήγησα σε μερικά λεπτά.

0:05:58.178,0:06:00.512
Ίσως κάποια μέρα θα είναι κοινή γνώση.

0:06:01.246,0:06:02.476
Υπάρχει κάτι ακόμα.

0:06:02.760,0:06:05.280
Μόλις επισημάναμε ότι το σύνολο[br]των δεκαδικών αριθμών,

0:06:05.280,0:06:08.615
δηλαδή των πραγματικών, είναι μεγαλύτερο[br]άπειρο από αυτό των ακεραίων.

0:06:08.615,0:06:11.505
Ο Κάντορ αναρωτήθηκε αν υπάρχουν[br]άπειρα διαφορετικού μεγέθους

0:06:11.505,0:06:13.132
ανάμεσα σε αυτά τα δύο άπειρα.

0:06:13.132,0:06:15.893
Πίστευε ότι δεν υπήρχαν,[br]αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει.

0:06:15.893,0:06:18.700
Η εικασία του Κάντορ έγινε γνωστή[br]ως η Υπόθεση του Συνεχούς.

0:06:19.360,0:06:21.861
Το 1900 ο μεγάλος μαθηματικός[br]Ντάβιντ Χίλμπερτ

0:06:21.861,0:06:23.500
έθεσε την Υπόθεση του Συνεχούς

0:06:23.500,0:06:26.303
ως το πιο σημαντικό άλυτο[br]πρόβλημα στα Μαθηματικά.

0:06:26.894,0:06:29.402
Ο 20ος αιώνας απεφάνθη[br]για αυτό το πρόβλημα,

0:06:29.402,0:06:32.609
αλλά με έναν εντελώς αναπάντεχο,[br]ριζοσπαστικό τρόπο.

0:06:32.973,0:06:35.113
Στη δεκαετία του 1920,[br]ο Κερτ Γκέντελ απέδειξε

0:06:35.113,0:06:38.639
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ότι[br]η Υπόθεση του Συνεχούς είναι εσφαλμένη.

0:06:38.639,0:06:40.939
Στη δεκαετία του 1960,[br]ο Πολ Τζ. Κόεν απέδειξε

0:06:40.939,0:06:44.318
ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί[br]ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής.

0:06:44.364,0:06:45.608
Αυτά τα δύο μαζί σημαίνουν

0:06:45.608,0:06:48.942
ότι υπάρχουν ερωτήματα στα Μαθηματικά,[br]που είναι αδύνατο να απαντηθούν.

0:06:48.942,0:06:50.655
Ένα αναπάντεχο συμπέρασμα.

0:06:51.199,0:06:54.478
Τα Μαθηματικά δίκαια θεωρούνται[br]ο κολοφώνας της ανθρώπινης διανόησης,

0:06:54.478,0:06:57.237
αλλά τώρα γνωρίζουμε[br]ότι ακόμα κι αυτά έχουν περιορισμούς.

0:06:57.237,0:07:01.227
Ακόμα κι έτσι, τα Μαθηματικά μάς δίνουν[br]μερικά εκπληκτικά πράγματα να σκεφτούμε.