เช่นเดียวกับฮีโร่มากมายในเทพนิกายกรีก
นักปราชญ์นามฮิปปาซุส (Hippasus) ถูกลงโทษอย่างร้ายแรงโดยเทพเจ้า
แต่ว่าเขาทำอะไรผิดหรือ
เขาฆ่าคนหรือเปล่า
หรือไปขัดขวางพิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์เข้า
ไม่หรอก ความผิดของเขาก็คือ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
การค้นพบจำนวนอตรรกยะ
ฮิปปาซุสเป็นสมาชิกของกลุ่ม ที่ชื่อว่านักคณิตศาสตร์ พิธากอเรียน
พวกเขาเคารพนับถือในตัวเลข
สุภาษิตของพวกเขาที่ว่า "ทุกสิ่งคือจำนวน"
เสนอว่าจำนวน เป็นโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาล
และเชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่าง ตั้งแต่จักรวาลวิทยาและอภิปรัชญา
ไปจนถึงดนตรีและหลักจริยธรรม ล้วนก็เป็นไปตามกฎที่อยู่ชั่วนิรันดร์
ซึ่งสามารถอธิบายได้ ด้วยเศษส่วนของจำนวน
ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนใด ๆ ก็สามารถ ถูกเขียนให้ในรูปของเศษส่วนได้
5 คือ 5 ส่วน 1
0.5 คือ 1 ส่วน 2
แบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ
แม้แต่ทศนิยมซ้ำที่มีตัวเลขไม่รู้จบเช่นนี้ ก็ยังสามารถแสดงได้ในรูป 34 ส่วน 45
ปัจจุบันเราเรียกเลขทั้งหมดเหล่านี้ว่า จำนวนตรรกยะ
แต่ฮิปปาซุสได้ค้นพบตัวเลขหนึ่ง ซึ่งขัดกับกฎตายตัวนี้
ตัวเลขซึ่งไม่ควรจะมีอยู่จริง
ปัญหานี้เริ่มจากรูปร่างทั่ว ๆ ไป
สี่เหลี่ยมจตุรัสที่แต่ละด้านยาวหนึ่งหน่วย
ตามทฤษฎีของพิธากอรัส
ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปนี้ ควรมีค่าเท่ากับรากที่สองของสอง
แต่ถึงจะแล้ว ฮิปปาซุสก็ไม่สามารถ เขียนมันให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้
แทนที่จะยอมแพ้ เขาตัดสินใจ ที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นไปไม่ได้
ฮิปปาซุสเริ่มจากการสมมติว่า แนวคิดของพิธากอเรียนคือสิ่งที่ถูกต้อง
คือรากที่สองของสองสามารถถูกเขียน ออกมาในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้
เขาตั้งชื่อจำนวนเต็มสมมติทั้งสองว่า p และ q
และสมมติให้เศษส่วนนี้ ลดอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดของมัน
ซึ่ง p และ q จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
และเพื่อที่จะพิสูจน์ว่า รากที่สองของสองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
ฮิปปาซุสจะต้องแสดงให้ได้ว่า p และ q ไม่มีอยู่จริง
เขาจึงคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ ด้วย q
และใส่ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
ซึ่งทำให้ได้สมการออกมาเป็นดังนี้
การคูณจำนวนใด ๆ ด้วย 2 จะทำให้จำนวนนั้นเป็นเลขคู่
ฉะนั้น p ยกกำลัง 2 ก็ควรจะเป็นเลขคู่ด้วย
ซึ่งนั่นจะไม่เป็นจริง ถ้าหาก p เป็นเลขคี่อยู่แล้ว
เพราะเลขคี่ใด ๆ เมื่อคูณด้วยตัวเองเข้าไป ก็ยังได้ผลเป็นเลขคี่อยู่ดี
ฉะนั้น p จึงเป็นเลขคู่เช่นกัน
ดังนั้น p จึงสามารถถูกแสดงในรูป 2a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
แทนที่มันเข้าไปในสมการ และทำให้เป็นขั้นต่ำ
จะได้ q ยกกำลังสอง เท่ากับ สอง a ยกกำลังสอง
อีกครั้งหนึ่ง เมื่อนำ 2 คูณ จำนวนใด ๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่
ฉะนั้น q ยกกำลัง 2 ก็ต้องเป็นเลขคู่
และ q เองก็ต้องเป็นเลขคู่เช่นกัน
นั่นทำให้ทั้ง p และ q ต่างก็เป็นเลขคู่
แต่หากว่าสิ่งดังกล่าวเป็นจริง สองจำนวนนี้ก็จะมีตัวประกอบร่วมเป็น 2
ซึ่งมันจะไปขัดกับข้อกำหนดเบื้องต้น
และนี่คือวิธีที่ฮิปปาซุสสรุปได้ว่า เศษส่วนดังกล่าวนี้ไม่มีอยู่จริง
เราเรียกมันว่า การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง
และตามตำนานกล่าวว่า
เทพเจ้าไม่ได้พอใจนักที่โดนหักล้าง
ที่น่าสนใจก็คือ ถึงแม้เราจะไม่สามารถ เขียนจำนวนอตรรกยะ
ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้
มันเป็นไปได้ที่จะหาตำแหน่ง บนเส้นจำนวนได้อย่างแน่นอน
อย่างเช่น รากที่ 2
ที่เราต้องทำก็คือวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีทั้งสองด้านยาวหนึ่งหน่วย
ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวเท่ากับรากที่สอง ซึ่งสามารถทบลงมาบนเส้นจำนวนได้
แล้วเราก็สร้างสามเหลี่ยมุมฉากรูปใหม่
โดยใช้มันเป็นความยาวฐาน และให้ความสูงเป็นหนึ่งหน่วย
จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีความยาว เท่ากับรากที่สองของสาม
ซึ่งสามารถทบลงมา วางบนเส้นจำนวนได้เช่นกัน
สิ่งสำคัญก็คือ ทศนิยมและเศษส่วน เป็นวิธีเดียวที่จะแสดงค่าของจำนวน
รากที่สองของสองคือความยาวด้านตรงข้าม ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
ที่มีด้านประกอบยาวหนึ่งหน่วย
จำนวนอตรรกยะ pi ที่โด่งดังก็เช่นกัน
มันจะมีค่าเท่ากับสิ่งที่มันแสดงถึงเสมอ
นั่นก็คือเศษส่วนของเส้นรอบวง กับเส้นผ่านศูนย์กลาง
จำนวนโดยประมาณ อย่าง 22 ส่วน 7
หรือ 355 ส่วน 113 ต่างก็ไม่ได้มีค่าเท่ากับ pi ทีเดียว
เราไม่มีทางรู้เลยว่าอะไรเกิดขึ้นฮิปปาซุส
แต่สิ่งที่เรารู้ก็คือ การค้นพบของเขา ได้ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์
ฉะนั้น ไม่ว่าตำนานจะบอกเราว่าอย่างไร จงอย่ากลัวที่จะสำรวจสิ่งที่เป็นไปไม่ได้