計算の順序入門

計算(あるいは演算)の順序入門

このビデオでは計算(操作)の順序について

ちょっとお話しましょう．

ここではぜひ集中してもらいたいと思います．

なぜなら，数学では

本当に「全て」のことが

計算の順序に固く基づいて行なわれるからです．

ここで話すことは，そうですね．

計算(操作)の順序と言う時，何を意味しているのでしょう?

まずは例をやってみましょう．

ここでのポイントは，数学の表現は

一通りだけに解釈できるということです．

数学の表現を1つここに書きましょう．

7 たす 3 かける 5．

もし計算の順序が決まっていなかったら，

この表現には2つの解釈があります．

左から右へと単純に読むこともできます．

つまり，「7 + 3をまず計算しよう」
と言うこともできます．

7 + 3 を計算して，それに 5 をかけることができます．

7 + 3 は 10 です．

ですから，それに 5 をかけると，

10 x 5 で，それは 50 になります．

これがこの式を解釈する1つの方法です．

もし，私達が計算の順序を決めておかないと --

多分，単に左から右に計算するというのが
-- ある意味自然な方法でしょう．

他の解釈もあります．あなたは，

「おや，私はたし算の前にかけ算をするのが好きです．」と言うかもしれません.

もしそうだとしたら，これは -- 色をつけてみますが --

7 + ... そしてまず 3 x 5 を先に計算します．

7 + 3 x 5 これは 7 +

3 x 5 は 15 なので，... 7 + 15 は 22 です．

ここに書いたことは，2つの異なった解釈を
持つことに気がつきました．

これは単に左から右にそのまま計算したものです．

たし算を計算して，そしてかけ算を計算しました．

こちらの方法では，かけ算を最初に計算し，

そしてたし算を計算しました．
私達は異なる2つの答えを得ました．

これは数学ではクールではありません．

もしこれが，たとえば何かを月に送る時に
必要なことだったら，

この表現を2人の人が違った方法で解釈する，

あるいは1つのコンピュータが1つ目の方法で，

もう1つのコンピュータがもう1つの方法で解釈したら--

ロケットは火星に行ってしまうかもしれません!

そうなると全く使えません．

だから私達は，計算の順序について

決めておかなくてはならないのです．

この表現をどう解釈するかについて
皆が認めなくてはなりません．

計算の順序について合意されていることは，

かっこを最初に計算することです．

-- ここに書いておきます --

「かっこ」が最初，そして指数，

もし指数が何のことか知らなくても，

今は心配する必要はありません．このビデオでは

例題に指数がでてくることはありません．

ですからこのビデオでそれについて
心配することはありません．

そして次にかけ算，--

ここでは単に「かけ(mult)」と
かけ算(multiplication)を短かく書いておきます．

そしてかけ算と割り算を次に計算します．

これらには同じレベルの優先度があります．

そして最後にたし算とひき算を計算します．

さて，この例の計算の順序はどうなるでしょうか?

題をつけておきましょう -- こちらにあるものが，

計算の順序として皆が認めた(合意された)ものです．

もし私達が，この計算の順序を守れば，

私達は与えられた表現について

いつも同じ答えを得ます．これはどうなるでしょうか?

これを解釈するいちばん良い方法は何でしょうか?

そうですね．ここにはかっこはありません．--

かっこというのは，このようなものです．

これらの数字の回りにある小さな曲がったものがそうです．

ここではかっこは1つもありません --

かっこのある例はあとでいくつかやりましょう．

ここには指数もありません．

しかし，いくつかのかけ算と割り算はあります．

実はここにはかけ算だけあります．

計算の順序が言うには，

「かけ算と割り算を最初にせよ．」

つまり，かけ算を最初にする --

これはかけ算です．ですからこの計算を最初にします．

これはたし算とひき算よりも高い優先度を持っています．

ではこれを最初にする，ここには 3 かける 5 があります，

それは 15 です．そして 7 をそれにたします．

たし算とひき算 -- ここでやってみます．

ここには -- このように -- 実はたし算だけです．

かけ算を最初にしたので 15 になって，

それに 7 を加えると 22 です．

合意された計算の順序に基づくと，

こちらにあるのが正しい答えです．

この表現を解釈する正しい方法です．

もう1つ例をやってみましょう．

たぶんそうした方がもっとはっきりとわかることでしょう．

ピンクで例題を解いてみます．

7 + 3 があって，

- かっこをここにおきます -

かける 4 割る 2 ひく 5 かける 6．

あらゆる種類の難しいことがここにありますね．

しかし単に計算の順序にそって計算すれば，

これはきれいに単純に計算できます．

そして皆が同じ答えを得ることを期待しましょう．

では計算の順序に従って計算しましょう．

最初にすることは，かっこを探すことです．

ここにかっこがありますか? そうです，あります!

