A última banana: Uma experiência intelectual na probabilidade — Leonardo Barichello

Vejam a lição completa: : http://ed.ted.com/lessons/the-last-banana-a-thought-experiment-in-probability-leonardo-barichello

Imagine um jogo de dados: se o maior número jogado for um, dois, três, ou quatro, o jogador 1 ganha. E se o maior número jogado for cinco ou seis, ganha o jogador 2. Quem tem a maior possibilidade de ganhar o jogo? Leonardo Barichello explica como a probabilidade tem a resposta para este enigma aparentemente contra-intuitivo.

Lição de Leonardo Barichello, animação de Ace & Son Moving Picture Co, LLC.

Você e um amigo náufrago
estão presos numa ilha deserta

a jogar aos dados a última banana.

Você concordou com essas regras:

Você lança dois dados.

Se o maior número for
um, dois, três ou quatro,

ganha o jogador 1 .

Se o maior número for cinco ou seis,
ganha o jogador 2.

Vamos tentar mais duas vezes.

Aqui, ganha o jogador 1,

e aqui é o jogador 2.

Então qual deles quer ser?

À primeira vista, parece
que o jogador 1 tem a vantagem,

uma vez que ele ganhará se qualquer
um dos quatro números for o maior,

mas, na verdade,

o jogador 2 tem aproximadamente 56%
de hipóteses de ganhar cada jogo.

Uma maneira de ver isso é listar todas
as combinações possíveis que existem

lançando dois dados,

e depois contar os que
cada jogador ganha.

Estas são as possibilidades
para os dados amarelos.

Estas são as possibilidades
para os dados azuis.

Cada célula na tabela mostra uma possível
combinação quando você joga os dados.

Se você lançar um quatro
e depois um cinco,

marcamos uma vitória
para o jogador 2.

Um três e um um dão a vitória
ao primeiro jogador.

Há 36 combinações possíveis,

cada uma com exatamente a
mesma hipótese de acontecer.

Os matemáticos chamam-lhe
"acontecimentos equiprováveis".

Agora podemos ver porque é
que a primeira impressão estava errada.

Mesmo que o jogador 1
tivesse quatro números vencedores

e o jogador 2 tivesse apenas dois,

a hipótese de cada número
ser o maior não é a mesma.

Só há uma hipótese de 1 em 36
que o número 1 seja o maior.

mas há uma hipótese de 11 em 36
que o número 6 seja o maior.

Assim, se lançar alguma
dessas combinações,

o jogador número 1 ganha.

E se saírem as outras combinações,

ganha o jogador número 2.

Entre as 36 combinações possíveis,

só 16 concedem a vitória ao jogador 1
e 20 concedem a vitória ao jogador 2.

Você também podia pensar de outra forma.

A única maneira em que
o jogador 1 pode ganhar

é se ambos os dados mostrarem
o um, dois, três ou quatro.

Um cinco ou seis significará
uma vitória para o jogador 2.

A hipótese de um dado mostrar
um, dois, três ou quatro é de 4 em 6.

Os resultados dos lançamentos de dados
são independentes uns dos outros.

Você pode calcular a probabilidade
conjunta de acontecimentos independentes

multiplicando as suas probabilidades.

Assim a hipótese de obter um, dois,
três ou quatro nos dois dados

é 4 em 6 vezes 4 em 6,
ou seja, 16 em 36.

Como alguém tem que ganhar,

a hipótese de o jogador 2 vencer
é de 36 em 36 menos 16 em 36,

ouseja, 20 em 36.

Essas são exatamente as mesmas
possibilidades que temos.

Mas isto não significa que
o jogador 2 vai ganhar,

ou que, se você jogar 36 jogos
como jogador 2, vá ganhar 20 vezes.

Isso porque acontecimentos
com lançamento de dados são aleatórios.

Mesmo que você possa calcular
a probabilidade teórica

de cada resultado,

não obterá os resultados esperados
se examinar apenas alguns acontecimentos.

Mas se repetir esses acontecimentos
aleatórios muitas e muitas vezes,

a frequência de resultados específicos,
como uma vitória do jogador 2,

aproximar-se-á da sua probabilidade teórica,

do valor que obtivemos,
listando todas as possibilidades

e contando os uns em cada resultado.

Portanto, se você ficasse nessa ilha
deserta a jogar dados eternamente,

o jogador 2 acabaria
por ganhar 56% dos jogos

e o jogador 1 ganharia 44% das vezes.

Mas, nessa altura, claro,
a banana já teria desaparecido.