Les maths sont fondamentalement sexy !

Des vérités cachés imprègnent notre monde; elles sont inaccessibles à nos sens, mais les mathématiques nous permettent d'aller au-delà de nos intuitions pour découvrir leurs mystères. Cédric Vilain nous narre combien les découvertes et les aventures mathématiques au sein d'énigmes donnent des frissons de plaisir : « la beauté des mathématiques ne se limite pas à nous faire plaisir. Elles transforment notre vision de l'univers. »

Qu'est-ce que les français
font mieux que les autres ?

Selon les sondages,

on pourrait croire que les Français
occupent les trois premières places en :

amour, vin et capacité de râler.

(Rires)

Certes.

Il y a une quatrième matière :

les mathématiques.

Saviez-vous que Paris
compte plus de mathématiciens

que toute autre ville dans le monde ?

Elle a aussi le plus de rues
portant le nom de mathématiciens.

La lecture des statistiques
de la médaille Fields,

souvent considérée
comme le Prix Nobel des mathématiques

et toujours accordée
à des mathématiciens de moins de 40 ans,

vous fera découvrir que la France
a plus de médaillés Fields par habitant

que tout autre pays.

Qu'est-ce que nous trouvons
de si sexy dans les maths ?

Après tout, elles semblent
ennuyeuses et abstraites,

se limitant à des nombres, des calculs,
et des règles à appliquer.

Les mathématiques
sont peut-être abstraites,

mais certainement pas ennuyantes.

Il ne s'agit pas de calcul.

Il s'agit de raisonner,
et de démontrer notre hypothèse.

Nous faisons appel à l'imagination,
le talent que nous valorisons le plus.

Il s'agit de découvrir la vérité.

Il n'y a rien de tel que ce sentiment
qui vous envahit

quand après des mois
de réflexions intenses,

vous percevez enfin la bonne
démarche pour résoudre votre problème.

Le grand mathématicien
André Weil assimilait cela,

et ce n'est pas une plaisanterie,

au plaisir sexuel.

Mais il remarquait que cette sensation
pouvait durer des heures, voire des jours.

La récompense peut être grande.

Des vérités mathématiques cachées
imprègnent notre monde physique.

Elles sont inaccessibles à nos sens,

mais peuvent être perçues
à travers les mathématiques.

Fermez vos yeux un instant,

et réfléchissez à ce qui se déroule
actuellement autour de vous.

Des particules invisibles
dans l'air environnant vous heurtent

par milliards et milliards,
chaque seconde,

dans un chaos complet.

Pourtant,

les mathématiques physiques peuvent
prédire précisément leurs statistiques.

A présent, tournez votre regard

vers les statistiques
de vitesse de ces particules.

La célèbre fonction gaussienne
en forme de cloche,

ou la loi des erreurs,

des écarts par rapport
au comportement médian.

Cette courbe décrit les statistiques
de la vitesse des particules,

de la même manière
qu'une courbe démographique

décrit les statistiques
des âges des individus.

C'est une des courbes
les plus importantes qu'on connaisse.

Elle apparaît systématiquement,
encore et encore,

dans de nombreuses théories
et expériences,

comme un des grands exemples
d'universalité

qui nous tient tant à cœur,
nous, les mathématiciens.

De cette courbe, le célèbre scientifique
Francis Galton a dit ceci :

« Les Grecs l'eussent déifiée,
s'ils en avaient eu connaissance.

loi suprême du désordre
et de la déraison. »

Il n'existe pas de meilleur
moyen de matérialiser

cette déesse suprême
que la Planche de Galton.

Dans cette planche,
il y a des tunnels étroits

à travers lesquels de petites balles
vont tomber aléatoirement,

allant à droite ou à gauche,
ou à gauche, etc.

Tout cela dans un complet chaos,
et au hasard.

Regardons ce qui arrive

quand on observe toutes ces trajectoires
aléatoires ensemble.

(Planche secouée)

C'est un peu sportif,

car nous devons fluidifier
quelques embouteillages.

Ah ah.

Vous croyez que le hasard
va me jouer un tour ?

Et voilà !

Notre déesse suprême de la déraison.

La Courbe de Gauss,

piégée ici dans cette boîte transparente,

comme Dream dans la BD
« Le Marchand de sable ».

Aujourd'hui, je vous l'ai montrée,

mais à mes étudiants, j'explique pourquoi
il ne peut y avoir d'autre courbe.

Nous touchons alors du doigt
le mystère de cette déesse,

en remplaçant une belle coïncidence
par une belle explication.

Toute la science est pareille.

Les belles explications mathématiques
n'existent pas que pour notre plaisir.

Elles transforment aussi
notre vision du monde.

Par exemple, Einstein,

Perrin, Smoluchowski,

ils ont tous utilisé l'analyse
mathématique des trajectoires aléatoires,

et la Courbe de Gauss,

pour expliquer et démontrer
que notre monde est fait d'atomes.

Ce n'était pas la première fois

que les mathématiques révolutionnaient
notre vision du monde.

