Що ж такого привабливого у математиці?

Приховані істини пронизують наш світ; вони недоступні для наших почуттів, але математика дає нам змогу вийти за межі нашого сприйняття, щоб розкрити їх таємниці. У даному дослідженні математичних відкриттів, лауреат премії Філдса Седрик Віллані роздумує про хвилювання під час відкриттів і розповідає про заплутане життя математика. "Красиві математичні пояснення існують не лише для нашого задоволення, - зазначає він. - Вони змінюють наше бачення світу".

Що французи роблять краще, ніж
всі інші?

Якщо ви проведете опитування,

першими трьома відповідями
можуть бути:

кохання, вино і скиглення.

(Сміх)

Можливо.

Але дозвольте мені запропонувати
четверту:

математика.

Чи знаєте ви, що в Парижі було більше
математиків,

ніж у будь-якому місті світу?

І також більше вулиць на честь
математиків.

Якщо ви розглянете статистику тих, хто
отримав Філдсівську премію,

яку часто називають Нобелівською премією
з математики

і завжди дають математикам у віці
до 40 років,

ви побачите, що у Франції більше
медалістів Філдса на одну людину,

ніж у будь-якій країні.

Що ж такого привабливого у математиці?

Зрештою, вона здається нудною і
абстрактною:

лише цифри, розрахунки і
правила застосування.

Математика може бути абстрактною,

але вона не є нудною

і складається не лише з розрахунків.

Вона складається з міркувань

і доведень нашої основної діяльності.

Вона складається з уяви -

таланту, що його ми цінуємо понад усе.

У ній йдется про пошук істини.

Немає нічого схожого до почуття, яке
наповнює вас,

коли після місяців напруженого мислення

вам нарешті приходять правильні думки
для розв'язання задачі.

Великий математик Андре Вейль
порівняв це -

без жартів -

із сексуальним задоволенням.

Але зауважив, що це почуття може тривати
годинами або навіть днями.

Винагорода може бути значна.

Приховані математичні істини пронизують
весь наш фізичний світ.

Вони недоступні для наших почуттів,

але їх можна побачити через
призму математики.

На мить заплющіть очі

і подумайте, що відбувається прямо зараз
навколо вас.

Невидимі частинки з повітря навколо
вдаряються об вас -

мільярди і мільярди кожної секунди -

і все це в повному хаосі.

І все ж,

ця статистика може бути точно передбачена
математичною фізикою.

А зараз розплющте очі

на статистику швидкостей цих
частинок.

Відома дзвоноподібна крива Ґауса -

або Закон помилок -

відхилення стосовно звичних
закономірностей.

Ця крива розкриває статистику щодо
швидкостей цих частинок,

так само як і демографічна крива

розкриває статистику щодо віку
людей.

Це одна з найважливіших кривих
за все існування.

Вона виникає знову і знову,

з багатьох теорій і багатьох
експериментів,

як яскравий приклад універсальності,

який є таким цінним для нас -
математиків.

Завдяки цій кривій,

відомий науковець Френсіс Ґальтон
сказав:

"Якби греки знали про неї, вони б її
боготворили.

Це вища ступінь безрозсудності".

І немає кращого способу матеріалізувати
вище божество, ніж дошка Ґальтона.

Всередині неї - вузькі проходи,

через які крихітні кульки падають у
довільному порядку,

просуваючись вправо або вліво, або вправо
і так далі.

Все це у повній довільності і хаосі.

Розгляньмо, що відбувається, коли
ми дивимось на всі ці траєкторії одночасно

(Трясе дошку).

Це трохи кумедно,

адже нам немовби треба розібратися з
певними "заторами".

Ага.

Ми думаємо, що довільність
насміхається наді мною на сцені.

Так і є.

Наша найвища ступінь безрозсудності,

крива Ґауса,

розміщена всередині цієї прозорої коробки,
наче Сон з коміксу "Пісочна людина".

Для вас я показав її,

але моїм студентам я пояснив, чому тут не
може бути жодної іншої кривої.

Ми торкаємось при цьому таємниці того божества,

замінюючи прекрасний збіг
прекрасним поясненням.

Всі науки такі ж, як ця.

І прекрасні математичні пояснення існують
не лише для нашого задоволення.

Вони також змінюють наше бачення світу.

Наприклад:

Ейнштейн,

Перрін,

Смолуховський -

вони використовували математичний аналіз
довільних траєкторій

і криву Ґауса,

щоб пояснити і довести, що наш світ
складається з атомів.

Це було не вперше,

коли математика кардинально змінювала
наш погляд на світ.

