0:00:06.951,0:00:09.063
مثل بسیاری از قهرمانان افسانههای یونان،

0:00:09.063,0:00:13.930
نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را[br]با مرگ به مجازات رساندند.

0:00:13.930,0:00:15.606
اما گناه او چه بود؟

0:00:15.606,0:00:16.957
آیا مهمانی را کشته بود،

0:00:16.957,0:00:19.474
یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟

0:00:19.474,0:00:23.524
نه، خطای هیپاسوس یک اثبات ریاضی بود:

0:00:23.524,0:00:26.583
کشف اعداد گنگ.

0:00:26.583,0:00:30.311
هیپاسوس به گروهی به نام [br]ریاضی دانان فیثاغورسی تعلق داشت

0:00:30.311,0:00:32.922
که احترامی مذهبی برای اعداد قائل بودند.

0:00:32.922,0:00:35.463
حکم «همه چیز عدد است،»

0:00:35.463,0:00:39.233
بیان میکرد که اعداد سنگ بنای کائنات هستند

0:00:39.233,0:00:43.317
و بخشی از این باور به این دلیل بود که[br]همه چیز از کیهان شناسی و متافیزیک گرفته

0:00:43.317,0:00:46.767
تا موسیقی و اخلاق[br]از قوائدی جاودان پیروی میکردند

0:00:46.767,0:00:50.175
که با نسبتهایی از اعداد قابل توصیف بود.

0:00:50.175,0:00:53.488
بنابراین، هر عددی میتوانست[br]به صورت کسری نوشته شود.

0:00:53.488,0:00:55.995
۵ به صورت ۵/۱،

0:00:55.995,0:00:59.085
۰.۵ به صورت ۱/۲

0:00:59.085,0:01:00.505
و به همین ترتیب.

0:01:00.505,0:01:07.907
حتی یک عدد اعشاری نامتناهی مثل این هم[br]میتوانست دقیقا با کسر ۳۴/۴۵ مشخص شود.

0:01:07.907,0:01:11.421
همه اینها اعدادی هستند [br]که به آنها اعداد گویا میگوییم.

0:01:11.421,0:01:16.051
اما هیپاسوس عددی را کشف کرد [br]که ناقض این قانون هماهنگ بود،

0:01:16.051,0:01:18.825
عددی که قرار نبود وجود داشته باشد.

0:01:18.825,0:01:21.395
مشکل با یک شکل ساده شروع شد،

0:01:21.395,0:01:25.105
مربعی با اضلاع به طول واحد.

0:01:25.105,0:01:26.898
بر اساس قضیه فیثاغورس،

0:01:26.898,0:01:30.183
طول قطر برابر با ریشه دوم دو خواهد بود،

0:01:30.183,0:01:35.528
اما هرچه هیپاسوس تلاش کرد نتوانست آن را[br]به شکل کسری از دو عدد گویا بیان کند.

0:01:35.528,0:01:39.839
و به جای منصرف شدن، او تصمیم گرفت[br]ثابت کند که این کار غیرممکن است.

0:01:39.839,0:01:44.196
هیپاسوس با فرض درست بودن جهان بینی[br]فیثاغورسی کار خود را آغاز کرد،

0:01:44.196,0:01:49.145
که ریشه ۲ را میتوان به صورت[br]کسری از دو عدد صحیح نوشت.

0:01:49.145,0:01:52.981
او این دو عدد صحیح فرضی را p و q نامید.

0:01:52.981,0:01:56.358
فرض کنید که این کسر تا جای ممکن ساده شده

0:01:56.358,0:01:59.957
و p و q هیچ عامل مشترکی ندارند.

0:01:59.957,0:02:02.987
برای اثبات گویا نبودن ریشه ۲،

0:02:02.987,0:02:08.074
هیپاسوس تنها باید نشان میداد که[br]کسر p/q نمیتواند وجود داشته باشد.

0:02:08.074,0:02:11.422
پس او دو طرف معادله را در q ضرب کرد

0:02:11.422,0:02:13.291
و هر دو طرف را به توان دو رساند.

0:02:13.291,0:02:15.320
و به این معادله رسید.

0:02:15.320,0:02:19.274
حاصل ضرب هر عدد در ۲ عددی زوج خواهد بود،

0:02:19.274,0:02:22.332
پس p به توان ۲ باید زوج باشد.

0:02:22.332,0:02:24.715
و اگر p فرد باشد این نمیتواند درست باشد

0:02:24.715,0:02:28.514
چون هر عدد فرد به هر توانی [br]عددی فرد خواهد بود،

0:02:28.514,0:02:30.702
پس p عددی زوج است.

0:02:30.702,0:02:36.176
به این ترتیب، p میتواند به صورت[br]۲a نوشته شود و a عددی صحیح است.

0:02:36.176,0:02:39.074
با قرار دادن این عدد در معادله و ساده کردن

0:02:39.074,0:02:43.248
q به توان ۲ برابر با [br]۲ در a به توان ۲ خواهد بود.

0:02:43.248,0:02:47.180
یک بار دیگر، حاصل ضرب دو[br]در هر عددی زوج خواهد بود،

0:02:47.180,0:02:49.921
پس q به توان ۲ عددی زوج است،

0:02:49.921,0:02:52.012
و به این ترتیب q هم باید زوج باشد،

0:02:52.012,0:02:54.393
یعنی q و p هر دو زوج هستند.

0:02:54.393,0:02:57.710
اما اگر این درست باشد، [br]پس ۲ عامل مشترک آنها است،

0:02:57.710,0:03:00.576
و به این صورت فرض اولیه نقض میشود،

0:03:00.576,0:03:04.796
و به این ترتیب هیپاسوس نشان داد[br]که این چنین نسبتی وجود ندارد.

0:03:04.796,0:03:06.756
به این میگویند برهان خلف،

0:03:06.756,0:03:08.234
و بر اساس افسانه،

0:03:08.234,0:03:11.453
خدایان علاقهای به نقض شدن نداشتند.

0:03:11.453,0:03:14.928
جالب این است که با وجود اینکه[br]نمیتوان اعداد گنگ را

0:03:14.928,0:03:16.802
به صورت کسری نوشت،

0:03:16.802,0:03:20.891
میتوان اندازه دقیق بعضی از آنها را[br]بر روی محور اعداد نشان داد.

0:03:20.891,0:03:22.149
جذر دو را در نظر بگیرید.

0:03:22.149,0:03:25.604
تنها کاری که باید بکنیم این است که یک[br]مثلث قائم الزاویه با دو ضلع قائمه

0:03:25.604,0:03:27.844
به طول واحد رسم کنیم.

0:03:27.844,0:03:32.596
اندازه وتر جذر ۲ خواهد بود [br]و میتوان آن را روی محور نشان داد.

0:03:32.596,0:03:35.494
سپس میتوانیم مثلثی دیگر [br]با قاعدهای به آن طول

0:03:35.494,0:03:38.491
و ارتفاعی به طول واحد رسم کنیم،

0:03:38.491,0:03:41.135
و اندازه وتر آن مثلث [br]برابر با جذر ۳ خواهد بود،

0:03:41.135,0:03:43.932
که آن هم میتواند[br]بر روی محور تعمیم داده شود.

0:03:43.932,0:03:49.283
نکته اینجا است که ارقام و نسبتها [br]تنها راهی برای نشان دادن اعداد هستند.

0:03:49.283,0:03:52.948
جذر ۲ به سادگی اندازه وتر[br]یک مثلث قائم الزاویه

0:03:52.948,0:03:54.875
با اضلاع واحد است.

0:03:54.875,0:03:58.419
به طور مشابه، عدد گنگ مشهور پی

0:03:58.419,0:04:01.388
دقیقا برابر با چیزی است که معرف آن است،

0:04:01.388,0:04:04.570
نسبت محیط یک دایره به قطر آن.

0:04:04.570,0:04:07.565
تقریبهایی مانند ۲۲/۷،

0:04:07.565,0:04:13.707
یا ۳۵۵/۱۱۳ هرگز [br]دقیقا برابر با پی نخواهند بود.

0:04:13.707,0:04:16.418
هیچ گاه نخواهیم دانست [br]چه اتفاقی برای هیپاسوس افتاد،

0:04:16.418,0:04:20.665
اما چیزی که میدانیم این است که[br]کشف او انقلابی را در ریاضیات رقم زد.

0:04:20.665,0:04:26.366
پس هرچه داستانها میگویند بگویند،[br]اما شما هرگز از کاوش ناممکن نهراسید.