Il y a plus de 2000 ans,

à l'époque de la Grèce antique,

c'était déjà arrivé.

En ces temps là,

seulement une petite partie
du monde avait été explorée,

et la Terre devait paraître infinie.

Mais l'habile Eratosthène,

utilisant les mathémiques,

fut capable de mesurer la Terre
avec la précision incroyable de 2%.

Voici un autre exemple.

En 1673, Jean Richer remarqua

qu'un pendule se balance légèrement
plus lentement à Cayenne qu'à Paris.

A partir de cette seule observation,
et des mathématiques assez habiles,

Newton déduisit correctement

que la Terre est un petit peu
aplatie aux pôles,

à peu près de 0,3 %,

si faiblement que c'est imperceptible
sur une image réelle de la Terre.

Ces histoires montrent
que les mathématiques

sont capables de nous faire aller
au-delà de notre intuition,

pour mesurer la Terre qui semble infinie,

voir des atomes, invisibles à l'œil nu,

ou détecter une variation
imperceptible d'une forme.

Si vous ne deviez retenir
qu'une seule chose de ma présentation,

la voici :

les mathématiques nous permettent
d'aller au-delà de notre intuition,

et d'explorer des territoires
inaccessibles à notre compréhension.

Voici un exemple moderne,
auquel vous pourrez vous identifier :

les recherches sur internet.

Le World Wide Web,

plus d'un milliard de pages internet,

vous ne souhaitez-pas
toutes les consulter, n'est-ce pas ?

La capacité de calcul nous aide,

mais ça serait inutile
sans les modèles mathématiques

qui permettent de trouver l'information
cachée dans cette masse de données.

Résolvons un problème enfantin.

Imaginez que vous êtes un détective
travaillant sur une scène de crime,

et qu'il y ait beaucoup de gens
qui ont leur version des faits.

Qui voulez-vous interrogez en premier ?

Réponse sensée : les témoins principaux.

Vous voyez,

supposons que la personne numéro sept

vous raconte une histoire,

mais que, quand vous lui demandez
sa source,

il désigne la personne numéro trois.

Et que, peut-être, la personne
numéro trois, à son tour

désigne la personne numéro 1
comme la source originelle.

Numéro un est devenu un témoin principal,

que je veux vraiment
interroger prioritairement.

A partir du graphique,

on constate aussi que la personne
numéro quatre est un témoin principal.

Sans doute ferais-je mieux
de l'interroger en premier,

parce qu'il y a davantage
de personnes qui renvoient vers lui.

Je l'admets, c'était facile.

Qu'en serait-il si vous aviez un groupe
important de témoignage à collecter ?

Ce nouveau graphique,

qui représente toutes les personnes

qui témoignent dans une enquête
criminelle compliquée,

pourrait très bien représenter les pages
internet renvoyant les unes aux autres,

se réferrant au contenu
des unes et des autres.

Lesquelles font le plus autorité ?

Ce n'est pas si clair.

Je vous présente PageRank,

une des toutes premières
pierres angulaires de Google.

Cet algorithme utilise les lois
du hasard mathématique

pour déterminer automatiquement
les pages web les plus pertinentes,

de la même manière que nous avons utilisé

le hasard dans l'expérience
de la Planche de Galton.

Ce que nous allons donc faire,
c'est envoyer dans ce graphique

un tas de petites billes numériques,

et les laisser se déplacer
aléatoirement sur le graphique.

Chaque fois qu'elles arrivent sur un site,

elles passent d'un lien choisi
aléatoirement à un autre,

Et ainsi de suite.

Avec l'aide de petites piles
qui grandissent,

nous gardons trace du nombre
de fois, chaque site à été visité

par ces billes numériques.

C'est parti !

Le hasard, le hasard.

De temps en temps,

faisons des sauts complètement
aléatoirement, juste pour le fun.

Regardez-moi ça :

du chaos émerge la solution.

Les plus hautes piles
correspondent aux sites

qui d'une certaine manière,
sont mieux connectés que les autres,

plus mentionnés que les autres.

Nous voyons clairement
quelles sont les pages internet

que nous voulons consulter en premier.

Une fois encore,

la solution émerge du hasard.

Bien sûr, depuis cette époque,

Google a mis au point des algorithmes
bien plus sophistiqués,

mais c'était déjà beau.

Pourtant,

ce n'est qu'un problème sur un million.

Avec l'arrivée de l'ère numérique,

de plus en plus de problèmes se prêtent
à l'analyse mathématique,

rendant le métier de mathématicien
de plus en plus utile,

au point qu'il y a quelques années,

il fut classé premier
parmi des milliers de métiers

dans une étude sur les meilleurs
et les pires métiers,

publiée par le Wall Street
Journal en 2009.

Mathématicien,

le meilleur métier au monde !

Nous devons remercier les applications :

la théorie de la communication,

la théorie de l'information,

la théorie des jeux,

l'acquisition comprimée,

l'apprentissage automatique,

l'analyse de graphique,

l'analyse harmonique.