Більш ніж 2000 років тому,

в часи давніх греків,

вона вже існувала.

У ті дні

лише мала частина світу
була досліджена,

і Земля могла б здаватися нескінченною.

Але розумний Ератосфен,

використовуючи математику,

спромігся виміряти Землю з дивовижною
точністю до двох відсотків.

Ось ще один приклад.

У 1673 році Жан Ріше помітив,

що маятник гойдається трішки повільніше
в місті Каєнна, ніж у Парижі.

З цього єдиного спостереження
і детально продуманої математики

Ньютон правильно вивів,

що Земля трохи сплющена біля полюсів,

до близько 0.3 відсотка -

настільки мало, що ви навіть не помітите
цього на справжній проекцї Землі.

Ці історії показують, що математика

змушує нас змінити своє сприйняття,

виміряти Землю, яка здається нескінченною,

побачити невидимі атоми

або виявити непомітну зміну форми.

І якщо існує лише одна річ, яку ви повинні
запам'ятати з нашої розмови,

це буде саме це:

математика дає нам змогу вийти
за межі сприйняття

і дослідити території, які не вписуються
в межі наших міркувань.

Ось ще один сучасний,
добре знайомий вам приклад:

пошук в Інтернеті.

"Всесвітня павутина" -

більш ніж один мільярд веб-сторінок -

чи ви хочете їх детально дослідити?

Обчислювальна потужність
допоможе вам у цьому,

але вона була б марна без
математичного моделювання

для пошуку інформації, прихованої
в базі даних.

Розв'яжімо одне легке завдання.

Уявіть, що ви - детектив, який працює над
кримінальним злочином,

і є багато людей, у кожного з яких своя
версія фактів.

У кого спершу ви візьмете інтерв'ю?

Слушна відповідь:

у головного свідка.

Як бачите,

припустімо, ніби існує
особа номер сім, яка

розповідає вам історію,

але коли ви спитаєте, звідки вона її
взяла,

вона вкаже на особу номер три
як на першоджерело.

І, можливо, особа номер три,
своєю чергою,

вкаже на особу номер один, як на
основне джерело.

Номер один є головним свідком,

так що я, безумовно, хочу спершу
взяти інтерв'ю у нього.

А зі списку

ми також бачимо, що особа номер чотири є
головним свідком.

І, можливо, я захочу спершу у нього взяти
інтерв'ю,

через те, що більше людей посилаються
на нього.

Добре, це було легко,

але що якби ви мали велику
групу свідків?

І цей графік -

може це всі люди, які свідчили у справі
про складний кримінальний злочин,

а може це веб-сторінки, що вказують
одна на одну,

посилаючись на зміст кожної з них.

Які з них найбільш авторитетні?

Не дуже зрозуміло.

Ввійдіть на PageRank -

один із важливих елементів Google.

Цей алгоритм використовує закони
математичної випадковості,

щоб автоматично визначити найактуальніші
веб-сторінки,

таким же чином, як і довільність
у експерименті з дошкою Ґальтона.

Отже, відправмо в цей список

купу крихітних, цифрових кульок

і дозволимо їм у довільному порядку
рухатися по ньому.

Потрапляючи на сайт,

вони пройдуть через певне випадково
вибране посилання до наступного.

І знову, і знову, і знову.

І, за допомогою цих елементів,

ми слідкуватимемо за тим, скільки
разів потрапляли на сайт

ті цифрові кульки.

Ось так.

Випадковість, випадковість.

І час від часу

також стрибаймо абсолютно
довільно, щоб було ще веселіше.

І подивіться на це:

від хаосу з'явиться рішення.

Найчастотніші елементи відповідають тим
сайтам,

які певним чином краще з'єднані
з іншими,

на них більше звертають увагу.

І тут ми ясно бачимо,

на які веб-сторінки ми хочемо зайти
в першу чергу.

І знову

рішення приходить випадково.

Звичайно, відтоді

Google стикався зі складнішими
алгоритмами,

але вже цей був прекрасний.

І все ж,

лише одна проблема на мільйон.

З появою цифрової галузі

все більше і більше задач надаються до
математичного аналізу,

що робить професію математика
дедалі кориснішою,

так що декілька років тому

цей фах зайняв перше місце серед сотень
професій

у дослідженні найкращих і найгірших з них,

опублікованому у Wall Street Journal
у 2009 році.

Математик -

найкраща професія у світі.

А все завдяки зв'язку зі сферою використання:

комунікативна теорія,

інформаційна теорія,

ігрова теорія,

стиснене вимірювання,

машинне навчання,

графічний аналіз,

гармонічний аналіз.

І чому б не випадковий процес,

лінійне програмування

або моделювання рідини?

Кожна з цих галузей є монстром у сфері
промислового застосування.

І завдяки ним

у математиці крутяться великі гроші.

Припускаю, що

коли справа доходить до отримання прибутку,

американці є світовими
чемпіонами зі своїми

розумними, харизматичними мільярдерами і
дивовижними, гігантськими компаніями -

по суті, це все базується на майстерному
алгоритмі.

З усією цією красою, корисністю і
багатством

математика виглядає привабливіше.

Але чи не здається вам,

що життя дослідника - математика є
легким?

Воно наповнене подивом,

розчаруванням,

відчайдушною боротьбою за усвідомлення.

Хочу навести приклад

одного з найвражаючих днів з мого
математичного життя.

Чи то пак

однієї з найвражаючих ночей.

У той час

я перебував в Інституті перспективних
досліджень у Прінстоні -

у багатолітньому домі Альберта Ейнштейна

і, можливо, "свята святих" для
математичних досліджень у світі.

Тієї ночі я працював і працював над
смутним доказом,

який був незавершеним.

Він заключався в усвідомленні

парадоксальної стабільної властивості
плазми,

яка є скупченням електронів.

В ідеальному світі плазми

немає жодних зіткнень

і тертя, щоб забезпечити стійкість,
до якої ми звикли.

І тим не менш,

при найменшому порушенні плазмової
рівноваги

ви виявите, що електричне поле,
яке виникає в результаті,

спонтанно зникає

або випаровується,

ніби під впливом якоїсь таємничої
сили тертя.

Це парадоксальне явище,

назване затуханням Ландау,

є одним з найважливіших серед фізичних
властивостей плазми,

і його відкрили математичним шляхом.

І все ж,

повністю зрозуміти цей феномен
математикам раніше не вдавалось.

Разом з моїм колишнім студентом і
найближчим колегою Клементом Муо,

тоді ще в Парижі,

ми працювали над пошуком цього доказу
довгими місяцями.

Насправді

я вже ненароком оголосив, що ми могли б
розв'язати цю задачу.

Але насправді

з доказом щось було не так.

Попри більш, ніж сотню сторінок
складних, математичних аргументів,

купу відкриттів

і безліч розрахунків,

він не спрацьовував.

І тієї ночі у Прінстоні

певна розбіжність у низці умовиводів
зводила мене з розуму.

Я вкладав у пошук всю свою енергію, досвід
і навички,

але нічого не виходило.

Перша година ночі, друга, третя -

все марно.

Близько четвертої ранку я пішов спати у
кепському настрої.

Згодом, через декілька годин,

я прокидаюсь і думаю:

"Ох, час збирати дітей до школи..."

Але що це?

Присягаюсь, я почув свій внутрішній голос.

"Перенеси другу змінну вправо, застосуй

перетворення Фур'є і інверсію L2".

(Сміх).

Чорт забирай,

це стало початком розв'язку!

Розумієте,

я подумав, що трохи відпочив,

але насправді мій мозок продовжував
над цим працювати.

В такі моменти

ви не думаєте про кар'єру чи про колег -

це бій віч-на-віч із проблемою.

Безумовно

це не заважає вам отримати підвищення
як нагороду за вашу складну працю.

Після того, як ми завершили наш
грандіозний аналіз затухання Ландау,

мені пощастило

отримати омріяну
медаль Філдса

з рук Президента Індії

в Гайдабараді 19 серпня 2010 року -

нагороду, про яку математики і мріяти
не сміють,

це був день, який я запам'ятаю на все
життя.

Що ви відчуваєте

у такому випадку?

Гордість, так?

І вдячність багатьом колегам, які зробили
це можливим.

Оскільки це колективне досягнення,

ним потрібно поділитися, і не лише
зі своїми колегами.

Я певен, що кожен може зрозуміти
захоплення математичним пошуком

і поділитися захопливими історіями про
людей та ідеї, які стоять за ними.

Разом з моїми колегами з Інституту
Анрі Пуанкаре,

разом із партнерами і майстрами
математичної комунікації зі всього світу

ми працюємо над створенням власного музею,
присвяченого математиці.

Так що через декілька років,

коли ви приїдете до Парижу,

покуштувавши чудовий, хрумкий багет
і макаруни,

прошу вас, зайдіть до нас в Інститут
Анрі Пуанкаре

і розділіть з нами нашу математичну мрію.

Дякую вам.

(Оплески).