مفهوم اعداد گنگ
-
0:07 - 0:09مثل بسیاری از قهرمانان افسانههای یونان،
-
0:09 - 0:14نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را
با مرگ به مجازات رساندند. -
0:14 - 0:16اما گناه او چه بود؟
-
0:16 - 0:17آیا مهمانی را کشته بود،
-
0:17 - 0:19یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟
-
0:19 - 0:24نه، خطای هیپاسوس یک اثبات ریاضی بود:
-
0:24 - 0:27کشف اعداد گنگ.
-
0:27 - 0:30هیپاسوس به گروهی به نام
ریاضی دانان فیثاغورسی تعلق داشت -
0:30 - 0:33که احترامی مذهبی برای اعداد قائل بودند.
-
0:33 - 0:35حکم «همه چیز عدد است،»
-
0:35 - 0:39بیان میکرد که اعداد سنگ بنای کائنات هستند
-
0:39 - 0:43و بخشی از این باور به این دلیل بود که
همه چیز از کیهان شناسی و متافیزیک گرفته -
0:43 - 0:47تا موسیقی و اخلاق
از قوائدی جاودان پیروی میکردند -
0:47 - 0:50که با نسبتهایی از اعداد قابل توصیف بود.
-
0:50 - 0:53بنابراین، هر عددی میتوانست
به صورت کسری نوشته شود. -
0:53 - 0:56۵ به صورت ۵/۱،
-
0:56 - 0:59۰.۵ به صورت ۱/۲
-
0:59 - 1:01و به همین ترتیب.
-
1:01 - 1:08حتی یک عدد اعشاری نامتناهی مثل این هم
میتوانست دقیقا با کسر ۳۴/۴۵ مشخص شود. -
1:08 - 1:11همه اینها اعدادی هستند
که به آنها اعداد گویا میگوییم. -
1:11 - 1:16اما هیپاسوس عددی را کشف کرد
که ناقض این قانون هماهنگ بود، -
1:16 - 1:19عددی که قرار نبود وجود داشته باشد.
-
1:19 - 1:21مشکل با یک شکل ساده شروع شد،
-
1:21 - 1:25مربعی با اضلاع به طول واحد.
-
1:25 - 1:27بر اساس قضیه فیثاغورس،
-
1:27 - 1:30طول قطر برابر با ریشه دوم دو خواهد بود،
-
1:30 - 1:36اما هرچه هیپاسوس تلاش کرد نتوانست آن را
به شکل کسری از دو عدد گویا بیان کند. -
1:36 - 1:40و به جای منصرف شدن، او تصمیم گرفت
ثابت کند که این کار غیرممکن است. -
1:40 - 1:44هیپاسوس با فرض درست بودن جهان بینی
فیثاغورسی کار خود را آغاز کرد، -
1:44 - 1:49که ریشه ۲ را میتوان به صورت
کسری از دو عدد صحیح نوشت. -
1:49 - 1:53او این دو عدد صحیح فرضی را p و q نامید.
-
1:53 - 1:56فرض کنید که این کسر تا جای ممکن ساده شده
-
1:56 - 2:00و p و q هیچ عامل مشترکی ندارند.
-
2:00 - 2:03برای اثبات گویا نبودن ریشه ۲،
-
2:03 - 2:08هیپاسوس تنها باید نشان میداد که
کسر p/q نمیتواند وجود داشته باشد. -
2:08 - 2:11پس او دو طرف معادله را در q ضرب کرد
-
2:11 - 2:13و هر دو طرف را به توان دو رساند.
-
2:13 - 2:15و به این معادله رسید.
-
2:15 - 2:19حاصل ضرب هر عدد در ۲ عددی زوج خواهد بود،
-
2:19 - 2:22پس p به توان ۲ باید زوج باشد.
-
2:22 - 2:25و اگر p فرد باشد این نمیتواند درست باشد
-
2:25 - 2:29چون هر عدد فرد به هر توانی
عددی فرد خواهد بود، -
2:29 - 2:31پس p عددی زوج است.