Et pourquoi pas les processus
stochastiques,

la programmation linéaire,

ou la simulation de fluide ?

Chacun de ces domaines ont un nombre
monstrueux d'applications industrielles.

Et à travers elles, il y a des fortunes
qui sont faites dans les mathématiques.

Je le concède,

quand il est question de faire
de l'argent à partir des maths,

les Américains sont de loin
les champions du monde.

L'Amérique possède des millionnaires
malins et emblématiques,

des entreprises géantes, qui tous,
existent grâce à de bons algorithmes.

Evidemment, avec cette beauté,
cette utilité et cette richesse,

les mathématiques
ne peuvent qu'avoir l'air sexy.

Ne croyez cependant pas

que la vie d'un mathématicien
est accommodante.

Elle est remplie de perplexités,

de frustrations,

de combats désespérés
vers la compréhension.

Je vais vous narrer

une des journées les plus frappantes
dans ma vie de mathématicien.

En fait, je devrais plutôt parler
de nuits frappantes.

A cette époque,

je résidais à l'Institut d'Etudes avancées
de Princeton,

qui fut le foyer d'Albert Einstein
très longtemps,

et qui est, sans aucun doute, la Mecque
de la recherche mathématique au monde.

Cette nuit là, je séchais
sur une démonstration qui m'échappait,

et qui restait incomplète.

La question traitait de la compréhension

de la propriété paradoxale
de la stabilité du plasma,

qui est en fait une masse d'électrons.

Dans le monde parfait du plasma,

il n'y a pas de collision,

et aucune friction qui permettent
la stabilité

à laquelle nous sommes familier.

Néanmoins,

si on perturbe un tout petit peu
l'équilibre plasmique,

on constate que le bouclier électrique
qui en résulte

s'évanouit spontanément,

il est amorti en quelques sortes,

sous l'effet d'une mystérieuse
force de friction.

Cet effet paradoxal,

appelé l'amortissement Landau,

est un des effets les plus importants
en physique des plasma.

Bien qu'il ait été découvert
grâce aux idées mathématiques,

celles-ci n'avaient pas encore
une compréhension totale de ce phénomème.

Avec mon ancien étudiant,
et collaborateur principal, Clément Mouhot

qui résidait à Paris à l'époque,

nous travaillions à cette démonstration
depuis des mois.

D'ailleurs, j'avais déjà annoncé
erronément

que nous pouvions la résoudre.

Mais en réalité, la démonstration
ne tenait pas la route.

En dépit d'une centaine de pages
d'argumentations mathématiques complexes,

d'un certain nombres de découvertes,

et de calculs incroyables,

ça ne marchait pas.

Cette nuit là, à Princeton,

je me cassais la tête sur une brèche
dans une chaîne de l'argumentaire.

J'y consacrais toute mon énergie,
mon expérience, et mes astuces,

en vain.

une heure du matin passe,
deux heures, trois heures.

Rien.

A quatre heure du matin, j'abandonne,
le moral dans les talons.

Quelques heures plus tard,

je me réveille :

« Aaah. C'est l'heure d'emmener
les enfants à l'école, »

Qu'est-ce que c'est ?

J'ai entendu une voix, je vous jure.

« Déplace la seconde proposition
de l'autre côté,

transformation de Fourier
et inverser en L2.

(Rires)

Incroyable !

C'était le début de la solution.

Je croyais m'être reposé un peu,

mais en fait, mon cerveau avait continué
de réfléchir au problème.

Dans ces moments là,

on ne pense pas à sa carrière,
ou à ses amis.

C'est un combat entre le problème est soi.

Cela dit,

une promotion en rétribution du travail
accompli ne nous arrache pas le cœur.

Après avoir achevé notre énorme analyse
de l'amortissement Landau,

j'ai eu la chance

de recevoir la prestigieuse
Médaille Fields,

que le Président de l'Inde m'a remise

à Hyderabad le 19 août 2010.

C'est un honneur dont les mathématiciens
n'osent jamais rêver.

C'est un jour dont je me souviendrai
toute ma vie.

Qu'est-ce qui nous passe
par la tête à ce moment ?

Une grande fierté.

Surtout de la gratitude
pour tous les collègues

qui ont rendu cela possible.

Comme c'était une aventure collective,

c'est important de la partager,
pas uniquement avec ses collègues.

Je crois profondément que tous le monde

peut apprécier ce frisson
de la recherche mathématique,

et partager ses histoires
passionnantes des hommes

et des idées qui la sous-tendent.

Je travaille avec mon équipe
à l'Institut Henri Pointcaré,

et avec des partenaires et des artistes
de la communication des mathématiques

pour y créer notre propre musée
des mathématiques.

Dans quelques années,

lorsque vous visiterez Paris,

après avoir goûté notre baguettes
croustillantes et nos macarons,

venez nous rendre visite
à l'Institut Pointcaré,

et partager le rêve mathématique
avec nous.

Merci.

(Applaudissements)