Kao mnogi heroji grčkih mitova,
za filozofa Hipasusa pričalo se da su ga bogovi kaznili na smrt.
Ali šta je bio njegov zločin?
Da li je ubio goste,
ili prekinuo sveti ritual?
Ne, Hipasusov prestup je bila matematička teorema:
otkriće iracionalnih brojeva.
Hipasus je pripadao grupi zvanoj Pitagorini matematičari
koja je imala religijsko poštovanje prema brojevima.
Izreka "Sve je u brojevima"
navodi da su brojevi gradivni materijali univerzuma
i deo ovog uverenja je da sve od kosmologije i metafizike
do muzike i moralnih načela prate večna pravila
poznata kao proporcija brojeva.
Stoga, bilo koji broj može biti napisan u takvoj proporciji
5 kao 5/1
0,5 kao 1/2
i tako dalje.
Čak i beskonačne decimale kao ova mogu biti iskazane kao 34/45
Svi ovi brojevi su oni koje mi zovemo racionalnim brojevima.
Hipasus je pronašao jedan broj koji je ugrozio harmoniju,
jedan koji nije trebalo da postoji.
Problem je počeo jednostavnim oblikom,
kvadrat koji je sa svake strane merio jednu jedinicu
Po Pitagorinoj teoremi,
dužina dijagonale je jednaka kvadratnom korenu broja dva,
ali koliko god pokušavao, Hipasus nije mogao da izrazi ovo
kao proporciju dva cela broja.
I umesto odustajanja, odlučio je dokazati da je to neizvodivo.
Hipasus je počeo pretpostavljajući da je Pitagorejski princip tačan,
da koren broja dva može biti izražen kao odnos dva cela broja.
Označio je ova dva hipotetička broja kao p i q.
Pretpostavljajući da je odnos sveden na osnovnu formu,
p i q nisu mogli da imaju nijedan zajednički delilac.
Da bi dokazao da koren broja dva nije racionalan,
Hipasus je morao da dokaže da p/q ne može postojati.
Obe strane je pomnožio sa q
i stavio na kvadrat,
čime je dobio ovu jednačinu.
Množenje bilo kog broja brojem 2 daje paran broj
tako da p^2 mora da bude parno.
To ne bi moglo biti istinito ako bi p bilo neparno
jer neparan broj pomnožen sobom uvek daje drugi neparan broj,
tako da je i p bilo parno.
Stoga se p moglo izraziti kao 2a, gde je a delilac.
Kada se ovo ubaci u jednačinu i pojednostavi
dobija se q^2 = 2a^2.
Još jednom, bilo koji broj pomnožen sa dva daje paran broj,
tako da q^2 mora biti parno,
a q mora da bude parno,
tako da su i p i q parni.
Ali kada bi to bilo tačno, oboje bi imali zajednički faktor dva,
što bi se kosilo sa prvobitnom izjavom
i tako je Hipasus zaključio da takav odnos ne postoji.
To se zove dokaz kontradikcijom,
i kako navodi legenda,
bogovima se nije dopalo da im se protivreči.
Zanimljivo je to da iako ne možemo da izrazimo iracionalne brojeve
kao odnose delilaca,
moguće je da se neki od njih precizno prikažu na grafikonu.
Uzmite koren iz dva.
Treba da napravimo trougao gde dve strane daju jednu jedinicu.
Hipotenuza ima dužinu korena iz 2, koji se može produžiti.
Onda možemo da napravimo još jedan trougao
sa osnovom te dužine i visinom jedne jedinice
i njegova hipotenuza bila bi jednaka korenu od tri,
koji se takođe može produžiti duž linije.
Ovde je ključ da su decimale i odnosi jedini način izražavanja brojeva.
Koren i dva je prosto hipotenuza pravog trougla
sa stranicama dužine jedan.
Slično tome, čuveni iracionalni broj pi
uvek je jednak tačno onome što predstavlja,
odnosu prečnika i obima kruga.
Približne vrednosti poput 22/7
ili 355/113 nikada neće biti precizno jednake broju pi.
Nikada nećemo znati šta se desilo Hipasusu,
ali znamo da je njegovo otkriće napravilo revoluciju u matematici.
Šta god da mitovi kažu, ne bojte se da istražite nemoguće.