0:00:06.951,0:00:08.713
เช่นเดียวกับฮีโร่มากมายในเทพนิกายกรีก

0:00:08.713,0:00:13.930
นักปราชญ์นามฮิปปาซุส (Hippasus)[br]ถูกลงโทษอย่างร้ายแรงโดยเทพเจ้า

0:00:13.930,0:00:15.606
แต่ว่าเขาทำอะไรผิดหรือ

0:00:15.606,0:00:16.957
เขาฆ่าคนหรือเปล่า

0:00:16.957,0:00:19.474
หรือไปขัดขวางพิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์เข้า

0:00:19.474,0:00:23.524
ไม่หรอก ความผิดของเขาก็คือ[br]การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

0:00:23.524,0:00:26.583
การค้นพบจำนวนอตรรกยะ

0:00:26.583,0:00:30.311
ฮิปปาซุสเป็นสมาชิกของกลุ่ม[br]ที่ชื่อว่านักคณิตศาสตร์ พิธากอเรียน

0:00:30.311,0:00:32.922
พวกเขาเคารพนับถือในตัวเลข

0:00:32.922,0:00:35.463
สุภาษิตของพวกเขาที่ว่า "ทุกสิ่งคือจำนวน"

0:00:35.463,0:00:39.013
เสนอว่าจำนวน[br]เป็นโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาล

0:00:39.013,0:00:43.317
และเชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่าง[br]ตั้งแต่จักรวาลวิทยาและอภิปรัชญา

0:00:43.317,0:00:46.477
ไปจนถึงดนตรีและหลักจริยธรรม [br]ล้วนก็เป็นไปตามกฎที่อยู่ชั่วนิรันดร์

0:00:46.477,0:00:50.175
ซึ่งสามารถอธิบายได้[br]ด้วยเศษส่วนของจำนวน

0:00:50.175,0:00:53.488
ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนใด ๆ ก็สามารถ[br]ถูกเขียนให้ในรูปของเศษส่วนได้

0:00:53.488,0:00:55.995
5 คือ 5 ส่วน 1

0:00:55.995,0:00:59.085
0.5 คือ 1 ส่วน 2

0:00:59.085,0:01:00.505
แบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ

0:01:00.505,0:01:07.907
แม้แต่ทศนิยมซ้ำที่มีตัวเลขไม่รู้จบเช่นนี้[br]ก็ยังสามารถแสดงได้ในรูป 34 ส่วน 45

0:01:07.907,0:01:11.421
ปัจจุบันเราเรียกเลขทั้งหมดเหล่านี้ว่า [br]จำนวนตรรกยะ

0:01:11.421,0:01:16.051
แต่ฮิปปาซุสได้ค้นพบตัวเลขหนึ่ง[br]ซึ่งขัดกับกฎตายตัวนี้

0:01:16.051,0:01:18.825
ตัวเลขซึ่งไม่ควรจะมีอยู่จริง

0:01:18.825,0:01:21.395
ปัญหานี้เริ่มจากรูปร่างทั่ว ๆ ไป

0:01:21.395,0:01:25.105
สี่เหลี่ยมจตุรัสที่แต่ละด้านยาวหนึ่งหน่วย

0:01:25.105,0:01:26.898
ตามทฤษฎีของพิธากอรัส

0:01:26.898,0:01:30.183
ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปนี้[br]ควรมีค่าเท่ากับรากที่สองของสอง

0:01:30.183,0:01:35.528
แต่ถึงจะแล้ว ฮิปปาซุสก็ไม่สามารถ[br]เขียนมันให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้

0:01:35.528,0:01:39.839
แทนที่จะยอมแพ้ เขาตัดสินใจ[br]ที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นไปไม่ได้

0:01:39.839,0:01:44.196
ฮิปปาซุสเริ่มจากการสมมติว่า[br]แนวคิดของพิธากอเรียนคือสิ่งที่ถูกต้อง

0:01:44.196,0:01:49.145
คือรากที่สองของสองสามารถถูกเขียน[br]ออกมาในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้

0:01:49.145,0:01:52.981
เขาตั้งชื่อจำนวนเต็มสมมติทั้งสองว่า[br]p และ q

0:01:52.981,0:01:56.358
และสมมติให้เศษส่วนนี้[br]ลดอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดของมัน

0:01:56.358,0:01:59.957
ซึ่ง p และ q จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

0:01:59.957,0:02:02.987
และเพื่อที่จะพิสูจน์ว่า [br]รากที่สองของสองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

0:02:02.987,0:02:08.074
ฮิปปาซุสจะต้องแสดงให้ได้ว่า[br]p และ q ไม่มีอยู่จริง

0:02:08.074,0:02:11.422
เขาจึงคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ ด้วย q

0:02:11.422,0:02:13.291
และใส่ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

0:02:13.291,0:02:15.320
ซึ่งทำให้ได้สมการออกมาเป็นดังนี้

0:02:15.320,0:02:19.274
การคูณจำนวนใด ๆ ด้วย 2[br]จะทำให้จำนวนนั้นเป็นเลขคู่

0:02:19.274,0:02:22.332
ฉะนั้น p ยกกำลัง 2 ก็ควรจะเป็นเลขคู่ด้วย

0:02:22.332,0:02:24.715
ซึ่งนั่นจะไม่เป็นจริง [br]ถ้าหาก p เป็นเลขคี่อยู่แล้ว

0:02:24.715,0:02:28.154
เพราะเลขคี่ใด ๆ เมื่อคูณด้วยตัวเองเข้าไป[br]ก็ยังได้ผลเป็นเลขคี่อยู่ดี

