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Du, als der Philosoph und Mathematiker aus der Antike,
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bist also zum Schluss gekommen,
dass wenn die Multiplikation positiver und negativer Zahlen
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mit allem zusammenpassen soll,
was du bis jetzt aufgebaut hast,
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mit allen anderen Eigenschaften der Multiplikation,
die du bis jetzt kennst,
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dass Du entweder eine negative mal eine positive Zahl brauchst
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oder eine positive mal eine negative Zahl,
um eine negative Zahl zu bekommen,
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und du brauchst eine negative mal eine negative Zahl,
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um eine positive Zahl zu bekommen. Du akzeptierst das also,
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es passt alles zusammen...
aber es ist noch immer nicht ganz plausibel für Dich,
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Du möchtest eine etwas tiefere Einsicht bekommen als es bloss
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akzeptieren zu müssen, damit es übereinstimmt mit dem Distributivgesetz und anderen. Du versuchst ein weiteres
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Gedankenexperiment. Du sagst,
"nun, was macht eine einfache Multiplikation damit?"
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Wenn ich sage, zwei mal
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drei, dann kann ich mir diese einfache
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Multiplikation hier eigentlich vorstellen als
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wiederholte Addition.
Du könntest das also betrachten als zwei Dreier,
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also wörtlich genommen drei plus drei,
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Und schau, es gibt zwei davon, zwei von diesen.
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Oder Du könntest das als drei Zweier betrachten.
Dann wäre das dasselbe wie
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zwei plus zwei plus zwei, und es gibt
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drei davon. Wie immer Du Dir das vorstellst,
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Du bekommst genau dieselbe Antwort. Das hier ist gleich
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sechs! Na gut, das hattest Du gewusst,
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bevor Du Dich an negative Zahlen gewagt hattest.
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Versuchen wir jetzt, eine von diesen negativen Zahlen zu machen, und sehen wir
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was passiert. Machen wir zwei--
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zwei mal minus drei
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lass mich das Minus andersfarbig machen: Zwei mal Minus--
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drei.
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Das kannst Du betrachten,
dieselbe Analogie wie hier,
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es ist minus drei, zwei Mal, wäre das
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minus drei-- ich versuche Farbcodes zu machen--
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minus drei, und dann noch ein minus drei.
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Oder Du könntest sagen minus drei minus drei.
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Oder, und das ist jetzt interessant, anstelle
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von da drüben, zwei mal plus drei,
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da hast Du zwei addiert, drei mal.
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Da aber zwei mal minus drei hier steht,
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könntest Du Dir auch vorstellen,
dass Du zwei subtrahierst, und das drei Mal.
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Anstelle von-- hier oben hätte ich eigentlich schreiben können
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plus zwei plus zwei plus zwei, weil das hier eine
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positive Drei ist, aber weil wir das mit einer negativen drei machen,
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könnten wir uns vorstellen, dass dies bedeutet,
zwei zu subtrahieren, drei Mal.
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Das wäre also zwei subtrahiert,
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Achtung, noch einmal zwei subtrahiert,
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und dann subtrahierst Du noch einmal zwei.-- Farben verwechselt. Minus zwei genau dort.
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Noch einmal, Du hast es
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drei Mal gemacht. Das war also eine negative Drei.
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Eigentlich ziehst Du zwei ab, und das drei Mal.
Egal wie Du Dir das
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da drüben vorstellst, Du bekommst minus sechs heraus,
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Du bekommst minus sechs als Antwort.
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Jetzt bist Du schon zufrieden mit diesem Teil da:
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negativ mal positiv, oder positiv mal negativ,
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ist gleich negativ. Gehen wir jetzt zur wirklich unanschaulichen Aufgabe:
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Negativ mal negativ-- plötzlich heben sich die
negativen irgendwie auf
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und ergeben eine positive Zahl.
Warum ist das so? Nun, wir können das aus
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diesem Beispiel hier aufbauen. Sagen wir, wir hätten
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minus zwei. Sagen wir, wir hätten minus zwei,
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lass mich eine andere Farbe nehmen,
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sagen wir, wir haben eine minus zwei--
nein, die Farbe hatte ich schon--
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minus zwei
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mal minus drei.
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Jetzt können wir - oder ich mache das hier zuerst.
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Wir multiplizieren immer noch wir etwas mit minus drei. Wir
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subtrahieren also mehrmals dieses Ding, drei Mal,
was immer das Ding ist,
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jetzt ist das Ding aber keine positive Zwei.
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Das Ding, das wir dreimal subtrahieren, ist eine negative Zwei.
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Lass mich das klar machen:
das hier sagt, wir subtrahieren etwas drei Mal,
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wir subtrahieren etwas drei Mal. Also etwas subtrahieren,
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etwas subtrahieren, etwas subtrahieren. Drei Mal.
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Das sagt uns dieser Teil hier.
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Und wir machen das genau drei Mal.
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Dort drüben war eine positive Zwei,
die wir drei Mal subtrahiert haben.
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jetzt subtrahieren wir eine negative Zwei.
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und wir wissen schon vom Subtrahieren
negativer Zahlen, wir haben
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diese Intuition schon aufgebaut, dass etwas Negatives subtrahieren dasselbe ist wie--
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es ist wie jemandem die Schulden wegnehmen. Es ist dasselbe wie etwas Positives zu addieren,
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und daher wird das hier dasselbe wie zwei plus zwei plus zwei,
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was Dir wiederum eine positive Sechs gibt.
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Du kannst dieselbe Logik hier unten verwenden.
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Anstelle minus zwei dreimal zu subtrahieren,
und das hätte ich schreiben
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können als minus drei, in diesem Beispiel,
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minus drei,
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minus drei, und wir haben das addiert,
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wir hatten es addiert-- ich mache hier ein Pluszeichen, um das klar zu machen,
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dort drüben hatten wir es zweimal addiert, wir haben minus drei
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zwei mal addiert. Hier unten, da wir eine minus zwei haben,
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subtrahieren wir minus drei zwei Mal. Wir subtrahieren also etwas,
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und wir subtrahieren es noch einmal, und dieses etwas ist
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unsere negative Drei, es ist unser minus drei, also
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minus, und wir geben unsere Drei dort hin.
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Noch einmal: eine negative Drei zu subtrahieren ist wie jemandes
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Schulden wegzunehmen, Du gibst ihnen eigentlich Geld.
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Das ist dasselbe wie drei plus drei zu addieren, was wieder sechs ist.
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Jetzt bist Du, als der Philosoph aus der Antike,
schon recht zufrieden.
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Nicht nur ist das alles konsistent mit der ganzen Mathematik, die Du kennst,
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das Distributivgesetz, das Assoziativgesetz, Multiplizieren,
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alle diese Dinge die Du schon weisst, und jetzt
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ist für Dich das Ganze auch logisch.
Es ist eigentlich sehr konsistent
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mit Deinem ursprünglichen Verständnis,
oder einem der möglichen Auffassungen,
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der Multiplikation, nämlich als wiederholte Addition.
