-
Řekněme, že jako starověký filosof
matematiky jste
-
dospěli k závěru, že násobení
kladného a záporného čísla je
-
v souladu se vším, co jste doposud
dělali a co víte
-
o vlastnostech násobení.
-
Víme, že záporné číslo krát kladné číslo
-
nebo kladné číslo krát záporné nám
dá záporné číslo.
-
A že záporné číslo krát záporné číslo
-
nám dá kladné číslo. Víme
tedy, že to vše je
-
v pořádku. Ale ještě nám to nedává
úplně smysl a
-
chtěli bychom tomu porozumět trochu
hlouběji, než jen
-
přijmout, že zde také platí
distributivita či cokoliv jiného.
-
Zkusíme se tedy zamyslet a řekneme si:
"Co vlastně dělá klasické násobení?"
-
Vezměme si 2 krát 3.
-
Jeden způsob jak to pojmout, je uvědomit
si, že násobení je jen opakované
-
sčítání, můžeme na to tedy pohlížet
jako na 2 trojky.
-
Napíšeme tedy 3 plus 3
-
a všimněte si, že jsou dvě, jsou
zde dvakrát.
-
Nebo na to můžeme pohlížet jako na
3 dvojky, je to tedy stejné
-
jako 2 plus 2 plus 2 a celkem jsou tři.
-
Tak či tak, vždy dostaneme tentýž
výsledek. Bude to rovno
-
6. Dobrá.
-
To víme ještě před tím, než
se pustíme do záporných čísel.
-
Nyní jedno z nich uděláme záporné a
-
uvidíme, co se stane. Uděláme
-
2 krát -3.
-
Udělám to záporné jinou barvou.
-
2 krát -3.
-
Můžeme na to dívat stejným způsobem
jako předtím,
-
je to 2krát -3. Bude to tedy
-
-3... Zkusím to rozdělit barevně.
-
-3 a další -3.
-
Můžeme také říci -3
minus 3.
-
Nebo, a to je zajímavá věc,
můžeme tak,
-
jak jsme si ukázali zde,
2 krát 3
-
dvojku sečteme třikrát.
-
Ale protože zde máme 2 krát -3, můžeme
si to představit tak
-
že odečítáme číslo 2 třikrát.
-
Sem nahoru jsem mohl klidně napsat
-
+2 plus 2 plus 2, protože zde máme
kladnou trojku.
-
A protože zde nyní máme zápornou trojku,
-
můžeme si představit, že odečítáme
dvojku třikrát. Bude to tedy...
-
Odečítáme 2.
-
Odečteme dvojku, odečteme další dvojku a
-
poté ještě odečteme další dvojku.
-
Všimněte si, že jsme to opět provedli
třikrát.
-
Tohle byla -3, nakonec
tedy odečítáme číslo 2
-
třikrát. A v obou těchto případech
-
dostaneme stejný výsledek, -6.
-
-6 je výsledek.
-
Nyní, když jsme si zopakovali,
že násobíme-li kladné
-
a záporné číslo nebo
záporné a kladné číslo,
-
vždy dostaneme číslo záporné.
Teď se podíváme na něco,
-
co není moc intuitivní, záporné krát
záporné. Najednou se záporná čísla nějak
-
vyruší a dostaneme číslo kladné.
Proč tomu tak je? Budeme vycházet
-
z předchozího příkladu.
Řekněme,
-
že máme zápornou dvojku,
máme tedy -2...
-
Udělám to jinou barvou.
-
Máme -2, tuto barvu
už jsem používal.
-
-2 krát -3.
-
Nyní můžeme...
Raději začnu tímto.
-
Něco násobíme zápornou trojkou,
to znamená,
-
že opakovaně odečteme tuto věc třikrát,
ať je to cokoliv.
-
Ale to něco není kladná dvojka,
-
ta věc je záporná dvojka.
Vyjasním to tedy.
-
Tohle nám říká,
že budeme něco odečítat
-
třikrát, něco tedy třikrát odečteme,
-
odečítáme něco opakovaně, třikrát.
-
To nám říká tato část a
-
uděláme to přesně třikrát.
-
Předtím to byla kladná dvojka, kterou
jsme odečítali třikrát, nyní
-
máme zápornou dvojku, budeme odečítat
zápornou dvojku.
-
A my víme z odečítání záporných čísel,
už jsme
-
si vytvořili tu domněnku, že odečítání
záporného čísla
-
je to samé jako přičítání kladného. Bude
to tedy
-
stejné jako 2 plus 2 plus 2,
-
což nám opět dá +6.
-
Stejnou logiku můžeme použít i tady.
-
Nyní místo sčítání záporné trojky dvakrát,
-
zde jsem to mohl zapsat
jako zápornou trojku,
-
záporná trojka, sčítáme to.
-
Sečetli jsme to, napíšeme tu plus,
aby to bylo zřejmé.
-
Tady jsme ji sečetli dvakrát,
zápornou trojku jsme sečetli
-
dvakrát. A nyní, když máme zápornou
dvojku, budeme dvakrát odečítat
-
zápornou trojku. Budeme tedy něco odečítat
-
a znovu budeme něco odečítat, a to něco
bude naše
-
záporná trojka. Je to naše záporná
trojka. Takže
-
zápor, zápor a napíšeme tam trojku.
-
A opět, odečítání záporného čísla je jako
splácení dluhu,
-
což je to samé, jako kdybychom dostávali
peníze.
-
Je to to samé jako sčítání 3 plus 3, což
je opět 6.
-
Nyní se jako starověký filosof cítíte
celkem dobře, nejen
-
že jste zůstali v souladu s celou
matematikou, kterou už znáte,
-
distributivita platí i u násobení něčeho
něčím,
-
to vše už víte. A nyní už to také
-
dává větší smysl. Vše je v souladu s
-
vašimi původními poznatky o
násobení, respektive s jedním z nich:
-
jde o opakované sčítání.
