ทำความเข้าใจกับจำนวนอตรรกยะ - กาเนช ไพย์ (Ganesh Pai)
-
0:07 - 0:09เช่นเดียวกับฮีโร่มากมายในเทพนิกายกรีก
-
0:09 - 0:14นักปราชญ์นามฮิปปาซุส (Hippasus)
ถูกลงโทษอย่างร้ายแรงโดยเทพเจ้า -
0:14 - 0:16แต่ว่าเขาทำอะไรผิดหรือ
-
0:16 - 0:17เขาฆ่าคนหรือเปล่า
-
0:17 - 0:19หรือไปขัดขวางพิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์เข้า
-
0:19 - 0:24ไม่หรอก ความผิดของเขาก็คือ
การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ -
0:24 - 0:27การค้นพบจำนวนอตรรกยะ
-
0:27 - 0:30ฮิปปาซุสเป็นสมาชิกของกลุ่ม
ที่ชื่อว่านักคณิตศาสตร์ พิธากอเรียน -
0:30 - 0:33พวกเขาเคารพนับถือในตัวเลข
-
0:33 - 0:35สุภาษิตของพวกเขาที่ว่า "ทุกสิ่งคือจำนวน"
-
0:35 - 0:39เสนอว่าจำนวน
เป็นโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาล -
0:39 - 0:43และเชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่าง
ตั้งแต่จักรวาลวิทยาและอภิปรัชญา -
0:43 - 0:46ไปจนถึงดนตรีและหลักจริยธรรม
ล้วนก็เป็นไปตามกฎที่อยู่ชั่วนิรันดร์ -
0:46 - 0:50ซึ่งสามารถอธิบายได้
ด้วยเศษส่วนของจำนวน -
0:50 - 0:53ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนใด ๆ ก็สามารถ
ถูกเขียนให้ในรูปของเศษส่วนได้ -
0:53 - 0:565 คือ 5 ส่วน 1
-
0:56 - 0:590.5 คือ 1 ส่วน 2
-
0:59 - 1:01แบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ
-
1:01 - 1:08แม้แต่ทศนิยมซ้ำที่มีตัวเลขไม่รู้จบเช่นนี้
ก็ยังสามารถแสดงได้ในรูป 34 ส่วน 45 -
1:08 - 1:11ปัจจุบันเราเรียกเลขทั้งหมดเหล่านี้ว่า
จำนวนตรรกยะ -
1:11 - 1:16แต่ฮิปปาซุสได้ค้นพบตัวเลขหนึ่ง
ซึ่งขัดกับกฎตายตัวนี้ -
1:16 - 1:19ตัวเลขซึ่งไม่ควรจะมีอยู่จริง
-
1:19 - 1:21ปัญหานี้เริ่มจากรูปร่างทั่ว ๆ ไป
-
1:21 - 1:25สี่เหลี่ยมจตุรัสที่แต่ละด้านยาวหนึ่งหน่วย
-
1:25 - 1:27ตามทฤษฎีของพิธากอรัส
-
1:27 - 1:30ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปนี้
ควรมีค่าเท่ากับรากที่สองของสอง -
1:30 - 1:36แต่ถึงจะแล้ว ฮิปปาซุสก็ไม่สามารถ
เขียนมันให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ -
1:36 - 1:40แทนที่จะยอมแพ้ เขาตัดสินใจ
ที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นไปไม่ได้ -
1:40 - 1:44ฮิปปาซุสเริ่มจากการสมมติว่า
แนวคิดของพิธากอเรียนคือสิ่งที่ถูกต้อง -
1:44 - 1:49คือรากที่สองของสองสามารถถูกเขียน
ออกมาในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ -
1:49 - 1:53เขาตั้งชื่อจำนวนเต็มสมมติทั้งสองว่า
p และ q -
1:53 - 1:56และสมมติให้เศษส่วนนี้
ลดอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดของมัน -
1:56 - 2:00ซึ่ง p และ q จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
-
2:00 - 2:03และเพื่อที่จะพิสูจน์ว่า
รากที่สองของสองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ -
2:03 - 2:08ฮิปปาซุสจะต้องแสดงให้ได้ว่า
p และ q ไม่มีอยู่จริง -
2:08 - 2:11เขาจึงคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ ด้วย q
-
2:11 - 2:13และใส่ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
-
2:13 - 2:15ซึ่งทำให้ได้สมการออกมาเป็นดังนี้
-
2:15 - 2:19การคูณจำนวนใด ๆ ด้วย 2
จะทำให้จำนวนนั้นเป็นเลขคู่ -
2:19 - 2:22ฉะนั้น p ยกกำลัง 2 ก็ควรจะเป็นเลขคู่ด้วย
-
2:22 - 2:25ซึ่งนั่นจะไม่เป็นจริง
ถ้าหาก p เป็นเลขคี่อยู่แล้ว -
2:25 - 2:28เพราะเลขคี่ใด ๆ เมื่อคูณด้วยตัวเองเข้าไป
ก็ยังได้ผลเป็นเลขคี่อยู่ดี -
2:28 - 2:31ฉะนั้น p จึงเป็นเลขคู่เช่นกัน
-
2:31 - 2:36ดังนั้น p จึงสามารถถูกแสดงในรูป 2a
เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม -
2:36 - 2:39แทนที่มันเข้าไปในสมการ
และทำให้เป็นขั้นต่ำ -
2:39 - 2:43จะได้ q ยกกำลังสอง เท่ากับ
สอง a ยกกำลังสอง -
2:43 - 2:47อีกครั้งหนึ่ง เมื่อนำ 2 คูณ จำนวนใด ๆ
จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่ -
2:47 - 2:50ฉะนั้น q ยกกำลัง 2 ก็ต้องเป็นเลขคู่
-