0:02:28.154,0:02:30.702
ฉะนั้น p จึงเป็นเลขคู่เช่นกัน

0:02:30.702,0:02:36.176
ดังนั้น p จึงสามารถถูกแสดงในรูป 2a [br]เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม

0:02:36.176,0:02:39.074
แทนที่มันเข้าไปในสมการ [br]และทำให้เป็นขั้นต่ำ

0:02:39.074,0:02:43.248
จะได้ q ยกกำลังสอง เท่ากับ [br]สอง a ยกกำลังสอง

0:02:43.248,0:02:47.180
อีกครั้งหนึ่ง เมื่อนำ 2 คูณ จำนวนใด ๆ [br]จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่

0:02:47.180,0:02:49.921
ฉะนั้น q ยกกำลัง 2 ก็ต้องเป็นเลขคู่

0:02:49.921,0:02:52.012
และ q เองก็ต้องเป็นเลขคู่เช่นกัน

0:02:52.012,0:02:54.393
นั่นทำให้ทั้ง p และ q ต่างก็เป็นเลขคู่

0:02:54.393,0:02:57.710
แต่หากว่าสิ่งดังกล่าวเป็นจริง[br]สองจำนวนนี้ก็จะมีตัวประกอบร่วมเป็น 2

0:02:57.710,0:03:00.576
ซึ่งมันจะไปขัดกับข้อกำหนดเบื้องต้น

0:03:00.576,0:03:04.796
และนี่คือวิธีที่ฮิปปาซุสสรุปได้ว่า[br]เศษส่วนดังกล่าวนี้ไม่มีอยู่จริง

0:03:04.796,0:03:06.756
เราเรียกมันว่า การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

0:03:06.756,0:03:08.234
และตามตำนานกล่าวว่า

0:03:08.234,0:03:11.453
เทพเจ้าไม่ได้พอใจนักที่โดนหักล้าง

0:03:11.453,0:03:14.928
ที่น่าสนใจก็คือ ถึงแม้เราจะไม่สามารถ[br]เขียนจำนวนอตรรกยะ

0:03:14.928,0:03:16.802
ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้

0:03:16.802,0:03:20.891
มันเป็นไปได้ที่จะหาตำแหน่ง[br]บนเส้นจำนวนได้อย่างแน่นอน

0:03:20.891,0:03:22.149
อย่างเช่น รากที่ 2

0:03:22.149,0:03:27.844
ที่เราต้องทำก็คือวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก[br]ที่มีทั้งสองด้านยาวหนึ่งหน่วย

0:03:27.844,0:03:32.596
ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวเท่ากับรากที่สอง[br]ซึ่งสามารถทบลงมาบนเส้นจำนวนได้

0:03:32.596,0:03:35.144
แล้วเราก็สร้างสามเหลี่ยมุมฉากรูปใหม่

0:03:35.144,0:03:38.491
โดยใช้มันเป็นความยาวฐาน[br]และให้ความสูงเป็นหนึ่งหน่วย

0:03:38.491,0:03:41.135
จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีความยาว[br]เท่ากับรากที่สองของสาม

0:03:41.135,0:03:43.932
ซึ่งสามารถทบลงมา[br]วางบนเส้นจำนวนได้เช่นกัน

0:03:43.932,0:03:48.953
สิ่งสำคัญก็คือ ทศนิยมและเศษส่วน[br]เป็นวิธีเดียวที่จะแสดงค่าของจำนวน

0:03:48.953,0:03:52.948
รากที่สองของสองคือความยาวด้านตรงข้าม[br]ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

0:03:52.948,0:03:54.875
ที่มีด้านประกอบยาวหนึ่งหน่วย

0:03:54.875,0:03:58.259
จำนวนอตรรกยะ pi ที่โด่งดังก็เช่นกัน

0:03:58.259,0:04:01.128
มันจะมีค่าเท่ากับสิ่งที่มันแสดงถึงเสมอ

0:04:01.128,0:04:04.570
นั่นก็คือเศษส่วนของเส้นรอบวง[br]กับเส้นผ่านศูนย์กลาง

0:04:04.570,0:04:07.565
จำนวนโดยประมาณ อย่าง 22 ส่วน 7

0:04:07.565,0:04:13.707
หรือ 355 ส่วน 113 [br]ต่างก็ไม่ได้มีค่าเท่ากับ pi ทีเดียว

0:04:13.707,0:04:16.218
เราไม่มีทางรู้เลยว่าอะไรเกิดขึ้นฮิปปาซุส

0:04:16.218,0:04:20.665
แต่สิ่งที่เรารู้ก็คือ การค้นพบของเขา[br]ได้ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์

0:04:20.665,0:04:24.936
ฉะนั้น ไม่ว่าตำนานจะบอกเราว่าอย่างไร[br]จงอย่ากลัวที่จะสำรวจสิ่งที่เป็นไปไม่ได้