مثل بسیاری از قهرمانان افسانههای یونان،
نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را با مرگ به مجازات رساندند.
اما گناه او چه بود؟
آیا مهمانی را کشته بود،
یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟
نه، خطای هیپاسوس یک اثبات ریاضی بود:
کشف اعداد گنگ.
هیپاسوس به گروهی به نام ریاضی دانان فیثاغورسی تعلق داشت
که احترامی مذهبی برای اعداد قائل بودند.
حکم «همه چیز عدد است،»
بیان میکرد که اعداد سنگ بنای کائنات هستند
و بخشی از این باور به این دلیل بود که همه چیز از کیهان شناسی و متافیزیک گرفته
تا موسیقی و اخلاق از قوائدی جاودان پیروی میکردند
که با نسبتهایی از اعداد قابل توصیف بود.
بنابراین، هر عددی میتوانست به صورت کسری نوشته شود.
۵ به صورت ۵/۱،
۰.۵ به صورت ۱/۲
و به همین ترتیب.
حتی یک عدد اعشاری نامتناهی مثل این هم میتوانست دقیقا با کسر ۳۴/۴۵ مشخص شود.
همه اینها اعدادی هستند که به آنها اعداد گویا میگوییم.
اما هیپاسوس عددی را کشف کرد که ناقض این قانون هماهنگ بود،
عددی که قرار نبود وجود داشته باشد.
مشکل با یک شکل ساده شروع شد،
مربعی با اضلاع به طول واحد.
بر اساس قضیه فیثاغورس،
طول قطر برابر با ریشه دوم دو خواهد بود،
اما هرچه هیپاسوس تلاش کرد نتوانست آن را به شکل کسری از دو عدد گویا بیان کند.
و به جای منصرف شدن، او تصمیم گرفت ثابت کند که این کار غیرممکن است.
هیپاسوس با فرض درست بودن جهان بینی فیثاغورسی کار خود را آغاز کرد،
که ریشه ۲ را میتوان به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.
او این دو عدد صحیح فرضی را p و q نامید.
فرض کنید که این کسر تا جای ممکن ساده شده
و p و q هیچ عامل مشترکی ندارند.
برای اثبات گویا نبودن ریشه ۲،
هیپاسوس تنها باید نشان میداد که کسر p/q نمیتواند وجود داشته باشد.
پس او دو طرف معادله را در q ضرب کرد
و هر دو طرف را به توان دو رساند.
و به این معادله رسید.
حاصل ضرب هر عدد در ۲ عددی زوج خواهد بود،
پس p به توان ۲ باید زوج باشد.
و اگر p فرد باشد این نمیتواند درست باشد
چون هر عدد فرد به هر توانی عددی فرد خواهد بود،
پس p عددی زوج است.
به این ترتیب، p میتواند به صورت ۲a نوشته شود و a عددی صحیح است.
با قرار دادن این عدد در معادله و ساده کردن
q به توان ۲ برابر با ۲ در a به توان ۲ خواهد بود.
یک بار دیگر، حاصل ضرب دو در هر عددی زوج خواهد بود،
پس q به توان ۲ عددی زوج است،
و به این ترتیب q هم باید زوج باشد،
یعنی q و p هر دو زوج هستند.
اما اگر این درست باشد، پس ۲ عامل مشترک آنها است،
و به این صورت فرض اولیه نقض میشود،
و به این ترتیب هیپاسوس نشان داد که این چنین نسبتی وجود ندارد.
به این میگویند برهان خلف،
و بر اساس افسانه،
خدایان علاقهای به نقض شدن نداشتند.
جالب این است که با وجود اینکه نمیتوان اعداد گنگ را
به صورت کسری نوشت،
میتوان اندازه دقیق بعضی از آنها را بر روی محور اعداد نشان داد.
جذر دو را در نظر بگیرید.
تنها کاری که باید بکنیم این است که یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع قائمه
به طول واحد رسم کنیم.
اندازه وتر جذر ۲ خواهد بود و میتوان آن را روی محور نشان داد.
سپس میتوانیم مثلثی دیگر با قاعدهای به آن طول
و ارتفاعی به طول واحد رسم کنیم،
و اندازه وتر آن مثلث برابر با جذر ۳ خواهد بود،
که آن هم میتواند بر روی محور تعمیم داده شود.
نکته اینجا است که ارقام و نسبتها تنها راهی برای نشان دادن اعداد هستند.
جذر ۲ به سادگی اندازه وتر یک مثلث قائم الزاویه
با اضلاع واحد است.
به طور مشابه، عدد گنگ مشهور پی
دقیقا برابر با چیزی است که معرف آن است،
نسبت محیط یک دایره به قطر آن.
تقریبهایی مانند ۲۲/۷،
یا ۳۵۵/۱۱۳ هرگز دقیقا برابر با پی نخواهند بود.
هیچ گاه نخواهیم دانست چه اتفاقی برای هیپاسوس افتاد،
اما چیزی که میدانیم این است که کشف او انقلابی را در ریاضیات رقم زد.
پس هرچه داستانها میگویند بگویند، اما شما هرگز از کاوش ناممکن نهراسید.