-
2:31 - 2:36به این ترتیب، p میتواند به صورت
۲a نوشته شود و a عددی صحیح است. -
2:36 - 2:39با قرار دادن این عدد در معادله و ساده کردن
-
2:39 - 2:43q به توان ۲ برابر با
۲ در a به توان ۲ خواهد بود. -
2:43 - 2:47یک بار دیگر، حاصل ضرب دو
در هر عددی زوج خواهد بود، -
2:47 - 2:50پس q به توان ۲ عددی زوج است،
-
2:50 - 2:52و به این ترتیب q هم باید زوج باشد،
-
2:52 - 2:54یعنی q و p هر دو زوج هستند.
-
2:54 - 2:58اما اگر این درست باشد،
پس ۲ عامل مشترک آنها است، -
2:58 - 3:01و به این صورت فرض اولیه نقض میشود،
-
3:01 - 3:05و به این ترتیب هیپاسوس نشان داد
که این چنین نسبتی وجود ندارد. -
3:05 - 3:07به این میگویند برهان خلف،
-
3:07 - 3:08و بر اساس افسانه،
-
3:08 - 3:11خدایان علاقهای به نقض شدن نداشتند.
-
3:11 - 3:15جالب این است که با وجود اینکه
نمیتوان اعداد گنگ را -
3:15 - 3:17به صورت کسری نوشت،
-
3:17 - 3:21میتوان اندازه دقیق بعضی از آنها را
بر روی محور اعداد نشان داد. -
3:21 - 3:22جذر دو را در نظر بگیرید.
-
3:22 - 3:26تنها کاری که باید بکنیم این است که یک
مثلث قائم الزاویه با دو ضلع قائمه -
3:26 - 3:28به طول واحد رسم کنیم.
-
3:28 - 3:33اندازه وتر جذر ۲ خواهد بود
و میتوان آن را روی محور نشان داد. -
3:33 - 3:35سپس میتوانیم مثلثی دیگر
با قاعدهای به آن طول -
3:35 - 3:38و ارتفاعی به طول واحد رسم کنیم،
-
3:38 - 3:41و اندازه وتر آن مثلث
برابر با جذر ۳ خواهد بود، -
3:41 - 3:44که آن هم میتواند
بر روی محور تعمیم داده شود. -
3:44 - 3:49نکته اینجا است که ارقام و نسبتها
تنها راهی برای نشان دادن اعداد هستند. -
3:49 - 3:53جذر ۲ به سادگی اندازه وتر
یک مثلث قائم الزاویه -
3:53 - 3:55با اضلاع واحد است.
-
3:55 - 3:58به طور مشابه، عدد گنگ مشهور پی
-
3:58 - 4:01دقیقا برابر با چیزی است که معرف آن است،
-
4:01 - 4:05نسبت محیط یک دایره به قطر آن.
-
4:05 - 4:08تقریبهایی مانند ۲۲/۷،
-
4:08 - 4:14یا ۳۵۵/۱۱۳ هرگز
دقیقا برابر با پی نخواهند بود. -
4:14 - 4:16هیچ گاه نخواهیم دانست
چه اتفاقی برای هیپاسوس افتاد، -
4:16 - 4:21اما چیزی که میدانیم این است که
کشف او انقلابی را در ریاضیات رقم زد. -
4:21 - 4:26پس هرچه داستانها میگویند بگویند،
اما شما هرگز از کاوش ناممکن نهراسید.
- Title:
- مفهوم اعداد گنگ
- Speaker:
- گانش پای
- Description:
-
more » « less
درس کامل در: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
مثل بسیاری از قهرمانان افسانههای یونان، نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را با مرگ به مجازات رساندند. اما گناه او چه بود؟ آیا مهمانی را کشته بود یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟ نه، گناه هیپاسوس اثبات چیزی بود که تا آن زمان غیر قابل اثبات بود.گانش پای تاریخ و ریاضی پشت اعداد گنگ را شرح می‌دهد.
درس از گانش پای، انیمیشن از آنتون تروفیمو.
- Video Language:
- English
- Team:
closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
|
soheila Jafari approved Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
soheila Jafari edited Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
soheila Jafari accepted Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
soheila Jafari edited Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
sadegh zabihi edited Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
sadegh zabihi edited Persian subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai |