1
00:00:06,951 --> 00:00:09,063
مثل بسیاری از قهرمانان افسانههای یونان،

2
00:00:09,063 --> 00:00:13,930
نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را
با مرگ به مجازات رساندند.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
اما گناه او چه بود؟

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
آیا مهمانی را کشته بود،

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
نه، خطای هیپاسوس یک اثبات ریاضی بود:

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
کشف اعداد گنگ.

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
هیپاسوس به گروهی به نام 
ریاضی دانان فیثاغورسی تعلق داشت

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
که احترامی مذهبی برای اعداد قائل بودند.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
حکم «همه چیز عدد است،»

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,233
بیان میکرد که اعداد سنگ بنای کائنات هستند

12
00:00:39,233 --> 00:00:43,317
و بخشی از این باور به این دلیل بود که
همه چیز از کیهان شناسی و متافیزیک گرفته

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,767
تا موسیقی و اخلاق
از قوائدی جاودان پیروی میکردند

14
00:00:46,767 --> 00:00:50,175
که با نسبتهایی از اعداد قابل توصیف بود.

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
بنابراین، هر عددی میتوانست
به صورت کسری نوشته شود.

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
۵ به صورت ۵/۱،

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
۰.۵ به صورت ۱/۲

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
و به همین ترتیب.

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
حتی یک عدد اعشاری نامتناهی مثل این هم
میتوانست دقیقا با کسر ۳۴/۴۵ مشخص شود.

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
همه اینها اعدادی هستند 
که به آنها اعداد گویا میگوییم.

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
اما هیپاسوس عددی را کشف کرد 
که ناقض این قانون هماهنگ بود،

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
عددی که قرار نبود وجود داشته باشد.

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
مشکل با یک شکل ساده شروع شد،

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
مربعی با اضلاع به طول واحد.

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
بر اساس قضیه فیثاغورس،

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
طول قطر برابر با ریشه دوم دو خواهد بود،

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
اما هرچه هیپاسوس تلاش کرد نتوانست آن را
به شکل کسری از دو عدد گویا بیان کند.

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
و به جای منصرف شدن، او تصمیم گرفت
ثابت کند که این کار غیرممکن است.

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
هیپاسوس با فرض درست بودن جهان بینی
فیثاغورسی کار خود را آغاز کرد،

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
که ریشه ۲ را میتوان به صورت
کسری از دو عدد صحیح نوشت.

31
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
او این دو عدد صحیح فرضی را p و q نامید.

32
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
فرض کنید که این کسر تا جای ممکن ساده شده

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
و p و q هیچ عامل مشترکی ندارند.

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
برای اثبات گویا نبودن ریشه ۲،

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
هیپاسوس تنها باید نشان میداد که
کسر p/q نمیتواند وجود داشته باشد.

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
پس او دو طرف معادله را در q ضرب کرد

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
و هر دو طرف را به توان دو رساند.

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
و به این معادله رسید.

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
حاصل ضرب هر عدد در ۲ عددی زوج خواهد بود،

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
پس p به توان ۲ باید زوج باشد.

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
و اگر p فرد باشد این نمیتواند درست باشد

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,514
چون هر عدد فرد به هر توانی 
عددی فرد خواهد بود،

43
00:02:28,514 --> 00:02:30,702
پس p عددی زوج است.

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
به این ترتیب، p میتواند به صورت
۲a نوشته شود و a عددی صحیح است.

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
با قرار دادن این عدد در معادله و ساده کردن

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
q به توان ۲ برابر با 
۲ در a به توان ۲ خواهد بود.

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
یک بار دیگر، حاصل ضرب دو
در هر عددی زوج خواهد بود،

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
پس q به توان ۲ عددی زوج است،

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
و به این ترتیب q هم باید زوج باشد،

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
یعنی q و p هر دو زوج هستند.

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
اما اگر این درست باشد، 
پس ۲ عامل مشترک آنها است،

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
و به این صورت فرض اولیه نقض میشود،

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
و به این ترتیب هیپاسوس نشان داد
که این چنین نسبتی وجود ندارد.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
به این میگویند برهان خلف،

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
و بر اساس افسانه،

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
خدایان علاقهای به نقض شدن نداشتند.

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
جالب این است که با وجود اینکه
نمیتوان اعداد گنگ را

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
به صورت کسری نوشت،

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
میتوان اندازه دقیق بعضی از آنها را
بر روی محور اعداد نشان داد.

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
جذر دو را در نظر بگیرید.

61
00:03:22,149 --> 00:03:25,604
تنها کاری که باید بکنیم این است که یک
مثلث قائم الزاویه با دو ضلع قائمه

62
00:03:25,604 --> 00:03:27,844
به طول واحد رسم کنیم.

63
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
اندازه وتر جذر ۲ خواهد بود 
و میتوان آن را روی محور نشان داد.

64
00:03:32,596 --> 00:03:35,494
سپس میتوانیم مثلثی دیگر 
با قاعدهای به آن طول

65
00:03:35,494 --> 00:03:38,491
و ارتفاعی به طول واحد رسم کنیم،

66
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
و اندازه وتر آن مثلث 
برابر با جذر ۳ خواهد بود،

67
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
که آن هم میتواند
بر روی محور تعمیم داده شود.

68
00:03:43,932 --> 00:03:49,283
نکته اینجا است که ارقام و نسبتها 
تنها راهی برای نشان دادن اعداد هستند.

69
00:03:49,283 --> 00:03:52,948
جذر ۲ به سادگی اندازه وتر
یک مثلث قائم الزاویه

70
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
با اضلاع واحد است.

71
00:03:54,875 --> 00:03:58,419
به طور مشابه، عدد گنگ مشهور پی

72
00:03:58,419 --> 00:04:01,388
دقیقا برابر با چیزی است که معرف آن است،

73
00:04:01,388 --> 00:04:04,570
نسبت محیط یک دایره به قطر آن.

74
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
تقریبهایی مانند ۲۲/۷،

75
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
یا ۳۵۵/۱۱۳ هرگز 
دقیقا برابر با پی نخواهند بود.

76
00:04:13,707 --> 00:04:16,418
هیچ گاه نخواهیم دانست 
چه اتفاقی برای هیپاسوس افتاد،

77
00:04:16,418 --> 00:04:20,665
اما چیزی که میدانیم این است که
کشف او انقلابی را در ریاضیات رقم زد.

78
00:04:20,665 --> 00:04:26,366
پس هرچه داستانها میگویند بگویند،
اما شما هرگز از کاوش ناممکن نهراسید.