Davanje smisla iracionalnim brojevima - Ganeš Pai
-
0:07 - 0:09Kao mnogi heroji grčkih mitova,
-
0:09 - 0:14za filozofa Hipasusa pričalo se
da su ga bogovi kaznili na smrt. -
0:14 - 0:16Ali šta je bio njegov zločin?
-
0:16 - 0:17Da li je ubio goste,
-
0:17 - 0:19ili prekinuo sveti ritual?
-
0:19 - 0:24Ne, Hipasusov prestup je bila
matematička teorema: -
0:24 - 0:27otkriće iracionalnih brojeva.
-
0:27 - 0:30Hipasus je pripadao grupi
zvanoj Pitagorini matematičari -
0:30 - 0:33koja je imala religijsko poštovanje
prema brojevima. -
0:33 - 0:35Izreka "Sve je u brojevima"
-
0:35 - 0:39navodi da su brojevi
gradivni materijali univerzuma -
0:39 - 0:43i deo ovog uverenja je
da sve od kosmologije i metafizike -
0:43 - 0:46do muzike i moralnih načela
prate večna pravila -
0:46 - 0:50poznata kao proporcija brojeva.
-
0:50 - 0:53Stoga, bilo koji broj
može biti napisan u takvoj proporciji -
0:53 - 0:565 kao 5/1
-
0:56 - 0:590,5 kao 1/2
-
0:59 - 1:01i tako dalje.
-
1:01 - 1:08Čak i beskonačne decimale kao ova
mogu biti iskazane kao 34/45 -
1:08 - 1:11Svi ovi brojevi su oni koje mi zovemo
racionalnim brojevima. -
1:11 - 1:16Hipasus je pronašao jedan broj
koji je ugrozio harmoniju, -
1:16 - 1:19jedan koji nije trebalo da postoji.
-
1:19 - 1:21Problem je počeo jednostavnim oblikom,
-
1:21 - 1:25kvadrat koji je sa svake strane
merio jednu jedinicu -
1:25 - 1:27Po Pitagorinoj teoremi,
-
1:27 - 1:30dužina dijagonale je jednaka
kvadratnom korenu broja dva, -
1:30 - 1:33ali koliko god pokušavao, Hipasus
nije mogao da izrazi ovo -
1:33 - 1:36kao proporciju dva cela broja.
-
1:36 - 1:40I umesto odustajanja, odlučio je
dokazati da je to neizvodivo. -
1:40 - 1:44Hipasus je počeo pretpostavljajući
da je Pitagorejski princip tačan, -
1:44 - 1:49da koren broja dva može biti izražen
kao odnos dva cela broja. -
1:49 - 1:53Označio je ova dva hipotetička broja
kao p i q. -
1:53 - 1:56Pretpostavljajući da je odnos
sveden na osnovnu formu, -
1:56 - 2:00p i q nisu mogli da imaju
nijedan zajednički delilac. -
2:00 - 2:03Da bi dokazao da koren broja dva
nije racionalan, -
2:03 - 2:08Hipasus je morao da dokaže
da p/q ne može postojati. -
2:08 - 2:11Obe strane je pomnožio sa q
-
2:11 - 2:13i stavio na kvadrat,
-
2:13 - 2:15čime je dobio ovu jednačinu.
-
2:15 - 2:19Množenje bilo kog broja brojem 2
daje paran broj -
2:19 - 2:22tako da p^2 mora da bude parno.
-
2:22 - 2:25To ne bi moglo biti istinito
ako bi p bilo neparno -
2:25 - 2:28jer neparan broj pomnožen sobom
uvek daje drugi neparan broj, -
2:28 - 2:31tako da je i p bilo parno.
-
2:31 - 2:36Stoga se p moglo izraziti kao 2a,
gde je a delilac. -
2:36 - 2:39Kada se ovo ubaci
u jednačinu i pojednostavi -
2:39 - 2:43dobija se q^2 = 2a^2.
-
2:43 - 2:47Još jednom, bilo koji broj pomnožen sa dva
daje paran broj, -
2:47 - 2:50tako da q^2 mora biti parno,
-
2:50 - 2:52a q mora da bude parno,
-
2:52 - 2:54tako da su i p i q parni.
-
2:54 - 2:58Ali kada bi to bilo tačno, oboje bi imali
zajednički faktor dva, -
2:58 - 3:01što bi se kosilo sa prvobitnom izjavom
-
3:01 - 3:05i tako je Hipasus zaključio
da takav odnos ne postoji. -
3:05 - 3:07To se zove dokaz kontradikcijom,
-
3:07 - 3:08i kako navodi legenda,
-
3:08 - 3:11bogovima se nije dopalo
da im se protivreči. -
3:11 - 3:15Zanimljivo je to da iako ne možemo
da izrazimo iracionalne brojeve -
3:15 - 3:17kao odnose delilaca,
-
3:17 - 3:21moguće je da se neki od njih
precizno prikažu na grafikonu. -
3:21 - 3:22Uzmite koren iz dva.
-
3:22 - 3:28Treba da napravimo trougao
gde dve strane daju jednu jedinicu. -
3:28 - 3:33Hipotenuza ima dužinu korena iz 2,
koji se može produžiti. -
3:33 - 3:35Onda možemo da napravimo
još jedan trougao -
3:35 - 3:38sa osnovom te dužine
i visinom jedne jedinice -
3:38 - 3:41i njegova hipotenuza bila bi jednaka
korenu od tri, -
3:41 - 3:44koji se takođe može produžiti
duž linije. -
3:44 - 3:49Ovde je ključ da su decimale i odnosi
jedini način izražavanja brojeva. -
3:49 - 3:53Koren i dva je prosto hipotenuza
pravog trougla -
3:53 - 3:55sa stranicama dužine jedan.
-
3:55 - 3:58Slično tome, čuveni iracionalni broj pi
-
3:58 - 4:01uvek je jednak
tačno onome što predstavlja, -
4:01 - 4:05odnosu prečnika i obima kruga.
-
4:05 - 4:08Približne vrednosti poput 22/7
-
4:08 - 4:14ili 355/113 nikada neće biti
precizno jednake broju pi. -
4:14 - 4:16Nikada nećemo znati
šta se desilo Hipasusu, -
4:16 - 4:21ali znamo da je njegovo otkriće
napravilo revoluciju u matematici. -
4:21 - 4:25Šta god da mitovi kažu,
ne bojte se da istražite nemoguće.
- Title:
- Davanje smisla iracionalnim brojevima - Ganeš Pai
- Speaker:
- Ganeš Pai
- Description:
-
Pogledajte celu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
Poput mnogih heroja grčkih mitova, za filozofa Hipasusa se pričalo da su ga bogovi osudili na smrt. Ali šta je bio njegov zločin? Da li je ubio goste ili poremetio sveti ritual? Ne, Hipasusova greška je bila matematičko dokazivanje do tada nedokazivog. Ganeš Pai opisuje istoriju i matematiku iza iracionalnih brojeva.
Lekcija: Ganeš Pai; animacija: Anton Trofimov.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
Mile Živković approved Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | ||
Milenka Okuka accepted Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | ||
Milenka Okuka edited Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | ||
Mile Živković edited Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | ||
Mile Živković edited Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | ||
Jelena Jevtić edited Serbian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai |