Последний банан: мысленный эксперимент по вероятности — Леонардо Баричелло

Полная версия урока: http://ed.ted.com/lessons/the-last-banana-a-thought-experiment-in-probability-leonardo-barichello

Представьте игру в кости по следующим правилам: если наибольшее число выпавших очков будет равно единице, двум, трём или четырём, то выигрывает первый игрок, а если пяти или шести, то победа присуждается второму игроку. У кого больше шансов выиграть игру? Леонардо Баричелло объясняет, как теория вероятности даёт ответ на эту, казалось бы, противоречивую головоломку.

Урок — Леонардо Баричелло, мультипликация — Ace & Son Moving Picture Co, LLC.

Представьте, что, оказавшись вдвоём
на необитаемом острове,

вы разыгрываете в кости последний банан.

Вы установили следующие правила:

каждый бросает два кубика,

и если наибольшее выпавшее число
равно 1, 2, 3 или 4,

то выигрывает первый игрок.

Если же наибольшее число 5 или 6,
то выигрывает второй игрок.

Давайте сделаем ещё два броска.

В этом случае выигрывает первый игрок,

а в этом — второй.

Итак, кем бы вы хотели быть?

На первый взгляд может показаться,
что первый игрок имеет преимущество,

ведь любое из четырёх чисел,
оказавшись наибольшим, означает победу.

Но на самом деле

вероятность победы в каждом матче
у второго игрока — примерно 56%.

Чтобы это увидеть, составим список
всех возможных комбинаций

при бросании двух кубиков,

а потом подсчитаем количество
выигрышей для каждого игрока.

Это все возможные варианты
для жёлтого кубика.

А это — для синего кубика.

Каждая ячейка таблицы показывает
комбинацию чисел при броске обоих кубиков.

Если у вас выпала четвёрка,
а потом пятёрка,

то в ячейке мы отметим
победу второго игрока.

Здесь тройка и единица приносят
победу первому игроку.

Всего существует
36 возможных комбинаций,

у каждой из которых
одинаковая вероятность выпадания.

Математики это называют
равновероятными событиями.

Теперь понятно, почему
первое суждение было ошибочным.

Хотя у первого игрока
четыре выигрышных номера,

а у второго игрока только два,

вероятность оказаться наибольшим
у каждого из этих чисел разная.

Единица может оказаться наибольшим числом
только в 1 из 36 случаев.

Тогда как шестёрка является наибольшей
в 11 из 36 случаев.

Таким образом, если выпадет
любая из этих комбинаций,

то победит первый игрок.

А при любой из этих комбинаций

выигрывает второй игрок.

Из всех 36 возможных комбинаций

только 16 дают победу первому,
а 20 — второму.

Можно также рассуждать
следующим образом.

Первый игрок выигрывает только тогда,

когда на обоих кубиках выпадает
единица, двойка, тройка или четвёрка.

Пятёрка или шестёрка
приносят победу второму игроку.

Вероятность того, что на одном кубике
выпадет 1, 2, 3 или 4, — 4 из 6.

Результат каждого броска
не зависит от результата других бросков.

Можно рассчитать совместную
вероятность независимых событий,

перемножив их вероятности.

Таким образом, вероятность выпадения
1, 2, 3 или 4 на обоих кубиках

равна 4/6 * 4/6, или же 16/36.

Так как кто-то должен выиграть,

вероятность выигрыша второго игрока
равна разности 36/36 и 16/36,

то есть 20/36.

Получаем те же самые значения,
что и при составлении таблицы.

Но это не означает,
что второй игрок выиграет,

или что, бросая вторым,
вы выиграете 20 из 36 игр.

Поэтому такие события, как бросок кубика,
называются случайными.

Даже если можно вычислить
теоретическую вероятность

каждого исхода,

можно не достичь ожидаемого результата
на примере лишь нескольких событий.

Если же эти случайные события
повторяются много-много раз,

то частота определённого исхода,
например, победы второго игрока,

приблизится к теоретической вероятности,

значение которой мы получили,
записав все возможные варианты

и подсчитав выигрышные
для каждого исхода.

То есть, если бы вы навечно застряли
за игрой в кости на необитаемом острове,

то, в конечном счёте, второй игрок
выиграл бы 56% игр,

а первый — 44%.

Только к тому времени банана,
разумеется, уже не было бы и в помине.