7 + 3 の回りにかっこがあります．

それ(計算の順序)は，「これを最初にしよう」
と言っていますから，7+3は 10です

そしてこれは簡単に，

- 単に計算の順序を見ていけば -

10 かけるここにある全部です．書き直す必要がないように

これをコピー・ペーストしておきます．

コピーして，ペーストします．

これで10 かけるこちら全部が簡単になりました．

最初にかっこを計算しました．
では次は何をすべきでしょうか?

もうこの式にはかっこはありません．

では，次は指数を計算すべきです．

しかしここには指数はありません．

もし指数がどういうものか興味ある人のために，

指数というのは，こんなふうなものです．

-- 7 の2乗 --

小さな数が数の右肩に見えるでしょう．

ここには指数はありません．

ですから指数は心配することはありません．

そしてかけ算と割り算を次に計算すると言っています．

かけ算はどこにあるでしょうか --

ここにはかけ算，割り算，
そしてかけ算がもう1つあります．

複数の計算(演算)が同じレベルにある時には，

この私達の計算の順序では，
かけ算と割り算が同じレベルにある時には

-- 左から右へと計算します．

この場合，4をかけて，

そして2で割ります．
私達は 4 割る 2 (の結果を)をかけたりはしません．

次にここではひき算をする前に5 かける6を計算します．

では，それが何になるか考えてみましょう．

かけ算を最初に計算します．

かけ算を最初にする --

このかけ算を同時にすることもできます．

なぜなら，それによって答えは変化しないからです．

しかし私はここで順番に1つづつやっていこうと思います．

次のステップでは，私達はこの10 x 4 を計算します．

10 x 4 は 40 です．

そして 40 割る 2があります．

-- これをまたコピー・ペーストしましょう．--

するとここにあるものが簡単になります．

ここで注意することは，かけ算と割り算が，--

それらは厳密に同じレベルにあります --

そこで私達は左から右へと計算します．

これを 1/2 をかけたものとして考えることもできます．

その場合には順番は関係ありません．しかし簡単のために，

かけ算と割り算は左から右へ計算するとしましょう．

すると 40 割る 2 ひく 5 かける 6．

割り算 -- ここには1つの割り算があります．

あなたはやってみたいことでしょう．これは，--

この割り算とこのかけ算があります．

これは一緒ではありません．

ですから実はこれらを同時に計算することができます．

はっきりさせておきたいのですが，
これはひき算をする前に計算することです．

なぜなら，かけ算/割り算はたし算/ひき算よりも
優先度が高いからです．

この周りにかっこを書いてもいいでしょう．

これは，「ちょっと見て，ひき算をする『前に』

ここを先に計算するよ」というしるしです．

なぜならかけ算/割り算が優先されるからです．

40 を 2 で割ると20です．

このマイナスの符号は次に持っていきます．

-5 かける 6 は 30 です．

20ひく30は-10に等しいです．

これが正しい解釈です．

ここで私がとてもとてもはっきりさせておきたいのは:

同じレベルに何かがある場合，

もし 1 + 2 - 3 + 4 - 1 がある場合，

たし算とひき算は同じレベルにあります．

計算の順序では，左から右へと計算すべきです．

これを 1+2 は 3 と解釈すべきです．

そしてこれは 3 - 3 + 4 - 1 と同じことになります．

そうしたら，3 - 3 は 0 で + 4, - 1．

あるいはこれは 4 - 1 と同じことです．

それは 3 と同じことですね．左から右へと計算する．

かけ算と割り算の全部が同じレベルにある場合も

同じです．

もし 4x2 割る 3 かける 2 があれば，

4x2 は 8 であり，それを3 で割って 2 をかける．

8 割る 3 は -- ここには分数がでてきました --

それは 8/3 です．そして8/3 かける2です．

8/3 かける 2 は 16/3 に等しい．

これこそがあなたが解釈する方法です．
ここでかけ算を最初に計算して

それを全部2で割ったりはしません．

計算の順序で1つだけだらしなく計算して良い場合は，

「全部が」たし算か「全部が」かけ算の場合です．

もし 1+5+7+3+2 があった時には，

どういう順序で計算するかは関係ありません．

2+3 を計算することも;

右から左へと計算することもできます．

左から右へと計算することもできます．

どこか途中からはじめてもかまいません．

もしそれが，たし算だけしかない場合はです．

同じようにもし全部がかけ算しかない場合にもこれが通用します．

1 かける 5 かける 7 かける3 かける 2 があった時，

どのような順序でそれを計算するかは関係ありません．

これは全てがかけ算か全てがたし算の時だけです．

もし割り算がここにあったり，
ひき算がここにあったりしたら，

あなたは単に左から右へと計算するのが良いでしょう．