Davanje smisla iracionalnim brojevima - Ganeš Pai

Pogledajte celu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Poput mnogih heroja grčkih mitova, za filozofa Hipasusa se pričalo da su ga bogovi osudili na smrt. Ali šta je bio njegov zločin? Da li je ubio goste ili poremetio sveti ritual? Ne, Hipasusova greška je bila matematičko dokazivanje do tada nedokazivog. Ganeš Pai opisuje istoriju i matematiku iza iracionalnih brojeva.

Lekcija: Ganeš Pai; animacija: Anton Trofimov.

Kao mnogi heroji grčkih mitova,

za filozofa Hipasusa pričalo se
da su ga bogovi kaznili na smrt.

Ali šta je bio njegov zločin?

Da li je ubio goste,

ili prekinuo sveti ritual?

Ne, Hipasusov prestup je bila
matematička teorema:

otkriće iracionalnih brojeva.

Hipasus je pripadao grupi
zvanoj Pitagorini matematičari

koja je imala religijsko poštovanje
prema brojevima.

Izreka "Sve je u brojevima"

navodi da su brojevi
gradivni materijali univerzuma

i deo ovog uverenja je
da sve od kosmologije i metafizike

do muzike i moralnih načela
prate večna pravila

poznata kao proporcija brojeva.

Stoga, bilo koji broj
može biti napisan u takvoj proporciji

5 kao 5/1

0,5 kao 1/2

i tako dalje.

Čak i beskonačne decimale kao ova
mogu biti iskazane kao 34/45

Svi ovi brojevi su oni koje mi zovemo
racionalnim brojevima.

Hipasus je pronašao jedan broj
koji je ugrozio harmoniju,

jedan koji nije trebalo da postoji.

Problem je počeo jednostavnim oblikom,

kvadrat koji je sa svake strane
merio jednu jedinicu

Po Pitagorinoj teoremi,

dužina dijagonale je jednaka
kvadratnom korenu broja dva,

ali koliko god pokušavao, Hipasus
nije mogao da izrazi ovo

kao proporciju dva cela broja.

I umesto odustajanja, odlučio je
dokazati da je to neizvodivo.

Hipasus je počeo pretpostavljajući
da je Pitagorejski princip tačan,

da koren broja dva može biti izražen
kao odnos dva cela broja.

Označio je ova dva hipotetička broja
kao p i q.

Pretpostavljajući da je odnos
sveden na osnovnu formu,

p i q nisu mogli da imaju
nijedan zajednički delilac.

Da bi dokazao da koren broja dva
nije racionalan,

Hipasus je morao da dokaže
da p/q ne može postojati.

Obe strane je pomnožio sa q

i stavio na kvadrat,

čime je dobio ovu jednačinu.

Množenje bilo kog broja brojem 2
daje paran broj

tako da p^2 mora da bude parno.

To ne bi moglo biti istinito
ako bi p bilo neparno

jer neparan broj pomnožen sobom
uvek daje drugi neparan broj,

tako da je i p bilo parno.

Stoga se p moglo izraziti kao 2a,
gde je a delilac.

Kada se ovo ubaci
u jednačinu i pojednostavi

dobija se q^2 = 2a^2.

Još jednom, bilo koji broj pomnožen sa dva
daje paran broj,

tako da q^2 mora biti parno,

a q mora da bude parno,

tako da su i p i q parni.

Ali kada bi to bilo tačno, oboje bi imali
zajednički faktor dva,

što bi se kosilo sa prvobitnom izjavom

i tako je Hipasus zaključio
da takav odnos ne postoji.

To se zove dokaz kontradikcijom,

i kako navodi legenda,

bogovima se nije dopalo
da im se protivreči.

Zanimljivo je to da iako ne možemo
da izrazimo iracionalne brojeve

kao odnose delilaca,

moguće je da se neki od njih
precizno prikažu na grafikonu.

Uzmite koren iz dva.

Treba da napravimo trougao
gde dve strane daju jednu jedinicu.

Hipotenuza ima dužinu korena iz 2,
koji se može produžiti.

Onda možemo da napravimo
još jedan trougao

sa osnovom te dužine
i visinom jedne jedinice

i njegova hipotenuza bila bi jednaka
korenu od tri,

koji se takođe može produžiti
duž linije.

Ovde je ključ da su decimale i odnosi
jedini način izražavanja brojeva.

Koren i dva je prosto hipotenuza
pravog trougla

sa stranicama dužine jedan.

Slično tome, čuveni iracionalni broj pi

uvek je jednak
tačno onome što predstavlja,

odnosu prečnika i obima kruga.

Približne vrednosti poput 22/7

ili 355/113 nikada neće biti
precizno jednake broju pi.

Nikada nećemo znati
šta se desilo Hipasusu,

ali znamo da je njegovo otkriće
napravilo revoluciju u matematici.

Šta god da mitovi kažu,
ne bojte se da istražite nemoguće.