2:50 - 2:52และ q เองก็ต้องเป็นเลขคู่เช่นกัน
-
2:52 - 2:54นั่นทำให้ทั้ง p และ q ต่างก็เป็นเลขคู่
-
2:54 - 2:58แต่หากว่าสิ่งดังกล่าวเป็นจริง
สองจำนวนนี้ก็จะมีตัวประกอบร่วมเป็น 2 -
2:58 - 3:01ซึ่งมันจะไปขัดกับข้อกำหนดเบื้องต้น
-
3:01 - 3:05และนี่คือวิธีที่ฮิปปาซุสสรุปได้ว่า
เศษส่วนดังกล่าวนี้ไม่มีอยู่จริง -
3:05 - 3:07เราเรียกมันว่า การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง
-
3:07 - 3:08และตามตำนานกล่าวว่า
-
3:08 - 3:11เทพเจ้าไม่ได้พอใจนักที่โดนหักล้าง
-
3:11 - 3:15ที่น่าสนใจก็คือ ถึงแม้เราจะไม่สามารถ
เขียนจำนวนอตรรกยะ -
3:15 - 3:17ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้
-
3:17 - 3:21มันเป็นไปได้ที่จะหาตำแหน่ง
บนเส้นจำนวนได้อย่างแน่นอน -
3:21 - 3:22อย่างเช่น รากที่ 2
-
3:22 - 3:28ที่เราต้องทำก็คือวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก
ที่มีทั้งสองด้านยาวหนึ่งหน่วย -
3:28 - 3:33ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวเท่ากับรากที่สอง
ซึ่งสามารถทบลงมาบนเส้นจำนวนได้ -
3:33 - 3:35แล้วเราก็สร้างสามเหลี่ยมุมฉากรูปใหม่
-
3:35 - 3:38โดยใช้มันเป็นความยาวฐาน
และให้ความสูงเป็นหนึ่งหน่วย -
3:38 - 3:41จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีความยาว
เท่ากับรากที่สองของสาม -
3:41 - 3:44ซึ่งสามารถทบลงมา
วางบนเส้นจำนวนได้เช่นกัน -
3:44 - 3:49สิ่งสำคัญก็คือ ทศนิยมและเศษส่วน
เป็นวิธีเดียวที่จะแสดงค่าของจำนวน -
3:49 - 3:53รากที่สองของสองคือความยาวด้านตรงข้าม
ของสามเหลี่ยมมุมฉาก -
3:53 - 3:55ที่มีด้านประกอบยาวหนึ่งหน่วย
-
3:55 - 3:58จำนวนอตรรกยะ pi ที่โด่งดังก็เช่นกัน
-
3:58 - 4:01มันจะมีค่าเท่ากับสิ่งที่มันแสดงถึงเสมอ
-
4:01 - 4:05นั่นก็คือเศษส่วนของเส้นรอบวง
กับเส้นผ่านศูนย์กลาง -
4:05 - 4:08จำนวนโดยประมาณ อย่าง 22 ส่วน 7
-
4:08 - 4:14หรือ 355 ส่วน 113
ต่างก็ไม่ได้มีค่าเท่ากับ pi ทีเดียว -
4:14 - 4:16เราไม่มีทางรู้เลยว่าอะไรเกิดขึ้นฮิปปาซุส
-
4:16 - 4:21แต่สิ่งที่เรารู้ก็คือ การค้นพบของเขา
ได้ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์ -
4:21 - 4:25ฉะนั้น ไม่ว่าตำนานจะบอกเราว่าอย่างไร
จงอย่ากลัวที่จะสำรวจสิ่งที่เป็นไปไม่ได้
- Title:
- ทำความเข้าใจกับจำนวนอตรรกยะ - กาเนช ไพย์ (Ganesh Pai)
- Speaker:
- กาเนช ไพย์ (Ganesh Pai)
- Description:
-
more » « less
พบกับบทเรียนฉบับเต็มได้ที่: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
เช่นเดียวกับฮีโร่มากมายในเทพนิยายกรีก ลือกันว่านักปรัชญานามฮิปปาซุสถูกลงโทษอย่างร้ายแรงโดยเทพเจ้า แต่แต่เขาทำอะไรผิดหรือ เขาฆ่าคนหรือเปล่า หรือไปขัดขวางพิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์เข้า ไม่หรอก ความผิดของเขาคือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ในสิ่งที่ไม่เคยพิสูจน์ได้ กาเนช ไพย์ (Ganesh Pai) อธิบายถึงประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์เบื้องหลังจำนวนอตรรกยะ
บทเรียนโดย Ganesh Pai แอนิเมชันโดย Anton Trofimov
- Video Language:
- English
- Team:
closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
|
Kelwalin Dhanasarnsombut approved Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Kelwalin Dhanasarnsombut accepted Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Kelwalin Dhanasarnsombut declined Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Kelwalin Dhanasarnsombut edited Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
Sirasith Sopasilapa edited Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Sirasith Sopasilapa edited Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Sirasith Sopasilapa edited Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Sirasith Sopasilapa edited Thai subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai |