数学の何がそれほど魅惑的なのか

私達の世界には、どこにでも真理が潜んでいます。人の五感では感知出来なくとも、私達の直観を超え、数学が真理の神秘を解き明かしてくれます。数学的飛躍をなした研究でフィールズ賞を受賞したセドリック・ヴィラニは、その発見の感動と不可解に思われがちな数学者の生活を詳細に語り、「美しい数学の解明は喜びであるだけでなく、私達の世界観を変える」と言います。

フランス人が 他の国民より
巧みな事は何でしょう？

そんな世論調査をしたなら

トップ３の答えは

愛､ワイン､ワイニング（泣き言）

（笑）

かもしれませんが

それに加えて もう１つ提案すると

数学です

パリ程 数学者の多い街は

世界中どこを捜してもありません

これ程 数学者にちなんだ
名前の街路もありません

統計からすると

数学のノーベル賞とも言われ

40才以下の数学者に与えられる

フィールズ賞の受賞者人口比は

フランスが世界一です

数学の何が フランス人を
そんなに魅惑するのでしょうか？

数学なんて 抽象的でつまらないとか

またはルールと数字を使っての計算に
過ぎないように思えるでしょう

数学は抽象的かも知れませんが

退屈ではなく

計算が全てでもありません

数学とは論証と証明こそが

数学者の仕事の中核を成し

想像力 すなわち

我々が最も称賛する能力を使う

真理の追求です

何ヶ月も思考を重ねた上

問題が解け やっと正しい証明が

論証し上がった時の喜び
と言ったらありません

偉大なる数学者アンドレ・ヴェイユが
この喜びを—

冗談抜きに—

性的快感に例えています

違いは その感覚が何時間も
時には何日も継続するという事です

見返りが大きいのです

数学的真理は
この物質世界全体に潜んでいます

我々は それを五感で
感じる事は出来なくとも

数学というレンズを通して
見る事が出来ます

では 暫く目を閉じて

身の回りで起きている事を
考えてみて下さい

あなたの周りの空気中にある
見えない無数の粒子が

常にあなたの体に
ぶつかってきています

それは まったく不規則です

それでも

動きの統計的な値は
数理物理学で正確に予測できます

では 目を開けて

その粒子の速度の統計に
目を向けてみましょう

これは かの有名な
釣り鐘形のガウス曲線—

誤差の法則—

平均的挙動に対する
偏差を表したものです

この曲線は 粒子の速度を

人口統計が年齢分布を表すように

統計で表したもので

最も重要な曲線の１つです

これは幾度となく

多くの理論や実験から現れる

普遍的な一大真理として

我々数学者には とても大切なものです

ガウス曲線に関して

有名な科学者フランシス・ゴルトンが
こう言いました

「ギリシャ人がこの法則を知っていたら
これを神格化していただろう

これは無秩序の最高法規だ」

この至高の女神を最もうまく
具現化したのがゴルトンボードです

この中には 狭いトンネルがあり

それを通り 小さなビー玉が

右へ 左へ また左へというように
ランダムに落ちていきます

完全に無秩序な混沌とした動きです

こんな無秩序な軌道が共に
何を起こすか見てみましょう

（ボードを振る）

これはちょっとした運動です

この中の交通渋滞を
解消しないといけないので

さあ

この場で無秩序が何か面白い事を
起こすかもしれませんよ

出ました

無秩序の至高の女神

ガウス曲線が

『サンドマン』の主人公ドリームのように
この透明の箱に閉じ込められています

ここでは 実験で
お見せするだけですが

この曲線以外はあり得ない理由を
私のクラスでは説明します

至高の女神の神秘に触れ

美しい偶然の一致が
美しい論証に取って代わるのです

科学とはこのようなものです

美しい数学的な論証は
数学者の喜びであるだけでなく

我々の世界観を変えてしまいます

例えば

アインシュタイン

ペラン

スモルコフスキー

彼らは 無秩序な軌道の集合とガウス曲線を

数学的に分析して

この世に存在する全てのものは
原子で成っていると証明しました

数学者が

我々の世界観を覆したのは
これが初めてではありません

２千年以上前

古代ギリシャの時代には

そのような事が既に起きていました

当時

世界のほんの一部しか
探検されておらず

地球は無限に広がっている
かのようだったでしょう

知恵者のエラストテネスは

数学を使い

僅か２％の誤差という驚く程の正確さで
地球の周長を測ったのです

もう１つの例は

1673年に ジャン・リシェが

カイエンヌでは振り子の動きがパリより
少し遅くなることに気がつきました

この観察だけから
数学を巧妙に使い

ニュートンは

地球の両極が ほんの少し平坦なことを
正確に導き出しました

その扁平率は0.3%と僅かで

地球全体を実際見たとしても
気がつかない程でしょう

これらの例が示しているのは

数学が我々に直観の世界を
超えさせてくれ

果てしなく見える地球の
大きさを測定させ

目には見えない原子や

我々が五感で感知できないものを
検知させてくれるということです

この私のトークから
覚えておく事があるとしたなら

それは１つ

我々の直観を越えた所にある
知覚では理解し難いものを

数学は探索させてくれるということです

皆さんも経験している
現代の例がこれです

ネットでの検索です

ワールド・ワイド・ウェブ

10億を超えるページ全部

調べ上げたいと思いますか？

それだけの計算能力があればですが

データに潜む情報を見出すための
数学モデルがなければ

使い物にならないでしょう

分かり易い問題で考えてみましょう

こう想像して下さい
あなたは ある事件を扱っている刑事で

１人１人異なった見解を
持った証人が多くいたとします

誰を最初に事情聴取しますか

合理的に見ても

主要目撃者ですよね

こうです

証人７が ある話をするとします

その情報の発信源を
証人７に尋ねると

証人３から聞いたと言うのです

その次には 証人３は

証人１が その話の源だと
言うかも知れません

さあ 証人１が主要証人となり

その人からの事情聴取を
絶対に最優先したいと思いますよね

でも このグラフから

証人４が主要目撃者だとも
見なされるので

彼の方を先に事情聴取した方が
いいかもしれません

大勢の人の口から
彼の名が上がるからです

この場合は簡単ですが

もし 非常に多くの人が証言する
となったら どうします？

また このグラフは

複雑な事件で証言する人々を
表しているようですが

相互にURLを参照し合う

ウェブサイトを
表しているのでもあります

これでは どのサイトが
最も信頼できるのか

あまり はっきりしません

ここで登場するのが「ページランク」

Google初期の主要機能の１つです

このアルゴリズムは
数学的無秩序の法則を使って

最も関連性の高いウェブサイトを
自動的に決定します

これはゴルトンボードの実験で
見られた無秩序の法則と同じ原理です

では このグラフに

小さなデジタル・ビー玉を送り込み

バラバラに通してみましょう

それぞれサイトに到着し

次から次にリンクを
無秩序に通り抜けます

どの玉も そうです

玉が少しずつ積み上がり

それぞれのサイトの閲覧数—

デジタル・ビー玉の数が記録されます

さあ行きますよ

無秩序に バラバラと

時々

全く無秩序にジャンプを起こして
もっと面白くしましょう

ご覧下さい

カオスの状態から解決法が生まれます

ビー玉の数が一番多いのは

他のサイトに比べて
リンクが多いサイトであり

より多く参照されているサイトです

これで どれが

最初に見てみたいウェブサイトか
はっきりと分かります

ここでもまた

解決法が無秩序から生まれます

もちろん それ以来

Googleはもっと洗練された
アルゴリズムを導入していますが

ページランクは既に実に
うまく機能していました

それでも問題は起きますが

その頻度は ほんの百万回に１回程です

デジタルの到来で

数学的分析が応用出来る
問題が増えて来て

数学者の仕事は増々有用になり

数年前

2009年の
ウォール・ストリート・ジャーナルによると

「職種ランキング100」の調査で

百の仕事の内のトップに
のし上がるまでになりました

数学者は

世界で最高の仕事です

理由は その応用の幅広さです

コミュニケーション理論

情報理論

ゲーム理論

圧縮センシング

機械学習

グラフ解析

調和解析に加え

確率過程

線形計画

流体シミュレーションもあり

それぞれ 様々な産業界で
大いに応用されています

これらを通して

数学は大きな利益をもたらします

そして 認めざるを得ないことは

数学を使い富を得る事に関しては

ダントツで米国が世界一です

その象徴の才気ある億万長者や
素晴らしい巨大企業は全て

究極のところ 良く出来たアルゴリズムに
頼っているということです

これら全ての美しさ
有用さと豊かさで

数学は より一層魅惑的に見えるのです

しかし数学者の研究生活が

楽だなんて思わないで下さい

解決までには 当惑

苛立たしさ

理解に向けての
絶望的な闘いで一杯なのです

私の数学者としての人生で

最も印象深かった
ある日のことを お話ししましょう

最も印象深い夜だったと

言うべきかも知れません

当時

私はプリンストン高等研究所にいました

アルベルト・アインシュタインが
何年も研究を続けた場所で

数学の研究には世界で最も聖なる地だと
言っても間違いがありません

その夜 私は 捕らえ所のない証明に
取り組んでいて

それは不完全なままでした

これは電子の集合体である
プラズマの

矛盾する安定性に関するものでした

完璧なプラズマの世界では

我々に馴染みの安定性を作り出す

衝突も摩擦もありません

しかし

少しでもプラズマの平衡が崩れると

電場は 結果として

ひとりでに消え去る つまり

減衰することになります

まるで何か不可解な摩擦力が
働いたようにです

この矛盾する現象は

「ランダウ減衰」と呼ばれ

プラズマ物理における
最も重要な事象の１つで

その存在は数学で証明されました

とはいっても

この現象は完全には
数学的に理解されていませんでした

かつての私の教え子であり
主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に—

その時パリにいたのですが—

何ヶ月もその証明に
取り組んでいました

実は

私は 解けたと勘違いして
公表してしまっていたのですが

実際には

その証明は成り立っていなかったのです

百ページ以上の複雑な数学的論理

多くの発見や

膨大な計算にも拘らず

うまく行きませんでした

プリンストンでの その夜は

証明を構築する過程の論理が
うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした

エネルギーと経験 そしてあらゆる手法を
駆使していたのに

何もうまく行きませんでした

夜中の１時 ２時 ３時になっても

同じ状態でした

４時頃になり
落ち込んだまま就寝し

その数時間後

目覚め

「子供たちを学校に連れて行く時間だ」
とその時

何だ これは？

頭の中で こう言う声が
確かに聞こえたのです

「第２項目を
式の反対側に持って行き

フーリエ変換して
L²空間で逆変換せよ」

（笑）

これだ！

それが解決への第一歩でした

このように

休息していたと思っていたのに

実は私の脳は働き続けていたのです

そんな時には

野心も同僚の事も頭にはありません

取り組んでいる問題と自分だけです

そうは言ったものの

自分の辛苦が報われ
昇進するのも悪くはないですね

ランダウ減衰の膨大な証明が完了してから

私は幸運な事に

最も切望されているフィールズ賞を

インドの大統領の手から

ハイデラバードで
2010年の8月19日に頂きました

数学者にとって夢の様な光栄です

死ぬまで この日を忘れないでしょう

どう思われますか

その時の私の気持ちは？

プライド？ もちろん

それに加え これを可能にしてくれた
協力者の方々ヘの感謝の念です

これは人々と共同の冒険だったからです

共同研究者以外の人々とも
共有すべき事なのです

誰でも数学研究のワクワク感を味わえ

その陰に潜む人々の情熱的な物語を
共有出来ると信じています

アンリ・ポアンカレ研究所の
私のスタッフと共同研究者たちと

世界の数学的表現アーティストと共に
アンリ・ポアンカレ研究所で

実に特殊な独自の数学博物館創立に
力を注いでいます

数年後に

パリに来られたら

美味しいパリパリのフランスパンと
マカロンを 賞味なさった後

どうぞアンリ・ポアンカレ研究所へ
お越し下さい

そして 数学の夢を一緒に見ましょう

ありがとうございました

（拍手）